simp [A, Set.ext_iff] at heq
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {x | plus (S y, x) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq : Subtype.val '' A = N0
⊢ plus (S y, x) = S (plus (x, y))
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {x | plus (S y, x) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq :
  ∀ (x : α),
    (∃ (x_1 : x ∈ N0),
        plus (S y, { val := x, property := (_ : x ∈ N0) }) = S (plus ({ val := x, property := (_ : x ∈ N0) }, y))) ↔
      x ∈ N0
⊢ plus (S y, x) = S (plus (x, y))