have : S.Nonempty := have ⟨x, y, hxy⟩ := exists_pair_ne V; ⟨(x, y), by simp [S, hxy]⟩
case inr
V✝ : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝³ : Finite V✝
inst✝² : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace V
inst✝ : Finite V
h✝ : Nontrivial V
S : Set (V × V) := (Set.diagonal V)ᶜ
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (x y : V), x ≠ y → r ≤ dist x y
case inr
V✝ : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace V✝
u v w : V✝
inst✝³ : Finite V✝
inst✝² : Nontrivial V✝
x y z : V✝
V : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace V
inst✝ : Finite V
h✝ : Nontrivial V
S : Set (V × V) := (Set.diagonal V)ᶜ
this : S.Nonempty
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (x y : V), x ≠ y → r ≤ dist x y