split_ifs with hb ha
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
f✝ : α → β
a✝ : α
b✝ : β
f : α → β
a : α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : Decidable (b ∈ s)
inst✝ : Decidable (f a ∈ s)
⊢ update f a b ⁻¹' s = if b ∈ s then insert a (f ⁻¹' s) else if f a ∈ s then f ⁻¹' s \ {a} else f ⁻¹' s
case pos
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
f✝ : α → β
a✝ : α
b✝ : β
f : α → β
a : α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : Decidable (b ∈ s)
inst✝ : Decidable (f a ∈ s)
hb : b ∈ s
⊢ update f a b ⁻¹' s = insert a (f ⁻¹' s)

case pos
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
f✝ : α → β
a✝ : α
b✝ : β
f : α → β
a : α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : Decidable (b ∈ s)
inst✝ : Decidable (f a ∈ s)
hb : b ∉ s
ha : f a ∈ s
⊢ update f a b ⁻¹' s = f ⁻¹' s \ {a}

case neg
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
r s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t t' t₁ t₂ : Set β✝
f✝¹ : α✝ → β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
f✝ : α → β
a✝ : α
b✝ : β
f : α → β
a : α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : Decidable (b ∈ s)
inst✝ : Decidable (f a ∈ s)
hb : b ∉ s
ha : f a ∉ s
⊢ update f a b ⁻¹' s = f ⁻¹' s