. trivial
case refl
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
x y z : A
joins_y_z✝ : joins R y z
a✝ : A
joins_y_z : joins R a✝ z
⊢ joins R a✝ z

case step
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
x y z : A
joins_y_z✝ : joins R y z
a✝² b✝ c✝ : A
a✝¹ : R a✝² b✝
a✝ : refl_trans_clos R b✝ c✝
ih : joins R c✝ z → joins R b✝ z
joins_y_z : joins R c✝ z
⊢ joins R a✝² z
case step
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
x y z : A
joins_y_z✝ : joins R y z
a✝² b✝ c✝ : A
a✝¹ : R a✝² b✝
a✝ : refl_trans_clos R b✝ c✝
ih : joins R c✝ z → joins R b✝ z
joins_y_z : joins R c✝ z
⊢ joins R a✝² z