obtain ⟨C₁, hC₁_le, hC₁⟩ := nat_div_approx (Nat.floor x) d
case neg
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
d : ℕ
hd : ¬d = 0
⊢ ∃ C, |C| ≤ 2 ∧ ↑(⌊x⌋₊ / d) = x / ↑d + C
case neg.intro.intro
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
d : ℕ
hd : ¬d = 0
C₁ : ℝ
hC₁_le : |C₁| ≤ 1
hC₁ : ↑(⌊x⌋₊ / d) = ↑⌊x⌋₊ / ↑d + C₁
⊢ ∃ C, |C| ≤ 2 ∧ ↑(⌊x⌋₊ / d) = x / ↑d + C