obtain ⟨⟨z, hz, hz₂⟩, z', hz', hz'₂⟩ := hs x.1 y.1 hxy.1
case intro
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
hs : ProdProperty s
ht : ProdProperty t
x y : M × N
hxy : x * y ∈ prod s t
⊢ (∃ z ∈ prod s t, Associated x z) ∧ ∃ z ∈ prod s t, Associated y z
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N
hs : ProdProperty s
ht : ProdProperty t
x y : M × N
hxy : x * y ∈ prod s t
z : M
hz : z ∈ s
hz₂ : Associated x.1 z
z' : M
hz' : z' ∈ s
hz'₂ : Associated y.1 z'
⊢ (∃ z ∈ prod s t, Associated x z) ∧ ∃ z ∈ prod s t, Associated y z