simp only [Subtype.coe_eta, Subtype.coe_prop, exists_const, iff_true] at heq
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {y | plus (S x, y) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq :
  (∃ (x_1 : ↑y ∈ N0),
      plus (S x, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ N0) }) = S (plus (x, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ N0) }))) ↔
    ↑y ∈ N0
⊢ plus (S x, y) = S (plus (x, y))
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {y | plus (S x, y) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq : plus (S x, y) = S (plus (x, y))
⊢ plus (S x, y) = S (plus (x, y))