have : ∃ z : ℚ, x < z ∧ dist (z:ℝ) x < δ := by
  have hxδ : x < x + δ := lt_add_of_pos_right x hδ0
  obtain ⟨z, hz1, hz2⟩ := exists_rat_btwn hxδ
  refine ⟨z, hz1, ?_⟩
  . rw [Real.dist_eq, abs_of_pos (sub_pos.mpr hz1)]
    exact sub_left_lt_of_lt_add hz2
case intro.intro.inr.inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
⊢ False
case intro.intro.inr.inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
this : ∃ z, x < ↑z ∧ dist (↑z) x < δ
⊢ False