have h_re  (s : ℝ) (t : ℝ) : (s  - I * t).re = s  := by simp
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))