unfold fwdDeriv
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdDeriv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x = fun dx =>
    let ydy := fun i => fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx;
     ∑ i, ydy i
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x =>  ∑ i, f x i) x, cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx);
     ∑ i, ydy i