induction' s using Finset.induction_on with a s ans ih
s : Finset ℕ
p : ℕ
prime_p : p.Prime
h₀ : ∀ n ∈ s, n.Prime
h₁ : p ∣ ∏ n ∈ s, n
⊢ p ∈ s
case empty
p : ℕ
prime_p : p.Prime
h₀ : ∀ n ∈ ∅, n.Prime
h₁ : p ∣ ∏ n ∈ ∅, n
⊢ p ∈ ∅

case insert
p : ℕ
prime_p : p.Prime
a : ℕ
s : Finset ℕ
ans : a ∉ s
ih : (∀ n ∈ s, n.Prime) → p ∣ ∏ n ∈ s, n → p ∈ s
h₀ : ∀ n ∈ insert a s, n.Prime
h₁ : p ∣ ∏ n ∈ insert a s, n
⊢ p ∈ insert a s