cases' Classical.em (0 < k) with hkp hkn
u : ℝ → ℝ
k : ℝ
hk : ∀ (x : ℝ), u x = (k * x).exp
hknz : k ≠ 0
f : ℝ → ℝ := fun x => (k * x).exp - 1
⊢ StrictMono f ∨ StrictAnti f
case inl
u : ℝ → ℝ
k : ℝ
hk : ∀ (x : ℝ), u x = (k * x).exp
hknz : k ≠ 0
f : ℝ → ℝ := fun x => (k * x).exp - 1
hkp : 0 < k
⊢ StrictMono f ∨ StrictAnti f

case inr
u : ℝ → ℝ
k : ℝ
hk : ∀ (x : ℝ), u x = (k * x).exp
hknz : k ≠ 0
f : ℝ → ℝ := fun x => (k * x).exp - 1
hkn : ¬0 < k
⊢ StrictMono f ∨ StrictAnti f