apply substitution_theorem_aux D I V V E F P zs H ∅
D : Type
I : Interpretation D
V : VarAssignment D
E : Env
F : Formula
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
h1 : admits P zs H F
⊢ Holds D (I' D I V E P zs H) V E F ↔ Holds D I V E (replace P zs H F)
case h1
D : Type
I : Interpretation D
V : VarAssignment D
E : Env
F : Formula
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
h1 : admits P zs H F
⊢ admitsAux P zs H ∅ F

case h2
D : Type
I : Interpretation D
V : VarAssignment D
E : Env
F : Formula
P : PredName
zs : List VarName
H : Formula
h1 : admits P zs H F
⊢ ∀ x ∉ ∅, V x = V x