question stringlengths 75 722 | verifiable_answer stringlengths 1 11 | year stringclasses 34
values | grade stringclasses 5
values | full_answer stringlengths 1 67 | solutions listlengths 0 7 | task_complexity stringclasses 3
values | olympiad stringclasses 2
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
На прямой отметили две красные точки и несколько синих. Оказалось, что одна из красных точек содержится ровно в 56 отрезках с синими концами, а другая — в 50 отрезках с синими концами. Сколько синих точек отмечено? | 15 | 2020-21 | 9 | 15 | [
"Пусть слева от первой красной точки находится a синих точек, а справа — b синих точек; слева от второй красной точки — c синих точек, а справа — d синих точек. Тогда ab = 56, cd = 50. Кроме этого, a + b = c + d — количество синих точек.\nЗаметим, что среди чисел с и d ровно одно является чётным, так как число 50 д... | MEDIUM | vos |
Многочлен P(x) с вещественными коэффициентами имеет степень 10^{5}, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена R(x) = P(x^{1000} + 1) - P(x)^{1000}. | 99000000 | 2020-21 | 11 | 99 · 10^{6} | [
"Обозначим n=1000, k=100, то есть степени рассматриваемых многочленов P равны n k. Лемма. Существует единственный многочлен P степени n k (со старшим коэффициентом 1) такой, что степень полученного многочлена R будет меньше, чем p k(n-1). Доказательство. Запишем наш многочлен как P(x)=x^{n k}+p_{1} x^{n k-1}+p_{2} ... | HARD | vos |
Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что a + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными? | 29 | 2020-21 | 9 | 29 | [
"Заметим, что если a + b = c, то все три числа a, b, c не могут оказаться одновременно нечётными. Следовательно, среди них есть как минимум одно чётное число, и последняя цифра этого числа также будет чётной. Таким образом, среди 30 цифр есть как минимум одна чётная, а нечётных — не более 29. Пример 1 999 999 999 +... | MEDIUM | vos |
Биссектрисы треугольника $A B C$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_{b}$ с центром в точке $O_{b}$ проходит через точку $B$ и касается прямой $C I$ в точке $I$. Окружность $\omega_{c}$ с центром в точке $O_{c}$ проходит через точку $C$ и касает... | 1/3 | 2021-22 | 9 | 1/3 | [
"Проведём в окружности $\\omega_{b}$ диаметр $I X$, а в окружности $\\omega_{c}$ — диаметр $I Y$. Заметим, что $\\angle I B J=90^{\\circ}=$ $=\\angle I C J$, поскольку внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка $X$ лежит на $B J$, а точка $Y$ — на $CJ$ (см. рис. 1). Кроме того, $IX ... | HARD | vos |
Дана клетчатая прямоугольная таблица. Известно, что существует:
- ровно 940 способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 2\);
- ровно 894 способа вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 3\).
Сколько существует способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 5\)?
Пр... | 802 | 2021-22 | 10 | 802 | [
"Пусть в таблице \\(a\\) строк и \\(b\\) столбцов. Не нарушая общности, \\(a \\leq b\\). Ясно, что хотя бы одно из чисел \\(a\\) и \\(b\\) не меньше 2.\n- Предположим, \\(a = 1\\). Тогда из таблицы \\(1 \times b\\) вырезать прямоугольник \\(1 \times 2\\) можно \\(b - 1 = 940\\) способами, а вырезать прямоугольник \... | MEDIUM | vos |
Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а ч... | 21 | 2021-22 | 10 | 21 | [
"Пусть всего было n сладкоежек, и суммарно они съели S конфет. Из условия следует, что победитель съел S/15 конфет, человек на третьем месте — S/21 конфет, человек на последнем месте — S/22 конфет.\nВсе участники, кроме последнего, съели больше S/22 конфет. Значит, S > n · S/22, откуда получаем n < 22, то есть n ≤ ... | MEDIUM | vos |
