rcases h with ⟨p, hp⟩
case mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
⊢ Definable L Γ fun v => ∃ x < f v, P v x
case mk.intro.mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
⊢ Definable L Γ fun v => ∃ x < f v, P v x