have haa : s ∉ a := by
  intro hns
  simp [hns, f] at ha
case mp
k : ℕ
ih :
  ∀ {α : Type} [inst : DecidableEq α] [inst_1 : Fintype α],
    Fintype.card α = k →
      ∀ N ≤ 2 ^ k,
        ∃ f, (∀ (s1 s2 : Finset α), f s1 = f s2 → f (s1 ∪ s2) = f s1) ∧ Fintype.card { a // f a = Color.red } = N
S : Type
hde : DecidableEq S
hft : Fintype S
hs : Fintype.card S = k + 1
N : ℕ
hN : N ≤ 2 ^ (k + 1)
s : S
S' : Type := { a // a ≠ s }
hs' : Fintype.card S' = k
hl : N ≤ 2 ^ k
f' : Finset S' → Color
hf1' : ∀ (s1 s2 : Finset S'), f' s1 = f' s2 → f' (s1 ∪ s2) = f' s1
hf2' : Fintype.card { a // f' a = Color.red } = N
f : Finset S → Color := fun x => if s ∈ x then Color.blue else f' (Finset.subtype (fun a => a ≠ s) x)
a : Finset S
ha : f a = Color.red
⊢ s ∉ a ∧ f' (Finset.subtype (fun a => a ≠ s) a) = Color.red
case mp
k : ℕ
ih :
  ∀ {α : Type} [inst : DecidableEq α] [inst_1 : Fintype α],
    Fintype.card α = k →
      ∀ N ≤ 2 ^ k,
        ∃ f, (∀ (s1 s2 : Finset α), f s1 = f s2 → f (s1 ∪ s2) = f s1) ∧ Fintype.card { a // f a = Color.red } = N
S : Type
hde : DecidableEq S
hft : Fintype S
hs : Fintype.card S = k + 1
N : ℕ
hN : N ≤ 2 ^ (k + 1)
s : S
S' : Type := { a // a ≠ s }
hs' : Fintype.card S' = k
hl : N ≤ 2 ^ k
f' : Finset S' → Color
hf1' : ∀ (s1 s2 : Finset S'), f' s1 = f' s2 → f' (s1 ∪ s2) = f' s1
hf2' : Fintype.card { a // f' a = Color.red } = N
f : Finset S → Color := fun x => if s ∈ x then Color.blue else f' (Finset.subtype (fun a => a ≠ s) x)
a : Finset S
ha : f a = Color.red
haa : s ∉ a
⊢ s ∉ a ∧ f' (Finset.subtype (fun a => a ≠ s) a) = Color.red