simp only [nsmul_eq_mul, hr, Int.cast_add, Int.cast_one, Int.cast_mul, hs, ge_iff_le, PNat.pos,
  Nat.cast_pred, Int.cast_pow, Nat.cast_mul, ne_eq, PNat.ne_zero, Int.cast_natCast,
  not_false_eq_true, isUnit_pow_iff]
case intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
r : ℤ
s : 𝓞 K
hs : ↑((Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x) = (↑hζ.unit' - 1) * s + (↑p - 1) • x
t : 𝓞 K
ht : ↑↑p = (↑hζ.unit' - 1) ^ (↑p - 1) * t
hr : (Algebra.norm ℤ) (1 + ↑↑p * x) = 1 + (Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x * ↑↑p + r * ↑↑p ^ 2
⊢ (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑((Algebra.norm ℤ) (1 + ↑p • x)) - 1 + ↑p • x
case intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
r : ℤ
s : 𝓞 K
hs : ↑((Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x) = (↑hζ.unit' - 1) * s + (↑p - 1) • x
t : 𝓞 K
ht : ↑↑p = (↑hζ.unit' - 1) ^ (↑p - 1) * t
hr : (Algebra.norm ℤ) (1 + ↑↑p * x) = 1 + (Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x * ↑↑p + r * ↑↑p ^ 2
⊢ (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ 1 + ((↑hζ.unit' - 1) * s + (↑↑p - 1) * x) * ↑↑p + ↑r * ↑↑p ^ 2 - 1 + ↑↑p * x