obtain hε := hc (ε/2) (hεc ⟨mem_ball_iff_norm.mpr (by simp [abs_of_pos hε, hε]), half_pos hε⟩)
case h.intro.intro.intro.intro
x σ σ' σ'' T : ℝ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : NoMaxOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIciTopology β
y : β
l : Filter α
x_gt_one : 1 < x
σ_pos : 0 < σ
xpos : 0 < x
hf : HolomorphicOn (f x) (Icc (-1 / 2) σ ×ℂ univ \ {0})
this :
  ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    RectangleIntegral' (f x) (-↑x_1 - ↑x_1 * I) (↑x_1 + ↑x_1 * I) = 1 ∧
      VerticalIntegral (f x) σ - VerticalIntegral (f x) (-1 / 2) =
        RectangleIntegral (f x) (-↑x_1 - ↑x_1 * I + 0) (↑x_1 + ↑x_1 * I + 0)
c : Set ℝ
hcf : c ∈ 𝓝[>] 0
hc :
  ∀ y ∈ c,
    RectangleIntegral' (f x) (-↑y - ↑y * I) (↑y + ↑y * I) = 1 ∧
      VerticalIntegral (f x) σ - VerticalIntegral (f x) (-1 / 2) =
        RectangleIntegral (f x) (-↑y - ↑y * I + 0) (↑y + ↑y * I + 0)
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεc : Metric.ball 0 ε ∩ Ioi 0 ⊆ c
⊢ VerticalIntegral' (f x) σ - VerticalIntegral' (f x) (-1 / 2) = 1
case h.intro.intro.intro.intro
x σ σ' σ'' T : ℝ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : NoMaxOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIciTopology β
y : β
l : Filter α
x_gt_one : 1 < x
σ_pos : 0 < σ
xpos : 0 < x
hf : HolomorphicOn (f x) (Icc (-1 / 2) σ ×ℂ univ \ {0})
this :
  ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    RectangleIntegral' (f x) (-↑x_1 - ↑x_1 * I) (↑x_1 + ↑x_1 * I) = 1 ∧
      VerticalIntegral (f x) σ - VerticalIntegral (f x) (-1 / 2) =
        RectangleIntegral (f x) (-↑x_1 - ↑x_1 * I + 0) (↑x_1 + ↑x_1 * I + 0)
c : Set ℝ
hcf : c ∈ 𝓝[>] 0
hc :
  ∀ y ∈ c,
    RectangleIntegral' (f x) (-↑y - ↑y * I) (↑y + ↑y * I) = 1 ∧
      VerticalIntegral (f x) σ - VerticalIntegral (f x) (-1 / 2) =
        RectangleIntegral (f x) (-↑y - ↑y * I + 0) (↑y + ↑y * I + 0)
ε : ℝ
hε✝ : ε > 0
hεc : Metric.ball 0 ε ∩ Ioi 0 ⊆ c
hε :
  RectangleIntegral' (f x) (-↑(ε / 2) - ↑(ε / 2) * I) (↑(ε / 2) + ↑(ε / 2) * I) = 1 ∧
    VerticalIntegral (f x) σ - VerticalIntegral (f x) (-1 / 2) =
      RectangleIntegral (f x) (-↑(ε / 2) - ↑(ε / 2) * I + 0) (↑(ε / 2) + ↑(ε / 2) * I + 0)
⊢ VerticalIntegral' (f x) σ - VerticalIntegral' (f x) (-1 / 2) = 1