apply Nat.log_of_one_lt_of_le hb
case a.h₁
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ log b (b * n + c) = ?a.b✝

case a.h₂
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ ?a.b✝ ≤ log b n + 1

case a.b
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ ℕ

case a
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ log b n + 1 ≤ log b (b * n + c)
case a.h₁
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ b ≤ b * n + c

case a.h₂
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ log b ((b * n + c) / b) + 1 ≤ log b n + 1

case a
b n c : ℕ
hb : 1 < b
hn : 1 ≤ n
hc : c < b
⊢ log b n + 1 ≤ log b (b * n + c)