have : MultisetRedLt N' N := by
  apply MultisetRedLt.RedLt (Z + newY) (f y) y
  . rfl
  . have newY_y_Y: newY + {y} = Y := by unfold_let newY; simp [mul_cons_trivial]; apply Multiset.cons_erase claim
    have : Z + newY + {y} = Z + (newY + {y}) := by apply add_assoc
    rw [this]
    rw [newY_y_Y]
    exact N_def
  . unfold_let f; intro z z_in; simp at z_in; tauto
case intro.a
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x y => x < y
Y : Multiset α
IH : ∀ t < Y, t ≠ ∅ → ∀ (M N X Z : Multiset α), M = Z + X → N = Z + t → (∀ x ∈ X, ∃ y ∈ t, x < y) → TC MultisetRedLt M N
Y_not_empty : Y ≠ ∅
M N X Z : Multiset α
M_def : M = Z + X
N_def : N = Z + Y
X_lt_Y : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ Y, x < y
hyp' : ¬Multiset.card Y = 0
hyp : ¬Multiset.card Y = 1
y : α
claim : y ∈ Y
newY : Multiset α := Y.erase y
newY_nonEmpty : newY ≠ ∅
newY_sub_Y : newY < Y
f : α → Multiset α := fun y' => Multiset.filter (fun x => x < y') X
N' : Multiset α := Z + newY + f y
⊢ TC MultisetRedLt N' N
case intro.a
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x y => x < y
Y : Multiset α
IH : ∀ t < Y, t ≠ ∅ → ∀ (M N X Z : Multiset α), M = Z + X → N = Z + t → (∀ x ∈ X, ∃ y ∈ t, x < y) → TC MultisetRedLt M N
Y_not_empty : Y ≠ ∅
M N X Z : Multiset α
M_def : M = Z + X
N_def : N = Z + Y
X_lt_Y : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ Y, x < y
hyp' : ¬Multiset.card Y = 0
hyp : ¬Multiset.card Y = 1
y : α
claim : y ∈ Y
newY : Multiset α := Y.erase y
newY_nonEmpty : newY ≠ ∅
newY_sub_Y : newY < Y
f : α → Multiset α := fun y' => Multiset.filter (fun x => x < y') X
N' : Multiset α := Z + newY + f y
this : MultisetRedLt N' N
⊢ TC MultisetRedLt N' N