unfold fwdDeriv
K : Type ?u.129107
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.129113
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.129126
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.129137
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.129148
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.129159
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.129186
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt R f x
hg : CDifferentiableAt R g x
⊢ fwdDeriv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x = fun dx =>
    let y₁dy₁ := fwdDeriv R f x dx;
    let y₂dy₂ := fwdDeriv R g x dx;
    (⟪y₁dy₁.1, y₂dy₂.1⟫_R, ⟪y₁dy₁.2, y₂dy₂.1⟫_R + ⟪y₁dy₁.1, y₂dy₂.2⟫_R)
K : Type ?u.129107
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.129113
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.129126
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.129137
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.129148
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.129159
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.129186
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt R f x
hg : CDifferentiableAt R g x
⊢ (fun dx => ((fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x, cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x dx)) = fun dx =>
    let y₁dy₁ := (f x, cderiv R f x dx);
    let y₂dy₂ := (g x, cderiv R g x dx);
    (⟪y₁dy₁.1, y₂dy₂.1⟫_R, ⟪y₁dy₁.2, y₂dy₂.1⟫_R + ⟪y₁dy₁.1, y₂dy₂.2⟫_R)