have : Seq v ∧ lh v = k ∧ ∀ i z, ⟪i, z⟫ ∈ v → z ∈ a := @ih v |>.mp hv
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a k : M
ih : ∀ {s : M}, s ∈ a ^ˢ k ↔ Seq s ∧ lh s = k ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a
v : M
hv : v ∈ a ^ˢ k
u : M
hu : u ∈ a
hs : v ⁀' u ∈ a ^ˢ k ×ˢ a
⊢ Seq (v ⁀' u) ∧ lh (v ⁀' u) = k + 1 ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ v ⁀' u → z ∈ a
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a k : M
ih : ∀ {s : M}, s ∈ a ^ˢ k ↔ Seq s ∧ lh s = k ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a
v : M
hv : v ∈ a ^ˢ k
u : M
hu : u ∈ a
hs : v ⁀' u ∈ a ^ˢ k ×ˢ a
this : Seq v ∧ lh v = k ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ v → z ∈ a
⊢ Seq (v ⁀' u) ∧ lh (v ⁀' u) = k + 1 ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ v ⁀' u → z ∈ a