calc
  _ = ‖∫ (t : ℝ), x ^ (σ + t * I) / ((σ + t * I) * (σ + t * I + 1))‖ := ?_
  _ ≤ ∫ (t : ℝ), ‖x ^ (σ + t * I) / ((σ + t * I) * (σ + t * I + 1))‖ := norm_integral_le_integral_norm _
  _ = ∫ (t : ℝ), x ^ σ / ‖((σ + t * I) * (σ + t * I + 1))‖ := ?_
  _ = x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (‖σ + t * I‖ * ‖σ + t * I + 1‖) := ?_
  _ ≤ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / ((4⁻¹ + t ^ 2).sqrt * (4⁻¹ + t ^ 2).sqrt) := ?_
  _ ≤ _ := ?_
case h
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ ‖VerticalIntegral (f x) σ‖ ≤ ‖∫ (t : ℝ), 1 / (↑√(4⁻¹ + t ^ 2) * ↑√(4⁻¹ + t ^ 2))‖ * x ^ σ
case h.calc_1
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ ‖VerticalIntegral (f x) σ‖ = ‖∫ (t : ℝ), ↑x ^ (↑σ + ↑t * I) / ((↑σ + ↑t * I) * (↑σ + ↑t * I + 1))‖

case h.calc_2
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ ∫ (t : ℝ), ‖↑x ^ (↑σ + ↑t * I) / ((↑σ + ↑t * I) * (↑σ + ↑t * I + 1))‖ =
    ∫ (t : ℝ), x ^ σ / ‖(↑σ + ↑t * I) * (↑σ + ↑t * I + 1)‖

case h.calc_3
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ ∫ (t : ℝ), x ^ σ / ‖(↑σ + ↑t * I) * (↑σ + ↑t * I + 1)‖ = x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (‖↑σ + ↑t * I‖ * ‖↑σ + ↑t * I + 1‖)

case h.calc_4
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (‖↑σ + ↑t * I‖ * ‖↑σ + ↑t * I + 1‖) ≤ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(4⁻¹ + t ^ 2) * √(4⁻¹ + t ^ 2))

case h.calc_5
x σ✝ σ' σ'' T : ℝ
xpos : 0 < x
σ : ℝ
hσ : σ < -3 / 2
⊢ x ^ σ * ∫ (t : ℝ), 1 / (√(4⁻¹ + t ^ 2) * √(4⁻¹ + t ^ 2)) ≤
    ‖∫ (t : ℝ), 1 / (↑√(4⁻¹ + t ^ 2) * ↑√(4⁻¹ + t ^ 2))‖ * x ^ σ