rw [A_def, sb_set, mem_iUnion] at gyA
case pos
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited α✝
P : α✝ → Prop
h✝ : ∃ x, P x
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
g : β → α
hg : Injective g
A : Set α := sb_set f g
A_def : A = sb_set f g
h : α → β := sb_fun f g
h_def : h = sb_fun f g
y : β
gyA : g y ∈ A
⊢ ∃ a, h a = y
case pos
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited α✝
P : α✝ → Prop
h✝ : ∃ x, P x
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
g : β → α
hg : Injective g
A : Set α := sb_set f g
A_def : A = sb_set f g
h : α → β := sb_fun f g
h_def : h = sb_fun f g
y : β
gyA : ∃ i, g y ∈ sb_aux f g i
⊢ ∃ a, h a = y