На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно нет его собственного имени. Како... | 16 | 2021-22 | 10 | 16 | [
"Для начала приведём стратегию для лжецов, позволяющую гарантированно вычислить не больше 16 из них. Назовём рыцарей \\(R_1, R_2, \\ldots, R_{23}\\), а лжецов — \\(L_1, L_2, \\ldots, L_{200}\\). Все рыцари укажут в своих списках \\(L_1, L_2, \\ldots, L_{200}\\). Пусть для каждого целого \\(0 \\leq i \\leq 7\\) груп... | HARD | vos |
По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число? | 58 | 2021-22 | 11 | 58 | [
"Пронумеруем для удобства все числа по кругу по часовой стрелке, начиная с числа 1: \\(a_1 = 1\\), \\(a_2\\), ..., \\(a_{12}\\). Заметим, что для всех \\(1 \\leq i \\leq 6\\) верно\n\n\\[a_{i+1} - a_1 = (a_{i+1} - a_i) + (a_i - a_{i-1}) + \\ldots + (a_2 - a_1) \\leq 10i,\\] \n\n\\[a_{13-i} - a_1 = (a_{13-i} - a_{14... | HARD | vos |
В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе? | 42 | 2021-22 | 11 | 42 | [
"Пусть в школе занимаются а теннисистов и 55 — а шахматистов. У каждого из шахматистов количество друзей-теннисистов не меньше 0 и не больше а, то есть может принимать а + 1 значений. Если бы шахматистов было больше 3(а + 1), среди них по принципу Дирихле нашлись четверо с одинаковым количеством друзей-теннисистов.... | MEDIUM | vos |
Дан прямоугольник \( ABCD \). Прямая, проходящая через вершину \( A \) и точку \( K \) на стороне \( BC \), делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка \( KC \), если \( AD = 60 \). | 40 | 2021-22 | 8 | 40. | [
"Проведём через K прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону AD в точке L (рис. 1), тогда ABKL и DCKL — прямоугольники. Пусть S_{ABK} = S, тогда S_{KLA} = S. Очевидно, что S_{AKCD} = 5S и S_{LKCD} = 5S - S = 4S.\n\nОтношение площадей прямоугольников ABKL и DCKL с общей стороной KL равно отношению сторон ... | MEDIUM | vos |
Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке:
1 N 2 N - 1 3 N - 2...
Например, при N = 5 получилось бы 15243, а при N = 10 получилось бы 11029384756.
При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301? | 38 | 2021-22 | 8 | 38. | [
"Заметим, что в нашей последовательности сумма двух подряд идущих чисел равна N + 1 или N + 2.\n\nРассмотрим последовательность цифр 301. Есть четыре случая:\n- цифры этой последовательности принадлежат одному числу, тогда N ≥ 301, но мы покажем, что N может быть и меньше;\n- цифры этой последовательности принадлеж... | MEDIUM | vos |
Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью.
- В 12:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «82».
- В 13:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «71».
- В 15:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «46».
Известно, что Ерё... | 34.5 | 2021-22 | 9 | 34,5 | [
"Из ответов Ерёмы мы понимаем, что\n\n• в 12:00 до Москвы оставалось от 81,5 до 82,5 вёрст;\n• в 13:00 до Москвы оставалось от 70,5 до 71,5 вёрст;\n• в 15:00 до Москвы оставалось от 45,5 до 46,5 вёрст.\nТо есть Фома и Ерёма\n• с 12:00 до 13:00 проехали от 10 до 12 вёрст;\n• с 13:00 до 15:00 проехали от 24 до 26 вёр... | MEDIUM | vos |
На доску выписаны числа 1, 2, 3, ..., 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза? | 48 | 2021-22 | 9 | 48 | [
"Рассмотрим последовательности натуральных чисел, удовлетворяющие следующему набору условий: в каждой последовательности\n\n- каждое число не превосходит 57;\n- есть хотя бы два числа, и все они идут по возрастанию;\n- каждое следующее число в 2,5 раза больше предыдущего.\n\nВыпишем их все.\n- 2, 5\n- 4, 10, 25\n- ... | MEDIUM | vos |
На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков.
Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться?
