induction' n with pn hpn
u : ℝ → ℝ
hu : ∀ (x y : ℝ), u (x + y) = u x * u y
hu0 : u 0 = 1
hm : StrictMono u ∨ StrictAnti u
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℝ), u (↑n * x) = u x ^ n
case zero
u : ℝ → ℝ
hu : ∀ (x y : ℝ), u (x + y) = u x * u y
hu0 : u 0 = 1
hm : StrictMono u ∨ StrictAnti u
⊢ ∀ (x : ℝ), u (↑0 * x) = u x ^ 0

case succ
u : ℝ → ℝ
hu : ∀ (x y : ℝ), u (x + y) = u x * u y
hu0 : u 0 = 1
hm : StrictMono u ∨ StrictAnti u
pn : ℕ
hpn : ∀ (x : ℝ), u (↑pn * x) = u x ^ pn
⊢ ∀ (x : ℝ), u (↑(pn + 1) * x) = u x ^ (pn + 1)