Quelques calculs de la cohomologie de $GL_N(\Z)$ et de la K-th�orie de $\Z$
Philippe Elbaz-Vincent
math0207067.tex
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%%


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\begin{document}

\title{Quelques calculs de la cohomologie de $GL_N(\Z)$  et  de
 la K-th�orie de $\Z$}
\author{Philippe Elbaz-Vincent}
\address{GTA, UMR CNRS 5030, CC51,
Universit\'e Montpellier II, 34095 Montpellier Cedex 5, France.}
\email{pev@math.univ-montp2.fr}

%\subjclass[2000]{19D50 11F75 20G10}
% revoir les subjclass ...
\author{Herbert Gangl}
\address{MPI f\"ur Mathematik Bonn, Vivatsgasse 7, D-53111 Bonn, Deutschland}
\email{herbert@mpim-bonn.mpg.de}
\author{Christophe Soul\'e}
\address{C.N.R.S. et I.H.\'E.S., 35 Route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, 
France.}
\email{soule@ihes.fr}
\maketitle
\markboth{{\sc Ph. Elbaz-Vincent, H. Gangl et C. Soul�}}{{\sc Quelques calculs de 
la cohomologie de $GL_N(\Z)$ et de la K-th�orie de $\Z$}}
{\small
%{{\bf r\'esum\'e} - .}\\ %

{{\bf R\'esum\'e} - Pour $N =5$ et $N=6$, nous calculons le complexe
cellulaire d\'efini par Vorono\"i \`a partir des formes quadratiques 
r\'eelles de dimension $N$.
Nous en d\'eduisons l'homologie de  $GL_N(\Z)$ \`a coefficients
triviaux, \`a de petits nombres premiers pr\`es.
Nous montrons aussi que $K_5(\Z) = \Z$ et que $K_6(\Z)$ n'a que de la
 $3$-torsion.}\\[5pt]
%}\\

\centerline{\normalsize\bf Some computations of the cohomology of
 $GL_N(\Z)$ and the  K-theory of $\Z$}\quad\\[3pt]
\indent {{\bf Abstract} - For $N =5$ and $N=6$, we compute  the Vorono\"i cell 
complex attached to real
$N$-dimensional quadratic forms, 
and we obtain  the homology of $GL_N(\Z)$ with trivial 
coefficients, up to small primes.
We also prove that  $K_5(\Z) = \Z$ and $K_6(\Z)$ has only $3$-torsion.}\\[5pt]
%\tableofcontents
%{\em\bf English abridged version} - For $N\in \N$, Vorono\"i has attached to the 
%space of $N$-dimensional quadratic forms over $\R$ a
%$G$-equivariant cell decomposition into so-called perfect forms, where 
%$G=GL_N(\Z)$, which he showed to have only
%finitely many $G$-representatives. The latter can be extended, by adding certain 
%boundary components, 
%to a finite dimensional cell complex whose homology computes (most of?) the 
%homology of $G$ itself.

%For $N\le 7$, there is a complete description of the underlying perfect forms 
%known, and thus, by successive 
%intersection of the corresponding cells and computation of the differential, the 
%cell complex can in principle
%be made explicit. Our program, based on the software package GP-PARI, has built 
%the cell complex so far for
%$N\le 6$. It also exhibits, using an algorithm of Souvignier,
%the stabilizers of the cells involved---the latter can be used to deduce 
%information about the associated
%$G$-equivariant spectral sequence which converges, up to isomorphism, to the 
%homology of $G$ with 
%coefficients in the Steinberg module.

