induction F
P : PredName
zs : List VarName
H F : Formula
h1 : F.predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H F = F
case pred_const_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : (pred_const_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (pred_const_ a✝¹ a✝) = pred_const_ a✝¹ a✝

case pred_var_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : (pred_var_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (pred_var_ a✝¹ a✝) = pred_var_ a✝¹ a✝

case eq_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ a✝ : VarName
h1 : (eq_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (eq_ a✝¹ a✝) = eq_ a✝¹ a✝

case true_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
h1 : true_.predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H true_ = true_

case false_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
h1 : false_.predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H false_ = false_

case not_
P : PredName
zs : List VarName
H a✝ : Formula
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : a✝.not_.predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H a✝.not_ = a✝.not_

case imp_
P : PredName
zs : List VarName
H a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : a✝¹.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (a✝¹.imp_ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (a✝¹.imp_ a✝) = a✝¹.imp_ a✝

case and_
P : PredName
zs : List VarName
H a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : a✝¹.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (a✝¹.and_ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (a✝¹.and_ a✝) = a✝¹.and_ a✝

case or_
P : PredName
zs : List VarName
H a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : a✝¹.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (a✝¹.or_ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (a✝¹.or_ a✝) = a✝¹.or_ a✝

case iff_
P : PredName
zs : List VarName
H a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : a✝¹.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (a✝¹.iff_ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (a✝¹.iff_ a✝) = a✝¹.iff_ a✝

case forall_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (forall_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (forall_ a✝¹ a✝) = forall_ a✝¹ a✝

case exists_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : a✝.predVarSet = ∅ → replace P zs H a✝ = a✝
h1 : (exists_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (exists_ a✝¹ a✝) = exists_ a✝¹ a✝

case def_
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
a✝¹ : DefName
a✝ : List VarName
h1 : (def_ a✝¹ a✝).predVarSet = ∅
⊢ replace P zs H (def_ a✝¹ a✝) = def_ a✝¹ a✝