simp only [RCLike.norm_natCast, one_div, norm_mul, Real.norm_eq_abs]
case hfg
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N : ℕ
⊢ ‖↑(Finset.image (fun p => p.1 ^ p.2) (Finset.Ico 1 ⌈√↑N⌉₊ ×ˢ Finset.range (Nat.log 2 N + 1))).card‖ ≤
    ‖↑N ^ (1 / 2) * (1 + (↑N).log / Real.log 2)‖
case hfg
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N : ℕ
⊢ ↑(Finset.image (fun p => p.1 ^ p.2) (Finset.Ico 1 ⌈√↑N⌉₊ ×ˢ Finset.range (Nat.log 2 N + 1))).card ≤
    |↑N ^ 2⁻¹| * |1 + (↑N).log / Real.log 2|