Вершинами ломаной могут быть только о... | 54 | 2021-22 | 9 | 54 | [
"Для начала докажем, что ломаных не больше 54.\n\nРассмотрим конструкцию «галочка», состоящую из трёх точек A, B и C, а также двух отрезков AB и AC (при этом отрезок BC может как присутствовать, так и не присутствовать; точку A будем называть вершиной галочки). Так как из B и C выходит ещё не более чем по два отрез... | HARD | vos |
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1, 2, ..., 100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на \( k \). При каком наименьшем \( k \) сер... | 50 | 2021-22 | 10 | 50. | [
"Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки. Получаем требуемое расположение.\n\nОценка. Предположим, что при некотором \\( k < 50 \\) требуемая расстановка получена.\n\nВ каждый момент времени считаем покрашенной дугу от фишки 100 до фишки 1 по часовой стрелке. Так как фишки... | HARD | vos |
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера \(1,2, \ldots, 100\), именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на \(k\). При каком наименьшем \(k\) с... | 50 | 2021-22 | 11 | 50 | [
"Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки. Получаем требуемое расположение.",
"Первый способ. Предположим, что при некотором \\(k<50\\) требуемая расстановка получена. В каждый момент времени считаем покрашенной дугу от фишки 100 до фишки 1 по часовой стрелке. Так как фиш... | HARD | vos |
Квадрат \( 100 \times 100 \) разбит на квадраты \( 2 \times 2 \). Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники \( 1 \times 2 \) и \( 2 \times 1 \)). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения? | 100 | 2022-23 | 10 | 100 | [
"Пример. Верхнюю и нижнюю горизонтали разобьём на горизонтальные доминошки - они окажутся в квадратах \\( 2 \\times 2 \\). Остальной прямоугольник \\( 98 \\times 100 \\) разобьём на вертикальные доминошки - они не окажутся в квадратах \\( 2 \\times 2 \\).\n\nОценка. Рассмотрим квадраты \\( A_{1}, A_{3}, \\ldots, A_... | MEDIUM | vos |
Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй — хотя бы два камня, ..., в пятидесятои — хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат 100 кучек по 100 ... | 5099 | 2022-23 | 9 | 5099 | [
"Если удалить полностью 51 кучку, то, очевидно, не останется много камней. Значит, искомое значение n меньше 5100. (Альтернативно, можно удалить из всех кучек по 51 камню.)\n\nОсталось показать, что при удалении любых n = 5099 камней останется много камней. Пусть в кучках осталось a₁, a₂, ..., a₁₀₀ камней соответст... | MEDIUM | vos |
Дан треугольник ABC. Пусть точка I — центр его вписанной окружности, а точки P и Q — середины сторон AB и AC соответственно. Оказалось, что ∠PIQ + ∠BIC = 180°. Найдите длину отрезка BC, если AB = 20 и AC = 14. | 34/3 | 2022-23 | 10 | 34/3. | [
"Из условия следует, что ∠BIP + ∠CIQ = 180°. Кроме того, отметим, что PQ || BC как средняя линия треугольника.\n\nПроведём к вписанной окружности треугольника \\(ABC\\) касательную, параллельную отрезку \\(BC\\). Обозначим через \\(P'\\) и \\(Q'\\) точки пересечения этой касательной со сторонами \\(AB\\) и \\(AC\\)... | HARD | vos |
В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсинами и бананами, причём бананов было на 40% больше, чем апельсинов. Вторую кормили только бананами и кокосами, причём кокосов было на 25% больше, чем бананов. А третью ко... | 1/2 | 2022-23 | 11 | 1/2 | [
"Пусть первая обезьяна съела x апельсинов, вторая обезьяна съела y кокосов, а третья обезьяна съела z кокосов. Тогда первая обезьяна съела 1,4x бананов; вторая обезьяна съела 1,25y кокосов; третья обезьяна съела 2z апельсинов. Поскольку всех фруктов съедено поровну, имеем\n\nx + 2z = 1,4x + y = 1,25y + z.\nПерепише... | MEDIUM | vos |
На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.) | 36 | 2022-23 | 11 | 36 | [
"Центры волейбольных мячей обозначим через $A$, $B$, $C$, а центр теннисного — через $D$; верхнюю точку теннисного мяча обозначим через $X$.",
"Рассмотрим сечение волейбольных мячей плоскостью $ABC$. Это три попарно касающиеся окружности радиусом 18. Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ расположены в вершинах прави... | MEDIUM | vos |
Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$.
