have path₂₃ : pathToNext nfa''' next nfa.nodes.size nfa''.val.start cs := by
  apply path₂₃.cast
  intro i _ h₂
  exists Nat.lt_trans h₂ nfa'''.property
  rw [eq₃, pushNode_get_lt _ h₂]
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
i : ℕ
r : Data.Expr
nfa'✝ : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq✝ : nfa.pushRegex next (Data.Expr.group i r) = nfa'✝
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {nfa' : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r = nfa' → (↑nfa').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa').start) cs
nfa' : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
nfa'' : { nfa'_1 // (↑nfa').nodes.size < nfa'_1.nodes.size }
nfa''' : { nfa'_1 // (↑nfa'').nodes.size < nfa'_1.nodes.size }
property : nfa.nodes.size < (↑nfa''').nodes.size
inBounds'✝ : (Node.save (2 * i + 1) ↑next).inBounds (nfa.nodes.size + 1)
inBounds'''✝ : (Node.save (2 * i) ↑(↑nfa'').start).inBounds ((↑nfa'').nodes.size + 1)
eq₁ : nfa' = nfa.pushNode (Node.save (2 * i + 1) ↑next) inBounds'✝
eq₂ : nfa'' = (↑nfa').pushRegex (↑nfa').start r
eq₃ : nfa''' = (↑nfa'').pushNode (Node.save (2 * i) ↑(↑nfa'').start) inBounds'''✝
eq : nfa'✝ = ⟨↑nfa''', property⟩
path₃✝ : (↑nfa').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size ↑(↑nfa').start []
path₃ : (↑nfa'').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size ↑(↑nfa').start []
path₂✝ : (↑nfa'').pathToNext (↑(↑nfa').start) (↑nfa').nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
path₂ : (↑nfa'').pathToNext (↑(↑nfa').start) nfa.nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
path₂₃ : (↑nfa'').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
⊢ (↑nfa''').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa''').start) cs
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
i : ℕ
r : Data.Expr
nfa'✝ : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq✝ : nfa.pushRegex next (Data.Expr.group i r) = nfa'✝
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {nfa' : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r = nfa' → (↑nfa').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa').start) cs
nfa' : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
nfa'' : { nfa'_1 // (↑nfa').nodes.size < nfa'_1.nodes.size }
nfa''' : { nfa'_1 // (↑nfa'').nodes.size < nfa'_1.nodes.size }
property : nfa.nodes.size < (↑nfa''').nodes.size
inBounds'✝ : (Node.save (2 * i + 1) ↑next).inBounds (nfa.nodes.size + 1)
inBounds'''✝ : (Node.save (2 * i) ↑(↑nfa'').start).inBounds ((↑nfa'').nodes.size + 1)
eq₁ : nfa' = nfa.pushNode (Node.save (2 * i + 1) ↑next) inBounds'✝
eq₂ : nfa'' = (↑nfa').pushRegex (↑nfa').start r
eq₃ : nfa''' = (↑nfa'').pushNode (Node.save (2 * i) ↑(↑nfa'').start) inBounds'''✝
eq : nfa'✝ = ⟨↑nfa''', property⟩
path₃✝ : (↑nfa').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size ↑(↑nfa').start []
path₃ : (↑nfa'').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size ↑(↑nfa').start []
path₂✝ : (↑nfa'').pathToNext (↑(↑nfa').start) (↑nfa').nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
path₂ : (↑nfa'').pathToNext (↑(↑nfa').start) nfa.nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
path₂₃✝ : (↑nfa'').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
path₂₃ : (↑nfa''').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa'').start) cs
⊢ (↑nfa''').pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑nfa''').start) cs