. rw [max_of_lt ab, max_of_lt bc, max_of_lt (trans ab bc)]
case inl.inl
a b c : Nat
ab : a < b
bc : b < c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)

case inl.inr
a b c : Nat
ab : a < b
bc : b ≥ c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)

case inr.inl
a b c : Nat
ab : a ≥ b
bc : b < c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)

case inr.inr
a b c : Nat
ab : a ≥ b
bc : b ≥ c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)
case inl.inr
a b c : Nat
ab : a < b
bc : b ≥ c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)

case inr.inl
a b c : Nat
ab : a ≥ b
bc : b < c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)

case inr.inr
a b c : Nat
ab : a ≥ b
bc : b ≥ c
⊢ Nat.max (Nat.max a b) c = Nat.max a (Nat.max b c)