specialize h (y := ↑(e.symm '' (N.E ↓∩ J)))
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
N : Matroid β
e : M ≂ N
I X : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ ↑X → I ⊆ Subtype.val ⁻¹' y → ↑I = y
J : Set β
hJ : N.Indep J
hJX : J ⊆ ↑(⇑e '' X)
hIJ : I ⊆ ⇑e ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' J)
⊢ ↑(⇑e '' I) = J
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
N : Matroid β
e : M ≂ N
I X : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
hIX : I ⊆ X
J : Set β
hJ : N.Indep J
hJX : J ⊆ ↑(⇑e '' X)
hIJ : I ⊆ ⇑e ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' J)
h :
  M.Indep ↑(⇑e.symm '' N.E ↓∩ J) →
    ↑(⇑e.symm '' N.E ↓∩ J) ⊆ ↑X → I ⊆ Subtype.val ⁻¹' ↑(⇑e.symm '' N.E ↓∩ J) → ↑I = ↑(⇑e.symm '' N.E ↓∩ J)
⊢ ↑(⇑e '' I) = J