simp only [Subtype.coe_eta, Subtype.coe_prop, exists_const, iff_true] at heq
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {x | plus (S y, x) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq :
  (∃ (x_1 : ↑x ∈ N0),
      plus (S y, { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ N0) }) = S (plus ({ val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ N0) }, y))) ↔
    ↑x ∈ N0
⊢ plus (S y, x) = S (plus (x, y))
x y : ↑N0
A : Set ↑N0 := {x | plus (S y, x) = S (plus (x, y))}
hzmem : z ∈ A
hind : ∀ n ∈ A, S n ∈ A
heq : plus (S y, x) = S (plus (x, y))
⊢ plus (S y, x) = S (plus (x, y))