suffices
  ∃ a' b' c' : ℤ,
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧
        c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * p).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
  by
  obtain ⟨a', b', c', ha', hb', hc', hsmaller, hsolution⟩ := this
  refine' ⟨a', b', c', ha', hb', hc', _, hsolution⟩
  rw [← Nat.pow_lt_iff_lt_left (by norm_num : 1 ≤ 3)]
  convert lt_of_le_of_lt hsmaller haaa <;> simp [mul_pow, Int.natAbs_mul, Int.natAbs_pow]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c : ℤ
h : FltCoprime 3 a b c
p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
haaa : Int.natAbs (2 * p) < Int.natAbs (a ^ 3 * b ^ 3 * c ^ 3)
⊢ ∃ a' b' c', a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' * b' * c') < Int.natAbs (a * b * c) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c : ℤ
h : FltCoprime 3 a b c
p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
haaa : Int.natAbs (2 * p) < Int.natAbs (a ^ 3 * b ^ 3 * c ^ 3)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * p) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3