have hxp' : (⟨x, hx⟩ : R) ^ (2 * p : ℕ) = 1 := by
  cases' hlp with hlp_w hlp_h
  rw [hlp_h, pow_mul, hxl]; simp only [one_pow]
case intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hpo : Odd ↑p
x : K
n : ℕ
hn0 : 0 < n
hn : x ^ n = 1
hx : IsIntegral ℤ x
hxu : ⟨x, hx⟩ ^ n = 1
l : ℕ
hl : l ∈ n.divisors
hhl : (cyclotomic l ↥(integralClosure ℤ K)).IsRoot ⟨x, hx⟩
hlp : l ∣ 2 * ↑p
isPrimRoot : IsPrimitiveRoot ↑hζ.unit' ↑p
hxl : ⟨x, hx⟩ ^ l = 1
⊢ ∃ m k, ↑⟨x, hx⟩ = (-1) ^ ↑k * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑hζ.unit' ^ m
case intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hpo : Odd ↑p
x : K
n : ℕ
hn0 : 0 < n
hn : x ^ n = 1
hx : IsIntegral ℤ x
hxu : ⟨x, hx⟩ ^ n = 1
l : ℕ
hl : l ∈ n.divisors
hhl : (cyclotomic l ↥(integralClosure ℤ K)).IsRoot ⟨x, hx⟩
hlp : l ∣ 2 * ↑p
isPrimRoot : IsPrimitiveRoot ↑hζ.unit' ↑p
hxl : ⟨x, hx⟩ ^ l = 1
hxp' : ⟨x, hx⟩ ^ (2 * ↑p) = 1
⊢ ∃ m k, ↑⟨x, hx⟩ = (-1) ^ ↑k * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑hζ.unit' ^ m