rw [Pi.le_def]
case pos.h
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
hint : Integrable (fun a => 1 / (‖↑σ + ↑a * I‖ * ‖↑σ + ↑a * I + 1‖)) volume
⊢ (fun a => 1 / (‖↑σ + ↑a * I‖ * ‖↑σ + ↑a * I + 1‖)) ≤ fun a => 1 / (√(1 + a ^ 2) * √(2 + a ^ 2))

case calc.step
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
⊢ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(1 + t ^ 2) * √(2 + t ^ 2)) ≤ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(1 + t ^ 2) * √(2 + t ^ 2))
case pos.h
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
hint : Integrable (fun a => 1 / (‖↑σ + ↑a * I‖ * ‖↑σ + ↑a * I + 1‖)) volume
⊢ ∀ (i : ℝ), 1 / (‖↑σ + ↑i * I‖ * ‖↑σ + ↑i * I + 1‖) ≤ 1 / (√(1 + i ^ 2) * √(2 + i ^ 2))

case calc.step
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
⊢ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(1 + t ^ 2) * √(2 + t ^ 2)) ≤ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(1 + t ^ 2) * √(2 + t ^ 2))