induction S using Finset.induction_on
α β : Type
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
S : Finset α
f : α → β
a : α
b : β
h1 : a ∉ S
⊢ Finset.image (updateITE f a b) S = Finset.image f S
case empty
α β : Type
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
a : α
b : β
h1 : a ∉ ∅
⊢ Finset.image (updateITE f a b) ∅ = Finset.image f ∅

case insert
α β : Type
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
a : α
b : β
a✝² : α
s✝ : Finset α
a✝¹ : a✝² ∉ s✝
a✝ : a ∉ s✝ → Finset.image (updateITE f a b) s✝ = Finset.image f s✝
h1 : a ∉ insert a✝² s✝
⊢ Finset.image (updateITE f a b) (insert a✝² s✝) = Finset.image f (insert a✝² s✝)