apply (hf.analyticOn hU).eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero hU' hz₀
z z₀ : ℂ
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hz₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f z₀ = 0
⊢ EqOn f 0 U
z z₀ : ℂ
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
hU' : IsPreconnected U
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hf' : EqOn (deriv f) 0 U
hz₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f z₀ = 0
⊢ f =ᶠ[𝓝 z₀] 0