%As a consequence, we deduce that $K_6(\Z)$ has no $p$-torsion for $p>7$.\\
\footnoterule

\section{La th\'eorie de Vorono\"i}
Soit $N\ge 2$ un entier. Notons $C_N$ l'espace des formes quadratiques d�finies 
positives r�elles de rang $N$. \'Etant donn�e $h\in C_N$, 
 les vecteurs minimaux de $h$, c'est-\`a-dire les vecteurs $v$ non nuls de 
 $\Z^N$ tels que $h(v)$ soit minimal,
 forment un ensemble fini, not\'e $m(h)$.
 Une forme $h\in C_N$ est dite {\it parfaite} si elle 
 est enti�rement caract�ris�e 
par son minimum sur $\Z^N-\{0\}$ et par l'ensemble $m(h)$.
D\'esignons par $\Gamma$ le groupe  $GL_N(\Z)$ ou $SL_N(\Z)$.
Vorono\"i a d�montr� 
\cite{voronoi}~(Thm.,\,p.110) que, modulo l'action de $\Gamma$
et la multiplication par les r\'eels positifs, il n'y a 
qu'un nombre fini de formes parfaites.

Notons $C^*_N$ l'espace des formes quadratiques 
positives r�elles sur $\R^N$ 
dont le noyau est engendr� par un sous-espace vectoriel propre de $\Q^N$. Soient $X^*_N$ le 
quotient de $C^*_N$ par les homoth�ties positives,  $\pi : C^*_N \to X^*_N$ 
l'application quotient, $X_N = \pi(C_N)$ et $\partial X^*_N = X^*_N - X_N$.
 Le groupe $\Gamma$ agit sur $C^*_N$, et sur $X^*_N$, par la formule
\[h\cdot\ga = \ga^t h \ga,\quad \ga\in \Gamma, \quad h\in C_N^*\, ,\]
o� $\ga^t$ est la transpos�e de $\ga$.\\

%Une forme $h\in C_N$ est dite {\it parfaite} si $\mu(h)=1$, et quel que soit 
%$h'\in C_N$ tel que $\mu(h')=1$, l'�galit� $m(h)=m(h')$ implique $h=h'$. 
A tout vecteur $v\in \Z^N-\{0\}$ on peut  associer une forme $\widehat{v}\in C_N^*$, 
d�finie par $\widehat{v}(x)=(v|x)^2$. \'Etant donn� un sous-ensemble 
fini $B$  de 
$\Z^N-\{0\}$, {\it l'enveloppe convexe} de $B$ est le sous-ensemble de
$X_N^*$
 image par $\pi$ du 
sous-ensemble
\[\Big\{\sum_j \la_j \widehat{v}_j\, ,\, v_j\in B, \, \la_j\ge 0\Big\}\]
de $C_N^*$. Lorsque $h$ est une forme parfaite, nous d�signons par 
$\sigma(h)\subset X_N^*$ l'enveloppe convexe de l'ensemble $m(h)$
de ses vecteurs minimaux. 
Vorono� a montr� \cite{voronoi}~(\S\S8-15) que les cellules $\sigma(h)$ et leurs 
intersections, quand $h$ parcourt l'ensemble des formes parfaites,
d�finissent une d�composition cellulaire de $X^*_N$, compatible avec 
l'action de $\Gamma$. Nous munissons  $X^*_N$ de
 la CW-structure correspondante. 
%Nous noterons par $Y^*_N$ le quotient $X^*_N/G$. En utilisant les r�sultats de  
%Vorono� (?), nous en d�duisons que l'espace $Y^*_N$ est un CW-complexe fini.
 Si $\tau$ est une cellule (ferm�e) de $X_N^*$ et si $h$ est une forme parfaite 
telle que $\tau \subset \sigma (h)$, on note $m(\tau)$ l'ensemble des vecteurs 
$v$ de $m(h)$ tels que $\widehat{v}$ soit dans $\tau$. La cellule $\tau$ est 
l'enveloppe convexe de $m(\tau)$ et l'on a $m(\tau) \cap m(\tau') = m(\tau 
\cap \tau')$.
 
