simp only [Finsupp.total, ne_eq, Pi.single_apply, coe_lsum, LinearMap.coe_smulRight,
  LinearMap.id_coe, id_eq, smul_ite, smul_zero, sum_ite_eq', mem_support_iff, ite_eq_left_iff,
  not_not]
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H
inst✝⁷ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ : H
hσ : Subgroup.zpowers σ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
α : Type u_5
M : Type u_6
R : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
m : M
f : α →₀ R
⊢ (Finsupp.total α M R (Pi.single i m)) f = f i • m
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H
inst✝⁷ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ : H
hσ : Subgroup.zpowers σ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
α : Type u_5
M : Type u_6
R : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
m : M
f : α →₀ R
⊢ f i = 0 → 0 = f i • m