have : M.relRank I X > 0 := by
  rw [M.relRank_add_cancel (Set.subset_insert x I) (Set.insert_subset (hI' hxI') hI)]
  exact Left.add_pos_of_pos_of_nonneg this (zero_le (M.relRank (Set.insert x I) X))
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
A B I J X : Set α
x✝ : α
M : RankMatroid α
hI : I ⊆ X
hI_indep : M.Indep I
hr : M.Indep I → I ⊆ X → ∃ x, M.Indep x ∧ x ⊆ X ∧ I ⊆ x ∧ ¬x ⊆ I
I' : Set α
hI'_indep : M.Indep I'
hI' : I' ⊆ X
hI'_ssubset : I ⊂ I'
x : α
hxI' : x ∈ I'
hxI : x ∉ I
this : M.relRank I (Set.insert x I) > 0
hx : x ∈ M.E
⊢ M.relRank I X ≠ 0
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
A B I J X : Set α
x✝ : α
M : RankMatroid α
hI : I ⊆ X
hI_indep : M.Indep I
hr : M.Indep I → I ⊆ X → ∃ x, M.Indep x ∧ x ⊆ X ∧ I ⊆ x ∧ ¬x ⊆ I
I' : Set α
hI'_indep : M.Indep I'
hI' : I' ⊆ X
hI'_ssubset : I ⊂ I'
x : α
hxI' : x ∈ I'
hxI : x ∉ I
this✝ : M.relRank I (Set.insert x I) > 0
hx : x ∈ M.E
this : M.relRank I X > 0
⊢ M.relRank I X ≠ 0