simp only [mem_orthSpace_iff', mem_map, mem_dualAnnihilator]
case h
α : Type u_1
R : Type u_2
η✝ : Type u_3
ι : Type u_4
η : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
x✝ : η → R
U✝ V : Submodule R (η → R)
inst✝ : Fintype η
U : Submodule R (η → R)
x : η → R
⊢ x ∈ U.orthSpace ↔ x ∈ map (Module.piEquiv η R R).symm U.dualAnnihilator
case h
α : Type u_1
R : Type u_2
η✝ : Type u_3
ι : Type u_4
η : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
x✝ : η → R
U✝ V : Submodule R (η → R)
inst✝ : Fintype η
U : Submodule R (η → R)
x : η → R
⊢ (∀ y ∈ U, ∑ i : η, x i * y i = 0) ↔ ∃ y, (∀ w ∈ U, y w = 0) ∧ (Module.piEquiv η R R).symm y = x