induction F generalizing V
D : Type
I : Interpretation D
V : VarAssignment D
E E' : Env
F : Formula
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h2 : all_def_in_env E F
h3 : E'.nodup_
⊢ Holds D I V E' F ↔ Holds D I V E F
case pred_const_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (pred_const_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (pred_const_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (pred_const_ a✝¹ a✝)

case pred_var_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (pred_var_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (pred_var_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (pred_var_ a✝¹ a✝)

case eq_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ a✝ : VarName
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (eq_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (eq_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (eq_ a✝¹ a✝)

case true_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E true_
⊢ Holds D I V E' true_ ↔ Holds D I V E true_

case false_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E false_
⊢ Holds D I V E' false_ ↔ Holds D I V E false_

case not_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝ : Formula
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E a✝.not_
⊢ Holds D I V E' a✝.not_ ↔ Holds D I V E a✝.not_

case imp_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝¹ → (Holds D I V E' a✝¹ ↔ Holds D I V E a✝¹)
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (a✝¹.imp_ a✝)
⊢ Holds D I V E' (a✝¹.imp_ a✝) ↔ Holds D I V E (a✝¹.imp_ a✝)

case and_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝¹ → (Holds D I V E' a✝¹ ↔ Holds D I V E a✝¹)
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (a✝¹.and_ a✝)
⊢ Holds D I V E' (a✝¹.and_ a✝) ↔ Holds D I V E (a✝¹.and_ a✝)

case or_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝¹ → (Holds D I V E' a✝¹ ↔ Holds D I V E a✝¹)
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (a✝¹.or_ a✝)
⊢ Holds D I V E' (a✝¹.or_ a✝) ↔ Holds D I V E (a✝¹.or_ a✝)

case iff_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝¹ → (Holds D I V E' a✝¹ ↔ Holds D I V E a✝¹)
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (a✝¹.iff_ a✝)
⊢ Holds D I V E' (a✝¹.iff_ a✝) ↔ Holds D I V E (a✝¹.iff_ a✝)

case forall_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (forall_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (forall_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (forall_ a✝¹ a✝)

case exists_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ∀ (V : VarAssignment D), all_def_in_env E a✝ → (Holds D I V E' a✝ ↔ Holds D I V E a✝)
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (exists_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (exists_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (exists_ a✝¹ a✝)

case def_
D : Type
I : Interpretation D
E E' : Env
h1 : ∃ E1, E' = E1 ++ E
h3 : E'.nodup_
a✝¹ : DefName
a✝ : List VarName
V : VarAssignment D
h2 : all_def_in_env E (def_ a✝¹ a✝)
⊢ Holds D I V E' (def_ a✝¹ a✝) ↔ Holds D I V E (def_ a✝¹ a✝)