induction k using induction_iPiOne generalizing s
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s a k : M
⊢ s ∈ a ^ˢ k ↔ Seq s ∧ lh s = k ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
⊢ 𝚷₁-Predicate fun {k} => ∀ {s : M}, s ∈ a ^ˢ k ↔ Seq s ∧ lh s = k ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a

case zero
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a s : M
⊢ s ∈ a ^ˢ 0 ↔ Seq s ∧ lh s = 0 ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a

case succ
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a x✝ : M
a✝ : ∀ {s : M}, s ∈ a ^ˢ x✝ ↔ Seq s ∧ lh s = x✝ ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a
s : M
⊢ s ∈ a ^ˢ (x✝ + 1) ↔ Seq s ∧ lh s = x✝ + 1 ∧ ∀ (i z : M), ⟪i, z⟫ ∈ s → z ∈ a