Известно, что $\angle KQD = 64^\circ$ и $\angle KDQ = 38^\circ$. Сколько градусов составл... | 39 | 2022-23 | 11 | $39^\circ$ | [
"Из условия следует, что $\\angle BKD = \\angle KQD + \\angle KDQ = 64^\\circ + 38^\\circ = 102^\\circ$.",
"Пусть прямые $QB$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Треугольники $QXP$ и $QBM$ подобны с коэффициентом $QP/QM$, и с тем же коэффициентом подобны треугольники $QDP$ и $QCM$. Тогда из равенства $MB = MC$ следу... | MEDIUM | vos |
У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? | 17 | 2022-23 | 8 | 17 | [
"Заметим, что число 10 единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: $10 = 2 + 3 + 5$. Это означает, что на кубиках есть числа 2, 3, 5, и они выпали в первый раз.\n\nЗаметим, что если чётное число 62 представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно 2. Тогда су... | MEDIUM | vos |
Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.
В любой момент сла... | 159 | 2022-23 | 9 | 159. | [
"Рассмотрим количества конфет в коробках. Изначально это 5 натуральных чисел, дающих различные остатки при делении на 5. Докажем, что пока сладкоежка не заберёт конфеты из какой-либо коробки, эти 5 чисел всегда дают различные остатки при делении на 5. Для этого достаточно понять, что разность любых двух из этих 5 ч... | HARD | vos |
На доске написано число 111123445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получились число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 60 | 2022-23 | 10 | 60 | [
"Цифры 6, 7 и 8 необходимо вычеркнуть, а 5 оставить (иначе число не будет делиться на 5). Каждую цифру перед пятёркой можно вычёркивать или не вычёркивать. На цифры 2 и 3 есть по два варианта на каждую (вычеркнуть или нет), на 4 — 3 варианта (не вычёркивать ни одной, вычеркнуть одну или вычеркнуть обе), а сделать ч... | MEDIUM | vos |
На доске написано число 11122345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 48 | 2022-23 | 10 | 48 | [] | MEDIUM | vos |
На доске написано число 111133345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получились число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 40 | 2022-23 | 10 | 40 | [] | MEDIUM | vos |
На доске написано число 11233345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 48 | 2022-23 | 10 | 48 | [] | MEDIUM | vos |
На доске написано число 122344445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 60 | 2022-23 | 10 | 60 | [] | MEDIUM | vos |
На доске написано число 2234445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать? | 48 | 2022-23 | 10 | 48 | [] | MEDIUM | vos |
Число n таково, что 8n является 65-значным числом, а 81n — 67-значным. Чему может быть равна вторая с начала цифра n? | 2 | 2022-23 | 10 | 2 | [] | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника. | 0.96 | 2022-23 | 10 | 0,96 | [
"Пусть \\( AC \\) — основание данного треугольника, \\( B \\) — его вершина, \\( I \\) — центр вписанной окружности, \\( H \\) — середина стороны \\( AC \\), \\( r \\) — радиус вписанной окружности, \\( \\angle A = \\alpha \\), \\( \\angle B = \beta \\). Из условия \\( AH = 2r \\). В треугольнике \\( AIH \\) \\( AI... | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника. | 0.28 | 2022-23 | 10 | 0,28 | [] | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника. | -0.28 | 2022-23 | 10 | -0,28 | [] | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника. | 0.96 | 2022-23 | 10 | 0,96 | [] | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника. | 5/13 | 2022-23 | 10 | 5/13 | [] | MEDIUM | vos |
В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника. | 12/13 | 2022-23 | 10 | 12/13 | [] | MEDIUM | vos |
Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 6 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 400 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика. | 24 | 2022-23 | 10 | 24 | [] | MEDIUM | vos |
Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 8 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 250 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 100 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика. | 17 | 2022-23 | 10 | 17 | [] | MEDIUM | vos |
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_2 \). | -5 | 2022-23 | 10 | -5 | [
"По теореме Виета \\( q = x_1 x_2 \\). Тогда \\( 2x_2 = x_1 + x_1 x_2 \\), откуда \\( x_1 = \\frac{2x_2}{1+x_2} \\). Так как корни целые, то \\( 2x_2 \\) делится на \\( 1 + x_2 \\). Но \\( 2 + 2x_2 \\) делится на \\( 1 + x_2 \\), а значит, 2 тоже делится на \\( 1 + x_2 \\). Тогда \\( x_2 = -3, -2, 0 \\) или 1. В эт... | MEDIUM | vos |