\section{Calculs explicites}
\subsection{}
Notons $\Sigma_n$, $0 \le n \le \dim (X_N^*) = d(N)= N(N+1)/2 - 1$, un ensemble de repr\'esentants, 
modulo l'action de $\Gamma$, des 
cellules $\sigma$ de dimension $n$ dans $X_N^*$ qui rencontrent $X_N$ et telles 
qu'aucun �l�ment du stabilisateur de $\sigma$ dans $\Gamma$ 
%$\gamma \in \Gamma$ tel que $\sigma \cdot \gamma = \sigma$ 
ne 
change  
l'orientation de $\sigma$.
 Pour $N \le 6$ nous avons d�termin� un tel 
ensemble $\Sigma_n$. En particulier on a le r�sultat suivant~:

\begin{prop} Le cardinal de $\Sigma_n$ est z�ro sauf dans les cas indiqu�s dans le 
tableau ci-dessous~:
\[
\setlength{\extrarowheight}{4pt}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 n  & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13& 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
\hline
GL_5(\Z) & 0 & 0 & 1 & 7 & 6 & 1& 0 & 2 & 3 \\
\hline
GL_6(\Z) & 0 &0 & 0 & 3 & 46 & 163 & 340 & 544 & 636 & 469 & 200 & 49 & 5 & 0 & 0\\
\hline
SL_6(\Z) & 3 & 10 & 18 & 43 & 169 & 460 & 815 & 1132 & 1270 
& 970 & 434 & 114 & 27 & 14 & 7\\
\noalign{\hrule height 0.4pt} 
% depth 0pt width 186.7pt}
\end{array}
\]
\vskip2pt
 

\end{prop}

\subsection{}

Pour tout entier $m > 1$ on note ${\mathcal S}_m$ la classe (de Serre) des groupes 
ab�liens finis $A$ tels que tout nombre premier $p$ divisant l'ordre de $A$ 
v�rifie $p \le m$. Si $\gamma \in \Gamma$ est d'ordre premier $p$ on sait que $p 
\le N+1$. Il en r�sulte que l'action de $\Gamma$ sur $X_N^*$ permet de d�finir un 
complexe $V = (V_n , d_n)$ tel que $V_n$ soit isomorphe au module libre engendr� 
par $\Sigma_n$, $n \ge 0$, et que l'homologie de $V$ co{\"\i}ncide, modulo 
${\mathcal S}_{N+1}$, avec l'homologie $\Gamma$-�quivariante de la paire $(X_N^* , 
\partial X_N^*)$ (\cite{B} VII Prop.~8.1, 
\cite{soule-3torsionK4} Prop.~2.2)~:
\begin{equation*}
H_n (V) = H_n^{\Gamma} (X_N^* , \partial X_N^* ; \Z ) \qquad ({\rm mod} \, {\mathcal 
S}_{N+1}) \, .
\end{equation*}
\vskip 10pt
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item[i)] Si $\Gamma = {\rm GL}_5 (\Z)$, on a, modulo ${\mathcal S}_5$,
\[H_n(V,\Z)=\begin{cases} \Z &{\rm si }\quad n=9,14,\\
0 & {\rm sinon}.
\end{cases}\]



\item[ii)] Si $\Gamma = {\rm GL}_6 (\Z)$, on a, modulo ${\mathcal S}_7$,

\[H_n(V,\Z)=\begin{cases} 
 \Z &{\rm si }\quad n=10, 11, 15,\\
0 & {\rm sinon}.
\end{cases}\]
\item[iii)] Si $\Gamma = {\rm SL}_6 (\Z)$, on a, modulo ${\mathcal S}_7$,

\[H_n(V,\Z)=\begin{cases} \Z^2 &{\rm si }\quad n=15,\\
 \Z &{\rm si }\quad n=10, 11, 12, 20,\\
0 & {\rm sinon}.
\end{cases}\]
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{}

La preuve des Propositions 2.1 et 2.2 utilise la classification des formes parfaites. 
Si $N \le 7$, le travail de Jaquet \cite{jaquet} fournit un ensemble ${\mathcal 
P}$ de repr�sentants des formes parfaites  de rang $N$ et, si $h \in {\mathcal 
P}$, la liste $m(h)$ des vecteurs minimaux de $h$ et une liste des formes 
``voisines'' de $h$ modulo l'action de son stabilisateur $\Gamma_h$, ainsi que 
leurs repr�sentants dans ${\mathcal P}$. On en d\'eduit une liste 
des faces de $\sigma (h)$ modulo $\Gamma_h$.

