by_cases hxy : x < y
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y : M
this : x < y → (Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z ≤ y, y = 2 * z ∧ Exponential x z)
⊢ Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z, y = 2 * z ∧ Exponential x z
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y : M
this : x < y → (Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z ≤ y, y = 2 * z ∧ Exponential x z)
hxy : x < y
⊢ Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z, y = 2 * z ∧ Exponential x z

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y : M
this : x < y → (Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z ≤ y, y = 2 * z ∧ Exponential x z)
hxy : ¬x < y
⊢ Exponential (x + 1) y ↔ ∃ z, y = 2 * z ∧ Exponential x z