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_1 \). | 7 | 2022-23 | 10 | 7 | [] | MEDIUM | vos |
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_2 \). | 6 | 2022-23 | 10 | 6 | [] | MEDIUM | vos |
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_1 \). | 12 | 2022-23 | 10 | 12 | [] | MEDIUM | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1001 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, н... | 1999 | 2022-23 | 10 | 1999 | [
"Сперва опишем стратегию, как будет действовать Шахерезада, чтобы выполнялись условия Шахрияра в течение 1998 ночей. Сначала она будет резать по линиям, соединяющим соседние вершины, и отбрасывать меньшую часть (назовём такую часть сегментом). Так она будет резать 1000 ночей. После этого останется 1001-угольник с п... | HARD | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1002 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, н... | 2001 | 2022-23 | 10 | 2001 | [] | HARD | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 501 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но... | 999 | 2022-23 | 10 | 999 | [] | HARD | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 502 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но... | 1001 | 2022-23 | 10 | 1001 | [] | HARD | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1000 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, н... | 1997 | 2022-23 | 10 | 1997 | [] | HARD | vos |
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 965 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но... | 1927 | 2022-23 | 10 | 1927 | [] | HARD | vos |
Вася записал в прямоугольнички последовательные натуральные числа \(N\), \(N+1\), \(N+2\) и \(N+3\). Под каждым прямоугольничком он написал в кружочек сумму цифр соответствующего числа. Сумма чисел в первом и втором кружочках оказалась равна 200, а сумма чисел в третьем и четвёртом кружочках равна 105. Чему равна сумма... | 103 | 2022-23 | 8 | 103 | [
"Если между двумя последовательными натуральными числами нет перехода через десяток, сумма цифр большего из них на 1 больше суммы цифр меньшего, и поэтому сумма этих двух сумм нечётна. Так как число 200 чётно, между \\(N\\) и \\(N+1\\) есть переход через десяток, и \\(N+1\\) оканчивается на 0. Но тогда число в четв... | MEDIUM | vos |
На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды, за круглым столом собрались 2022 аборигена и каждый из них сделал заявление: «Рядом со мной сидят рыцарь и лжец!» Известно, что при этом три рыцаря ошиблись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыц... | 1349 | 2022-23 | 9 | 1349 | [
"Разобьём всех сидящих за столом на блоки, состоящие из аборигенов одного типа, сидящих подряд. Тогда блоки лжецов могут состоять только из 1 человека, иначе лжец, сидящий с краю в этом блоке скажет правду. Если блок рыцарей состоит из двух человек, то оба рыцаря в нем сказали правду (не ошиблись). Если блок рыцаре... | HARD | vos |
На рисунке приведен пример того, как 3 луча разбивают плоскость на 3 части. На какое максимальное количество частей могут разбить плоскость 11 лучей? | 56 | 2022-23 | 9 | 56 | [
"Если провести (n + 1)-ый по счёту луч так, чтобы он пересекал все n предыдущих, то n точек пересечения на нём разбивают его на n + 1 часть. Отрезок, ближайший к вершине, новых частей разбиения не добавляет, а каждый из остальных n участков (n − 1 отрезок и 1 луч) делит какую-то из существующих частей разбиения на ... | MEDIUM | vos |
На стороне \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(F\), а на продолжении стороны \(BC\) за вершину \(B\) — точка \(H\) так, что \(AB/BF = BC/BH = 5\). Точка \(G\) выбирается так, что \(BFGH\) — параллелограмм. \(GD\) пересекает \(AC\) в точке \(X\). Найдите \(AX\), если \(AC = 100\). | 40 | 2022-23 | 9 | 40 | [
"Проведем в параллелограмме \\(ABCD\\) диагональ \\(BD\\), а в параллелограмме \\(BFGH\\) диагональ \\(GB\\). Пусть \\(BD\\) пересекает \\(AC\\) в точке \\(O\\). Докажем, что \\(AC||GB\\). Треугольники \\(ABC\\) и \\(GHB\\) подобны по двум сторонам и углу между ними: \\(AB/BF = BC/BH\\) и \\(\\angle GHB = \\angle A... | MEDIUM | vos |
В клетках таблицы 10×10 расставлены натуральные числа 1, 2, ..., 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата 2×2. Назовём уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возмож... | 162 | 2022-23 | 8 | 162 | [
"Назовём центром «уголка» клетку, которая граничит по сторонам с двумя другими его клетками. Рассмотрим любой квадрат 2×2, находящийся в нашей таблице. В нём содержится 4 «уголка». При этом хорошими из них могут быть только те, в центрах которых находятся два наибольших числа из тех, что находятся в нашем квадрате ... | MEDIUM | vos |