Pour obtenir un ensemble $\Sigma_n$ comme dans 2.1,
 on proc�de comme suit, � l'aide 
d'un ordinateur. Pour chaque $h \in {\mathcal P}$ on calcule les 
�l�ments de $\Gamma_h$, 
 et donc la liste ${\mathcal F}_{1,h}$ de toutes ses faces $\tau$ de 
codimension 1 (i.e. les ensembles $m(\tau)$ correspondants).
Par r�currence sur l'entier $n$,
 $1 \le n \le d(N)$, on d�finit 
un ensemble ${\mathcal F}_{n,h}$ de cellules de codimension $n$ dans $X_N^*$, puis un 
syst�me de repr�sentants ${\mathcal C}_{n,h} \subset {\mathcal F}_{n,h}$ pour 
l'action de $\Gamma$ sur ${\mathcal F}_{n,h}$ (cf. 4.3). Par d�finition, ${\mathcal 
F}_{n+1,h}$ est l'ensemble des cellules $\varphi \cap \tau$, $\varphi \in {\mathcal 
F}_{n,h}$, $\tau \in {\mathcal C}_{n,h}$, qui sont de codimension $n+1$ dans 
$\sigma (h)$.
L'ensemble $\Sigma_n$ est alors obtenu en choisissant des repr�sentants modulo 
$\Gamma$ de la r�union des ${\mathcal C}_{d(N) - n,h}$, $h \in {\mathcal P}$.




\subsection{}

Pour calculer la diff\'erentielle de $V$ on proc�de comme suit. Pour chaque 
cellule $\sigma$ de $\Sigma_n$, $n \ge 0$, on choisit un ordre sur l'ensemble 
$m(\sigma)$ de ses vecteurs minimaux. Pour toute cellule $\tau' \subset \sigma$ 
cet ordre fournit un ordre sur $m(\tau')$ et donc une orientation du sous-espace 
vectoriel r�el $\R \, \langle \tau' \rangle$ engendr� par $m(\tau')$ 
dans l'espace vectoriel
des matrices sym�triques r�elles. Si $\tau'$ est une face de $\sigma$ on obtient 
une base orient�e $B$ de $\R \, \langle \sigma \rangle$ en adjoignant � la suite 
d'une base positive de $\R \, \langle \tau' \rangle$ l'�l�ment $\widehat v$, o� $v$ 
est l'�l�ment minimal 
de $m(\sigma) - m(\tau')$
(pour l'ordre choisi ci-dessus). 
Notons $\epsilon (\tau' , \sigma) 
= \pm 1$ l'orientation de $B$ dans $\R \, \langle \sigma \rangle$.

Si $\tau \in \Sigma_{n-1}$ est �quivalente � la face $\tau' = \tau \cdot \gamma$ 
de $\sigma \in \Sigma_n$, on pose $\eta (\tau , \tau') = 1$ (resp. $\eta 
(\tau,\tau') = -1$) selon que $\gamma$ est compatible (ou non) aux orientations 
choisies de $\R \, \langle \tau \rangle$ et $\R \, \langle \tau' \rangle$. On a alors
$$
d_n (\sigma) = \sum_{\tau \in \Sigma_{n-1}} \sum_{\tau'} \eta (\tau,\tau') \, 
\epsilon (\tau' , \sigma) \, \tau \, ,
$$
o� $\tau'$ parcourt l'ensemble des faces de $\sigma$ �quivalentes � $\tau$. On 
notera que l'identit� $d_{n+1} \circ d_n = 0$, $n \ge 0$, est un bon test pour 
v�rifier les calculs effectu�s par l'ordinateur.


  
\section{Cohomologie des groupes modulaires}

Si ${\rm St}_N$ est le module de Steinberg de ${\rm SL}_{N,\Q}$ on a
\begin{equation}
H_n^{\Gamma} (X_N^* , \partial X_N^* ; \Z) = H_{n-N+1} (\Gamma , {\rm St}_N)
\end{equation}
(cf. \cite{soule-3torsionK4}). Le th�or�me de dualit� de Borel et Serre
 \cite{BS} dit que
$$
H_m (\Gamma , {\rm St}_N) = H^{d-m} (\Gamma , \widetilde{\Z}) \qquad ({\rm mod} \, {\mathcal 
S}_{N+1}) \, ,
$$
o� $d= N(N-1)/2$ est la dimension cohomologique virtuelle
 de $\Gamma$ et $\widetilde{\Z}$ 
est le $\Gamma$-module trivial $\Z$ sauf quand $\Gamma = {\rm GL}_N (\Z)$ et $N$ est 
pair, auquel cas $\gamma \in \Gamma$ agit par multiplication par $\det (\gamma)$ 
sur $\widetilde{\Z} = \Z$. Enfin, le lemme de Shapiro montre que, modulo 
${\mathcal S}_2$, 
$$
H^m ({\rm SL}_N (\Z) , \Z) = H^m ({\rm GL}_N (\Z) , \Z) \oplus H^m ({\rm GL}_N 
(\Z) , \widetilde{\Z}) \, .
$$
La Proposition 2.2 implique donc le r�sultat suivant~:

\begin{thm}
\begin{itemize}
\item[i)] Modulo ${\mathcal S}_5$ on a
$$
H^m ({\rm GL}_5 (\Z) , \Z) = \begin{cases} \Z & {\rm si} \quad m = 0, 5,\ \\
0 & {\rm sinon}.
\end{cases}
$$
\item[ii)] Modulo ${\mathcal S}_7$ on a
$$
H^m ({\rm GL}_6 (\Z) , \Z) = \begin{cases} \Z &{\rm si }\quad m= 0, 5, 8,\\
0 & {\rm sinon},
\end{cases}
$$
et
$$
H^m ({\rm SL}_6 (\Z) , \Z) = \begin{cases} \Z^2 &{\rm si }\quad m=5,\\
\Z &{\rm si }\quad m=0, 8, 9, 10,\ \\
0 & {\rm sinon}.
\end{cases}
$$
\end{itemize}
\end{thm}

\section{K-th\'eorie des entiers}

\subsection{}

Rappelons que $K_1 (\Z) = K_2 (\Z) = \Z / 2$, $K_3 (\Z) = \Z / 48$ et $K_4 (\Z) = 
0$ \cite{R}.
\vskip 10pt
\begin{thm}
%\begin{itemize} 
On a $K_5 (\Z) = \Z$. Par ailleurs, l'ordre de $K_6 (\Z)$ est une puissance de 3.
%\end{itemize}
\end{thm}
\vskip 10pt


Notons $Q$ (resp. $Q_N$) la cat�gorie d�finie par Quillen \cite{Q1} � partir des 
$\Z$-modules libres de rang fini (resp. de rang au plus $N$). Si $BQ$ est le 
classifiant de $Q$, on a
$$
K_m (\Z) = \pi_{m+1} \, BQ \, ,
$$
et l'on dispose de suites exactes \cite{Q2}
\begin{equation}
\cdots \rightarrow H_m (BQ_{N-1} , \Z) \rightarrow H_m (B Q_N , \Z) \rightarrow 
H_{m-N} ({\rm GL}_N (\Z) , {\rm St}_N)
 \rightarrow H_{m-1} (B Q_{N-1} , \Z) \rightarrow \cdots 
%\, .
\end{equation}

On sait aussi que $H_0 ({\rm GL}_N (\Z) , {\rm St}_N) = 0$ si $N \ge 1$.

