obtain ⟨w, h, rfl⟩ := h
case h.refine_2
α : Type u_1
R : Type u_2
η✝ : Type u_3
ι : Type u_4
η : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
x✝ : η → R
U✝ V : Submodule R (η → R)
inst✝ : Fintype η
U : Submodule R (η → R)
x : η → R
h : ∃ y, (∀ w ∈ U, y w = 0) ∧ (Module.piEquiv η R R).symm y = x
⊢ ∀ y ∈ U, ∑ i : η, x i * y i = 0
case h.refine_2.intro.intro
α : Type u_1
R : Type u_2
η✝ : Type u_3
ι : Type u_4
η : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
x : η → R
U✝ V : Submodule R (η → R)
inst✝ : Fintype η
U : Submodule R (η → R)
w : Module.Dual R (η → R)
h : ∀ w_1 ∈ U, w w_1 = 0
⊢ ∀ y ∈ U, ∑ i : η, (Module.piEquiv η R R).symm w i * y i = 0