have := (IsDedekindDomain.isDedekindDomainDvr R).2 p hp inferInstance
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁷ : p.IsMaximal
Rₚ✝ : Type ?u.335608
Sₚ✝ : Type ?u.335611
inst✝¹⁶ : CommRing Rₚ✝
inst✝¹⁵ : CommRing Sₚ✝
inst✝¹⁴ : Algebra R Rₚ✝
inst✝¹³ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p
inst✝¹² : LocalRing Rₚ✝
inst✝¹¹ : CommRing Sₚ✝
inst✝¹⁰ : Algebra S Sₚ✝
inst✝⁹ : Algebra R Sₚ✝
inst✝⁸ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ✝
inst✝⁶ : IsScalarTower R S Sₚ✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₚ✝ Sₚ✝
x : S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed S
Rₚ : Type u_1 := Localization.AtPrime p
Sₚ : Type u_2 := Localization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl)
this✝⁵ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝⁴ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
this✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) p.primeCompl) Sₚ
e : algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝² : IsDomain Sₚ
this✝¹ : NoZeroSMulDivisors Rₚ Sₚ
this✝ : Module.Finite Rₚ Sₚ
this : IsIntegrallyClosed Sₚ
hp : ¬p = ⊥
⊢ IsPrincipalIdealRing Rₚ
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁷ : p.IsMaximal
Rₚ✝ : Type ?u.335608
Sₚ✝ : Type ?u.335611
inst✝¹⁶ : CommRing Rₚ✝
inst✝¹⁵ : CommRing Sₚ✝
inst✝¹⁴ : Algebra R Rₚ✝
inst✝¹³ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p
inst✝¹² : LocalRing Rₚ✝
inst✝¹¹ : CommRing Sₚ✝
inst✝¹⁰ : Algebra S Sₚ✝
inst✝⁹ : Algebra R Sₚ✝
inst✝⁸ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ✝
inst✝⁶ : IsScalarTower R S Sₚ✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₚ✝ Sₚ✝
x : S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed S
Rₚ : Type u_1 := Localization.AtPrime p
Sₚ : Type u_2 := Localization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl)
this✝⁶ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝⁵ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
this✝⁴ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) p.primeCompl) Sₚ
e : algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝³ : IsDomain Sₚ
this✝² : NoZeroSMulDivisors Rₚ Sₚ
this✝¹ : Module.Finite Rₚ Sₚ
this✝ : IsIntegrallyClosed Sₚ
hp : ¬p = ⊥
this : DiscreteValuationRing (Localization.AtPrime p)
⊢ IsPrincipalIdealRing Rₚ