induction' n with n _ <;> simp[ball, Nat.lt_succ_iff] at*
p : ℕ → ℕ
n : ℕ
⊢ n.ball p = 1 ↔ 0 < n.ball p
case succ
p : ℕ → ℕ
n : ℕ
a✝ : rec 1 (fun n ih => (p n).pos.and ih) n = 1 ↔ 0 < rec 1 (fun n ih => (p n).pos.and ih) n
⊢ (p n).pos.and (rec 1 (fun n ih => (p n).pos.and ih) n) = 1 ↔ 0 < p n ∧ 0 < rec 1 (fun n ih => (p n).pos.and ih) n