have hx₂ : (J : Set R) ∩ S ≠ ∅ := Set.nonempty_iff_ne_empty.1 ⟨x, hJ₂, hx.2⟩
case pos.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Subsemigroup R
hS : 0 ∉ S
C : Set (Ideal R)
hC : C ⊆ Kaplansky.set S
hC₂ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) C
h : Set.Nonempty C
I : Ideal R
hI : I ∈ C
x : R
hx : x ∈ ↑(sSup C) ∩ ↑S
J : Submodule R R
hJ₁ : J ∈ C
hJ₂ : x ∈ J
⊢ False
case pos.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Subsemigroup R
hS : 0 ∉ S
C : Set (Ideal R)
hC : C ⊆ Kaplansky.set S
hC₂ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) C
h : Set.Nonempty C
I : Ideal R
hI : I ∈ C
x : R
hx : x ∈ ↑(sSup C) ∩ ↑S
J : Submodule R R
hJ₁ : J ∈ C
hJ₂ : x ∈ J
hx₂ : ↑J ∩ ↑S ≠ ∅
⊢ False