intro a₁ k₁ b₁ a₁_lt_k₁ k₁_lt_b₁ ih₁ ih₂ φDiff₁ derivφCont₁
case step
φ : ℝ → ℂ
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
φDiff : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x
derivφCont : ContinuousOn (deriv φ) [[a, b]]
P : ℝ → ℝ → Prop :=
  fun a₁ b₁ =>
    (∀ x ∈ [[a₁, b₁]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x) →
      ContinuousOn (deriv φ) [[a₁, b₁]] →
        ∑ n ∈ Finset.Ioc ⌊a₁⌋ ⌊b₁⌋, φ ↑n =
          (∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, φ x) + (↑⌊b₁⌋ + 1 / 2 - ↑b₁) * φ b₁ - (↑⌊a₁⌋ + 1 / 2 - ↑a₁) * φ a₁ -
            ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) * deriv φ x
⊢ ∀ (a : ℝ) (k : ℤ) (b : ℝ), a < ↑k → ↑k < b → P a ↑k → P (↑k) b → P a b
case step
φ : ℝ → ℂ
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
φDiff : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x
derivφCont : ContinuousOn (deriv φ) [[a, b]]
P : ℝ → ℝ → Prop :=
  fun a₁ b₁ =>
    (∀ x ∈ [[a₁, b₁]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x) →
      ContinuousOn (deriv φ) [[a₁, b₁]] →
        ∑ n ∈ Finset.Ioc ⌊a₁⌋ ⌊b₁⌋, φ ↑n =
          (∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, φ x) + (↑⌊b₁⌋ + 1 / 2 - ↑b₁) * φ b₁ - (↑⌊a₁⌋ + 1 / 2 - ↑a₁) * φ a₁ -
            ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) * deriv φ x
a₁ : ℝ
k₁ : ℤ
b₁ : ℝ
a₁_lt_k₁ : a₁ < ↑k₁
k₁_lt_b₁ : ↑k₁ < b₁
ih₁ : P a₁ ↑k₁
ih₂ : P (↑k₁) b₁
φDiff₁ : ∀ x ∈ [[a₁, b₁]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x
derivφCont₁ : ContinuousOn (deriv φ) [[a₁, b₁]]
⊢ ∑ n ∈ Finset.Ioc ⌊a₁⌋ ⌊b₁⌋, φ ↑n =
    (∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, φ x) + (↑⌊b₁⌋ + 1 / 2 - ↑b₁) * φ b₁ - (↑⌊a₁⌋ + 1 / 2 - ↑a₁) * φ a₁ -
      ∫ (x : ℝ) in a₁..b₁, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) * deriv φ x