have lt_len : i * ‖L‖ < ‖S₁ + S₂ * p‖ := calc
      i * ‖L‖ ≤ (i + 1) * ‖L‖ := mul_le_mul_right (by simp)
      _       < ‖p‖           := h
      _       ≤ ‖S₁ + S₂ * p‖ := length_monotone (le_add_left (le_mul_of_pos_left pos₂))
case inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀ + 𝛀₁
L i S₁ S₂ p : M
pp : Pow2 p
h : (i + 1) * ‖L‖ < ‖p‖
pos₂ : 0 < S₂
⊢ (S₁ + S₂ * p){L}[i] = S₁{L}[i]
case inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀ + 𝛀₁
L i S₁ S₂ p : M
pp : Pow2 p
h : (i + 1) * ‖L‖ < ‖p‖
pos₂ : 0 < S₂
lt_len : i * ‖L‖ < ‖S₁ + S₂ * p‖
⊢ (S₁ + S₂ * p){L}[i] = S₁{L}[i]