have : 2 * y ≤ a := (le_iff_le_log_of_exp H.succ this).mpr (le_log_of_lt_length hx)
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a x : M
IH : x < ‖a‖ → ∃ y ≤ a, Exponential x y
hx : x + 1 < ‖a‖
y : M
hy : y ≤ a
H : Exponential x y
this : 0 < a
⊢ ∃ y ≤ a, Exponential (x + 1) y
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a x : M
IH : x < ‖a‖ → ∃ y ≤ a, Exponential x y
hx : x + 1 < ‖a‖
y : M
hy : y ≤ a
H : Exponential x y
this✝ : 0 < a
this : 2 * y ≤ a
⊢ ∃ y ≤ a, Exponential (x + 1) y