induction' m, hm using Nat.le_induction with m' _ IH
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
⊢ ¬∃ x' y' z' ε₃, ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ y' ∧ ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ z' ∧ x' ^ ↑p + y' ^ ↑p = ↑ε₃ * ((↑hζ.unit' - 1) ^ m * z') ^ ↑p
case base
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
m : ℕ
⊢ ¬∃ x' y' z' ε₃, ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ y' ∧ ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ z' ∧ x' ^ ↑p + y' ^ ↑p = ↑ε₃ * ((↑hζ.unit' - 1) ^ 1 * z') ^ ↑p

case succ
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
m m' : ℕ
hmn✝ : 1 ≤ m'
IH :
  ¬∃ x' y' z' ε₃, ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ y' ∧ ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ z' ∧ x' ^ ↑p + y' ^ ↑p = ↑ε₃ * ((↑hζ.unit' - 1) ^ m' * z') ^ ↑p
⊢ ¬∃ x' y' z' ε₃,
      ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ y' ∧ ¬↑hζ.unit' - 1 ∣ z' ∧ x' ^ ↑p + y' ^ ↑p = ↑ε₃ * ((↑hζ.unit' - 1) ^ (m' + 1) * z') ^ ↑p