have hIJE : M.Spanning (I ∪ J) := by
  rw [spanning_iff_cl, ← cl_cl_union_cl_eq_cl_union, hI.cl_eq_cl, hJ.cl_eq_cl,
    cl_cl_union_cl_eq_cl_union, union_diff_cancel hX, cl_ground]
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I✝ I' J✝ K X✝¹ Y : Set α
M : Matroid α
X✝ X : Set α
hX : X ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J (M.E \ X)
BX : Set α
hBX : M.Basis BX (I ∪ J)
hIBX : I ⊆ BX
⊢ M.conn X (M.E \ X) = M✶.conn X (M.E \ X)
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I✝ I' J✝ K X✝¹ Y : Set α
M : Matroid α
X✝ X : Set α
hX : X ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J (M.E \ X)
BX : Set α
hBX : M.Basis BX (I ∪ J)
hIBX : I ⊆ BX
hIJE : M.Spanning (I ∪ J)
⊢ M.conn X (M.E \ X) = M✶.conn X (M.E \ X)