simp only [mem_preimage, update_apply]
case h
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f✝ : α → β
a : α
b : β
f : α → β
s : Set β
hbs : b ∉ s
has : f a ∉ s
x : α
⊢ x ∈ update f a b ⁻¹' s ↔ x ∈ f ⁻¹' s
case h
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f✝ : α → β
a : α
b : β
f : α → β
s : Set β
hbs : b ∉ s
has : f a ∉ s
x : α
⊢ (if x = a then b else f x) ∈ s ↔ f x ∈ s