rintro ⟨f', iₙ, gₙ, hₙ, ⟨i, g, h, rfl⟩, rfl⟩
case succ.mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
  ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
    HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
f : ((i : ι) → α i) → R
⊢ (∃ f' i g h,
      (∃ i g h, f' = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) ∧
        f = f' + fun x => g (x i) * h fun j x_1 => x j) →
    ∃ i g h, f = ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
case succ.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_3
inst✝ : Semiring R
m : ℕ
f₁ f₂ : ((i : ι) → α i) → R
n : ℕ
ih :
  ∀ {f : ((i : ι) → α i) → R},
    HasSliceRankLE n f ↔ ∃ i g h, f = ∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j
iₙ : ι
gₙ : α iₙ → R
hₙ : ((j : ι) → j ≠ iₙ → α j) → R
i : Fin n → ι
g : (k : Fin n) → α (i k) → R
h : (k : Fin n) → ((j : ι) → j ≠ i k → α j) → R
⊢ ∃ i_1 g_1 h_1,
    ((∑ k : Fin n, fun x => g k (x (i k)) * h k fun j x_1 => x j) + fun x => gₙ (x iₙ) * hₙ fun j x_1 => x j) =
      ∑ k : Fin (n + 1), fun x => g_1 k (x (i_1 k)) * h_1 k fun j x_1 => x j