by_cases ej : j = 2
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
i✝ j : M
IH : ∀ y < j, ∀ i < y, PPow2 i → PPow2 y → i ^ 2 ≤ y
i : M
hij : i < j
hi : PPow2 i
hj : PPow2 j
⊢ i ^ 2 ≤ j
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
i✝ j : M
IH : ∀ y < j, ∀ i < y, PPow2 i → PPow2 y → i ^ 2 ≤ y
i : M
hij : i < j
hi : PPow2 i
hj : PPow2 j
ej : j = 2
⊢ i ^ 2 ≤ j

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
i✝ j : M
IH : ∀ y < j, ∀ i < y, PPow2 i → PPow2 y → i ^ 2 ≤ y
i : M
hij : i < j
hi : PPow2 i
hj : PPow2 j
ej : ¬j = 2
⊢ i ^ 2 ≤ j