obtain ⟨I, hI', rfl⟩ := map_indep_iff.1 hI
case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B₀ : Set α
hB : M.Base B₀
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
hB₀I : f '' B₀ ⊆ I
⊢ f '' B₀ = I
case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B₀ : Set α
hB : M.Base B₀
I : Set α
hI' : M.Indep I
hI : (M.map f hf).Indep (f '' I)
hB₀I : f '' B₀ ⊆ f '' I
⊢ f '' B₀ = f '' I