На стороне AC треугольника ABC выбрана точка E. Биссектриса AL пересекает отрезок BE в точке X. Оказалось, что AX = XE и AL = BX. Чему равно отношение углов A и B треугольника? | 2 | 2022-23 | 8 | 2 | [
"Пусть прямая, проходящая через точку E параллельно AL, пересекает прямые BC и BA в точках P и Q соответственно. Из подобия треугольников ABL и QBP имеем PQ/AL = BE/BX = BE/AL, откуда PQ = BE. В силу параллельности прямых AL и PQ имеем ∠AQE = ∠XAE = ∠AEQ, откуда AE = AQ. Кроме того, из равенства AX = XE следует, чт... | HARD | vos |
Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам a и b, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного п... | 4 | 2022-23 | 8 | 4 | [
"Если одна из сторон прямоугольника четна, от него можно по средней линии отрезать прямоугольник вдвое меньшей площади. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе стороны нечетны. В этом случае |b−a| четно. Если |b−a| = 0, то a = b = 2n+1, половина площади прямоугольника равна 2n²+2n+0,5, и мы можем вырезать ... | HARD | vos |
На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали $\frac{99 \cdot 98}{2}$ чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть $d$ — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возм... | 7 | 2022-23 | 9 | 7 | [
"Докажем, что \\( d \\geqslant 7 \\). Все числа с доски разбиваются на цепочки чисел вида \\( a, a+1, a+2, \\ldots, a+t \\) так, что числа из разных цепочек не отличаются ровно на 1. В цепочке из \\( n_i \\) чисел есть ровно \\( n_i - 1 \\) пара чисел, отличающихся на 1. Поэтому общее количество единиц в тетрадке р... | HARD | vos |
Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клуб... | 19 | 2023-24 | 9 | 19. | [
"Пусть в процессе было N ходов. Посмотрим на процесс «в обратную сторону». Назовём последний сделанный ход первым, предпоследний (сделанный другим мальчиком) — вторым, и т.д. Обозначим через а0 количество клубней в мешке, из которого их перекладывали на первом ходе, после этого хода (то есть в самом конце процесса)... | MEDIUM | vos |
Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достиж... | 46 | 2023-24 | 10 | 46 | [] | MEDIUM | vos |
Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) таков, что \(\angle ADB = 40^\circ\) и \(\angle CDB = 52^\circ\). Точка \(M\) внутри четырёхугольника такова, что \(\angle BAM = 26^\circ\) и \(\angle BCM = 20^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(CBM\)? | 44 | 2023-24 | 10 | 44 | [] | MEDIUM | vos |
Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы \(n\) слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение \(n\). | 9 | 2023-24 | 10 | 9 | [] | HARD | vos |
В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( A \) проведена высота \( AH \). На продолжении отрезка \( HA \) за точку \( A \) нашлась точка \( D \) такая, что \( \angle DBA = \angle CBA \). Найдите длину отрезка \( BD \), если известно, что \( BC = 7 \) и \( AD = 12 \). | 16 | 2023-24 | 10 | 16 | [] | MEDIUM | vos |
Назовём хорошей пару $\(a, b\)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100; 240]$, если число $\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)$ является целым. Сколько существует хороших пар? | 30 | 2023-24 | 11 | 30. | [] | HARD | vos |
Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.
Пару натуральных чисел \((m, n)\) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица \(m \times n\), причём... | 31 | 2023-24 | 11 | 31. | [] | MEDIUM | vos |
В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BC ∥ AD, AD = 14 и BC = 9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ℓ касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ℓ. Найдите длину отрезка CH. | 4.5 | 2023-24 | 11 | 4,5. | [] | HARD | vos |
По кругу лежали n шариков, где 6 ≤ n ≤ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n? | 63 | 2023-24 | 9 | 63 | [] | MEDIUM | vos |
Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AB = BD\). На отрезке \(BD\) выбрали точку \(K\) так, что \(AD \parallel KC\). Описанная окружность треугольника \(KDC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L\). Известно, что \(\angle ABD = 48^\circ\) и \(\angle CBD = 13^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(BAL... | 53 | 2023-24 | 9 | 53 | [] | HARD | vos |
В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности раз... | 172 | 2023-24 | 9 | 172 | [] | MEDIUM | vos |
Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат \(1 imes 1\) тоже является полоской).
