refine' ⟨fun ⟨h, hXE⟩ ↦ h.elim (fun h ↦ _) (fun h ↦ Or.inl ⟨_,hXE⟩),
  fun h ↦ h.elim (fun ⟨hle, hXE⟩ ↦ ⟨Or.inr (by rwa [inter_eq_self_of_subset_left hXE]), hXE⟩ ) _⟩
case intro
α : Type u_1
M : Matroid α
E I B X C : Set α
k✝ : ℕ∞
k : ℕ
⊢ (E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard) ∧ X ⊆ E ↔ ↑k ≤ X.encard ∧ X ⊆ E ∨ X = E
case intro.refine'_1
α : Type u_1
M : Matroid α
E I B X C : Set α
k✝ : ℕ∞
k : ℕ
x✝ : (E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard) ∧ X ⊆ E
h✝ : E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard
hXE : X ⊆ E
h : E.encard ≤ (X ∩ E).encard
⊢ ↑k ≤ X.encard ∧ X ⊆ E ∨ X = E

case intro.refine'_2
α : Type u_1
M : Matroid α
E I B X C : Set α
k✝ : ℕ∞
k : ℕ
x✝ : (E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard) ∧ X ⊆ E
h✝ : E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard
hXE : X ⊆ E
h : ↑k ≤ (X ∩ E).encard
⊢ ↑k ≤ X.encard

case intro.refine'_3
α : Type u_1
M : Matroid α
E I B X C : Set α
k✝ : ℕ∞
k : ℕ
h : ↑k ≤ X.encard ∧ X ⊆ E ∨ X = E
⊢ X = E → (E.encard ≤ (X ∩ E).encard ∨ ↑k ≤ (X ∩ E).encard) ∧ X ⊆ E