by_cases hN : N = 0
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N : ℕ
⊢ ↑(⌈√↑N⌉₊ - 1) * (↑(Nat.log 2 N) + 1) ≤ ↑N ^ (1 / 2) * (1 + (↑N).log / Real.log 2)
case pos
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N : ℕ
hN : N = 0
⊢ ↑(⌈√↑N⌉₊ - 1) * (↑(Nat.log 2 N) + 1) ≤ ↑N ^ (1 / 2) * (1 + (↑N).log / Real.log 2)

case neg
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N : ℕ
hN : ¬N = 0
⊢ ↑(⌈√↑N⌉₊ - 1) * (↑(Nat.log 2 N) + 1) ≤ ↑N ^ (1 / 2) * (1 + (↑N).log / Real.log 2)