have φᵤf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵤf z ≠ 0 := λ z z_in_U hz => by
  refine u_not_in_f_U ⟨z, z_in_U, ?_⟩
  apply φᵤ.is_inj (f.maps_to z_in_U) u_in_𝔻
  dsimp [φᵤf] at hz
  rw [hz]
  simp [φᵤ, φ]
case intro.intro
z u✝ z₀ : ℂ
U : Set ℂ
inst✝ : good_domain U
hz₀ : z₀ ∈ U
f : embedding U 𝔻
hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻
u : ℂ
u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻
u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U
φᵤ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻
φᵤf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵤ f
⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖
case intro.intro
z u✝ z₀ : ℂ
U : Set ℂ
inst✝ : good_domain U
hz₀ : z₀ ∈ U
f : embedding U 𝔻
hf : f.to_fun '' U ⊂ 𝔻
u : ℂ
u_in_𝔻 : u ∈ 𝔻
u_not_in_f_U : u ∉ f.to_fun '' U
φᵤ : embedding 𝔻 𝔻 := φ u_in_𝔻
φᵤf : embedding U 𝔻 := embedding.comp φᵤ f
φᵤf_ne_zero : ∀ z ∈ U, φᵤf.to_fun z ≠ 0
⊢ ∃ h, ‖deriv f.to_fun z₀‖ < ‖deriv h.to_fun z₀‖