refine' ⟨a, -c, -b, ⟨_, _, fun habs => _, _, _⟩⟩
case pos
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
⊢ ∃ x y z, x ^ p + y ^ p = z ^ p ∧ {x, y, z}.gcd id = 1 ∧ ¬x ≡ y [ZMOD ↑p] ∧ x * y * z ≠ 0 ∧ ¬↑p ∣ x * y * z
case pos.refine'_1
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
⊢ a ^ p + (-c) ^ p = (-b) ^ p

case pos.refine'_2
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
⊢ {a, -c, -b}.gcd id = 1

case pos.refine'_3
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
habs : a ≡ -c [ZMOD ↑p]
⊢ False

case pos.refine'_4
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
⊢ a * -c * -b ≠ 0

case pos.refine'_5
p : ℕ
a b c : ℤ
hpri : p.Prime
hp5 : 5 ≤ p
hprod : a * b * c ≠ 0
h : a ^ p + b ^ p = c ^ p
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseI : ¬↑p ∣ a * b * c
H : a ≡ b [ZMOD ↑p]
⊢ ¬↑p ∣ a * -c * -b