refine ⟨?_, ?_⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.h
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ : Matroid α
F I✝ J X✝ Y B C R : Set α
e✝ f✝ x y : α
β : Type u_3
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
I X : Set α
hI' : M.Basis I X
hX : f '' X ⊆ f '' M.E
hI : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
e : β
⊢ (∃ x, (x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)) ∧ f x = e) ↔
    (∃ x ∈ M.E, f x = e) ∧ ∀ (x : Set α), M.Indep x → insert e (f '' I) = f '' x → ∃ x ∈ I, f x = e
case intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_1
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ : Matroid α
F I✝ J X✝ Y B C R : Set α
e✝ f✝ x y : α
β : Type u_3
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
I X : Set α
hI' : M.Basis I X
hX : f '' X ⊆ f '' M.E
hI : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
e : β
⊢ (∃ x, (x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)) ∧ f x = e) →
    (∃ x ∈ M.E, f x = e) ∧ ∀ (x : Set α), M.Indep x → insert e (f '' I) = f '' x → ∃ x ∈ I, f x = e

case intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_2
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ : Matroid α
F I✝ J X✝ Y B C R : Set α
e✝ f✝ x y : α
β : Type u_3
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
I X : Set α
hI' : M.Basis I X
hX : f '' X ⊆ f '' M.E
hI : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
e : β
⊢ ((∃ x ∈ M.E, f x = e) ∧ ∀ (x : Set α), M.Indep x → insert e (f '' I) = f '' x → ∃ x ∈ I, f x = e) →
    ∃ x, (x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)) ∧ f x = e