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item[i)] Modulo ${\mathcal S}_2$ on a
$$
H_3 ({\rm GL}_3 (\Z) , {\rm St}_3) = \Z
$$
et
$$
 H_1 ({\rm GL}_5 (\Z) , {\rm St}_5) = H_2 ({\rm GL}_4 (\Z) , {\rm St}_4) =
 H_4 ({\rm GL}_2 (\Z) , {\rm St}_2) = 0 \, .
$$
\item[ii)] Modulo ${\mathcal S}_3$ on a
$$
H_3 ({\rm GL}_4 (\Z) , {\rm St}_4) = \Z
$$
et
$$
H_1 ({\rm GL}_6 (\Z) , {\rm St}_6) = H_2 ({\rm GL}_5 (\Z) , {\rm St}_5) = H_4 
({\rm GL}_3 (\Z) , {\rm St}_3) = H_5 ({\rm GL}_2 (\Z) , {\rm St}_2) = 0 \, .
$$
\end{itemize}
\end{prop}

Pour d\'emontrer cette proposition on utilise les r\'esultats du calcul amenant \`a
la Proposition 2.1 et les r�sultats de 
\cite{SL3}, \cite{lee/szczarba},  \cite{soule-torsionKZ}
et \cite{soule-3torsionK4}. 
D'apr�s (3.1) et \cite{B} ou \cite{soule-3torsionK4}, on peut 
calculer les groupes $H_m ({\rm GL}_N (\Z) , {\rm St}_N)$ � l'aide d'une suite 
spectrale dont le terme $E_1$ est une somme de groupes d'homologie des 
stabilisateurs des cellules des $\Sigma_n$. L'analyse 
de ces groupes conduit � la 
Proposition 4.2.

\subsection{}

A l'aide de (4.1) et de \cite{lee/szczarba} on d�duit de la Proposition 4.2 que $H_6 (BQ,\Z) = 
\Z$ modulo ${\mathcal S}_2$ et que $H_7 (BQ,\Z) = \Z$ modulo ${\mathcal S}_3$. Par 
ailleurs on d\'emontre, en utilisant \cite{A},  que le noyau du morphisme d'Hurewicz
$$
K_5 (\Z) \rightarrow H_6 (BQ,\Z)
$$
(resp. $K_6 (\Z) \rightarrow H_7 (BQ,\Z)$) est dans ${\mathcal S}_2$ (resp. 
${\mathcal S}_3$). Enfin, on sait que $K_6 (\Z)$ est fini, que $K_5 (\Z)$ 
est de rang un, et qu'aucun d'eux n'a de la 2-torsion \cite{RW}. Le Th�or�me 4.1 en 
r�sulte.

\subsection{}

La plupart des programmes ont \'et\'e d\'evelopp\'es en utilisant le logiciel PARI-GP
\cite{parigp}. Nous utilisons aussi les programmes de 
 \cite{souvignier} pour d\'ecider si deux formes de $C_N^*$ sont
 \'equivalentes sous l'action de $\Gamma$. Enfin, le logiciel
GAP \cite{GAP} permet de produire tous les \'el\'ements des groupes finis 
$\Gamma_h$, $h \in {\mathcal P}$, \`a partir de leurs g\'en\'erateurs et 
de calculer certains de leurs groupes d'homologie.

Les calculs ont \'et\'e r\'ealis\'es sur les ordinateurs de l'UMS M\'edicis, 
ceux du MPI Bonn,
et ceux de l'ACI "Arithm\'etique des fonctions L".
}

%{\small {\bf Acknowledgements.} .\\}
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{20}


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