Назовём натуральное число \(k\) хорошим, если клетчатый прямоугольник \(43 imes k\) можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чис... | 38 | 2023-24 | 9 | 38 | [] | HARD | vos |
Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27». | 9918 | 2023-24 | 10 | только 9918 | [
"Утверждения про 81 и 18 точно не являются контрпримерами, так как для них не выполнен посыл «если сумма цифр натурального числа делится на 27». Утверждение про 999 не является контрпримером, поскольку не противоречит нашему утверждению. Наконец, число 9918 является контрпримером, поскольку для него выполнено, что ... | MEDIUM | vos |
Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если натуральное число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27».
а) 81; б) 999; в) 9918; г) 18. | 81 | 2023-24 | 10 | только 81 | [] | EASY | vos |
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 25 партий. Аня выбирала камень 1... | 16 | 2023-24 | 10 | 16 | [
"Заметим, что, поскольку ничьих не было, когда Аня выбирала камень, Боря должен был выбрать ножницы или бумагу. Аня выбирала камень 12 раз. Боря выбирал ножницы или бумагу суммарно тоже \\(9 + 3 = 12\\) раз. Значит, все эти случаи пришлись на партии, в которых Аня выбирала камень. Значит, во всех остальных 13 парти... | MEDIUM | vos |
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 36 партий. Аня выбирала камень 6... | 9 | 2023-24 | 10 | 9 | [] | MEDIUM | vos |
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 20 партий. Аня выбирала камень 1... | 7 | 2023-24 | 10 | 7 | [] | MEDIUM | vos |
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 90 человек: 40 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул,... | 86 | 2023-24 | 10 | 86 | [
"Попросим половину пирующих, стоящих через одного, сделать шаг вперёд. Тогда все люди поделятся на два круга: внутренний и внешний. Заметим, что у человека во внутреннем круге оба соседа находятся во внешнем, при том являются там соседями. Аналогично для человека во внешнем круге. Итак, нам достаточно найти наиболь... | HARD | vos |
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 110 человек: 50 баронов, 40 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул... | 106 | 2023-24 | 10 | 106 | [] | MEDIUM | vos |
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 55 человек: 25 баронов, 20 графов и 10 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул,... | 52 | 2023-24 | 10 | 52 | [
"Будем ставить людей в новый круг через одного: 1, 3, 5, 7, ..., 55, 2, 4, 6, ..., 54, снова 1. Нам достаточно найти наибольшее количество соседей одинакового титула в новом круге. Ясно, что соседи разного титула в новом круге есть. Так же ясно, количество соседств разного титула в новом круге не может равняться 1.... | HARD | vos |
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 95 человек: 45 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул,... | 92 | 2023-24 | 10 | 92 | [] | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 36\) и \(AD = 81\). | 54 | 2023-24 | 8 | 54 | [] | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 64\). | 56 | 2023-24 | 8 | 56 | [] | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 81\). | 63 | 2023-24 | 8 | 63 | [] | MEDIUM | vos |
В клетках таблицы 14 × 14 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? | 13 | 2023-24 | 8 | 13 | [] | MEDIUM | vos |
В клетках таблицы 16 × 16 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? | 15 | 2023-24 | 8 | 15 | [] | MEDIUM | vos |
В клетках таблицы \(18 \times 18\) расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? | 17 | 2023-24 | 8 | 17 | [] | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 19\). Найдите длину отрезка \(BC\). | 9.5 | 2023-24 | 8 | 9.5 | [
"Продлим лучи \\(AB\\) и \\(DC\\) до пересечения в точке \\(X\\) (см. рисунок).",
"В равнобедренном треугольнике \\(HCD\\) имеем \\(\\angle CHD = \\angle CDH\\). В прямоугольном треугольнике \\(XHD\\) имеем \\(\\angle HXD = 90^\\circ - \\angle XDH = 90^\\circ - \\angle CHD = \\angle XHC\\).",
"Следовательно, тр... | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 11\) и \(AD = 17\). Найдите длину отрезка \(BC\). | 8.5 | 2023-24 | 8 | 8.5 | [] | MEDIUM | vos |
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 21\). Найдите длину отрезка \(BC\). | 10.5 | 2023-24 | 8 | 10.5 | [] | MEDIUM | vos |
