contrapose! this
case pos.hg
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
hint : Integrable (fun a => 1 / (‖↑σ + ↑a * I‖ * ‖↑σ + ↑a * I + 1‖)) volume
this : 0 < ∫ (t : ℝ), 1 / (√(1 + t ^ 2) * √(2 + t ^ 2))
⊢ Integrable (fun a => 1 / (√(1 + a ^ 2) * √(2 + a ^ 2))) volume
case pos.hg
x σ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ_gt_one : 1 < σ
hint : Integrable (fun a => 1 / (‖↑σ + ↑a * I‖ * ‖↑σ + ↑a * I + 1‖)) volume
this : ¬Integrable (fun a => 1 / (√(1 + a ^ 2) * √(2 + a ^ 2))) volume
⊢ ∫ (a : ℝ), 1 / (√(1 + a ^ 2) * √(2 + a ^ 2)) ≤ 0