specialize hP x
case intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Subsemigroup R
P : Ideal R
hP : ∀ (x : R), x ∉ ↑⊤ ∩ ↑S
h : P = ⊤
x : R
h₂ : x ∈ ↑S
⊢ False
case intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Subsemigroup R
P : Ideal R
h : P = ⊤
x : R
h₂ : x ∈ ↑S
hP : x ∉ ↑⊤ ∩ ↑S
⊢ False