obtain (hlt : 0 < N0) | (hlte : N0 ≤ 0) := lt_or_ge 0 N0
case intro.zero
P : ℕ → Prop
h : ∀ (N : ℕ), P N → ∃ M, N < M ∧ P M
N0 : ℕ
hn0 : P N0
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ P M
case intro.zero.inl
P : ℕ → Prop
h : ∀ (N : ℕ), P N → ∃ M, N < M ∧ P M
N0 : ℕ
hn0 : P N0
hlt : 0 < N0
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ P M

case intro.zero.inr
P : ℕ → Prop
h : ∀ (N : ℕ), P N → ∃ M, N < M ∧ P M
N0 : ℕ
hn0 : P N0
hlte : N0 ≤ 0
⊢ ∃ M, 0 < M ∧ P M