intro v
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
⊢ ∀ (x : Fin k → M), P (f x) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M x id bf, z = f x ∧ P z
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z