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 120 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет).... | 39 | 2023-24 | 9 | 39 | [] | HARD | vos |
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 150 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет).... | 49 | 2023-24 | 9 | 49 | [] | MEDIUM | vos |
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 90 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). ... | 29 | 2023-24 | 9 | 29 | [] | MEDIUM | vos |
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 9 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему р... | 511 | 2023-24 | 9 | 511 | [
"Оценка. Пусть \\( a_k \\) — максимальное число домов, если все они имеют не более \\( k \\) этажей. Ясно, что \\( a_1 = 1 \\). Найдем \\( a_k \\). Рассмотрим самый высокий дом с \\( k \\) этажами, он по условию только один. И слева, и справа от него стоят дома с 1, 2, 3, …, \\( k - 1 \\) этажами, и для домов с каж... | HARD | vos |
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 7 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему ра... | 127 | 2023-24 | 9 | 127 | [] | MEDIUM | vos |
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 8 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Че... | 255 | 2023-24 | 9 | 255 | [] | MEDIUM | vos |
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 10 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Ч... | 1023 | 2023-24 | 9 | 1023 | [] | MEDIUM | vos |
По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседни... | 50 | 2023-24 | 8 | 50 | [
"Нужно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет помешать ей добиться, чтобы таких пар было больше 50.\n\nПервый способ. Стратегия Ани. Первым ходом Аня красит в любой цвет любую точку, а дальше каждым ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом ... | HARD | vos |
Правильный треугольник \( T \) со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре \( T \), отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника \( T \). Сколько существу... | 2^{4107} | 2023-24 | 8 | 2^{3 \cdot 37^2} = 2^{4107} | [
"Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной \\( k \\), разобьём его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовём \\( k \\)-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и... | HARD | vos |
Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причём дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1.... | 1012 | 2023-24 | 10 | 1012. | [
"Положим $n = 1012$.",
"Оценка. Людей обозначим вершинами, номер вершины будет означать ответ соответствующего человека, а если пара людей дружит, то проведем ребро между соответствующими вершинами.",
"Пусть $A$ — множество всех людей, которые назвали числа от 0 до $n - 1$, а $B$ — множество всех людей, которые... | HARD | vos |
В клетках таблицы 11 × 11 расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел мож... | 117 | 2023-24 | 10 | 117 | [
"Число 1 меньше всех остальных чисел, поэтому оно должно быть первым в строке и первым в столбце, а значит, оно должно находиться в левом верхнем углу. Значит, число 2 не может быть в левом верхнем углу, поэтому либо оно не в первой строке, либо не в первом столбце. В первом случае оно должно быть больше какого-то ... | HARD | vos |
В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города \( A \) найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с \( A \). Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране? | 99 | 2023-24 | 11 | 99 | [
"Рассмотрим произвольный город \\( A \\). По условию найдутся города \\( B, C, D \\) такие, что они соединены с \\( A \\), но попарно не соединены между собой. В частности, это означает, что \\( C \\) и \\( D \\) не соединены с \\( B \\). Теперь рассмотрим город \\( B \\). Для него тоже должны найтись соответствующ... | HARD | vos |
На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка P, а на стороне CD — точка Q. Известно, что ∠BCP = 17°, ∠AQP = 37°, ∠QAD = 16°. Сколько градусов составляет ∠CPQ? | 38 | 2023-24 | 8 | 38 | [
"Отметим на сторонах CD и AB точки P₁ и Q₁ соответственно так, что PP₁ ⊥ QQ₁ ⊥ BC. Будем пользоваться тем, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Из параллельности прямых BC и PP₁ получаем, что ∠P₁PC = ∠BCP = 17°. Аналогично из параллельности прямых AD и QQ₁ получаем, что ∠Q₁QA = ∠DAQ = 16°.",
"Т... | MEDIUM | vos |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.