by_contra H
S : Set ℝ
h1 : ∀ x ∈ S, ∃ y, x < y ∧ Set.Ico x y ⊆ S
h2 : ∀ (x y : ℝ), x < y → Set.Ico x y ⊆ S → y ∈ S
z : ℝ
hz : z ∈ S
⊢ Set.Ici z ⊆ S
S : Set ℝ
h1 : ∀ x ∈ S, ∃ y, x < y ∧ Set.Ico x y ⊆ S
h2 : ∀ (x y : ℝ), x < y → Set.Ico x y ⊆ S → y ∈ S
z : ℝ
hz : z ∈ S
H : ¬Set.Ici z ⊆ S
⊢ False