obtain ⟨y, hy, hyx, h⟩ := taylor_mean_remainder_central_aux hab hx hx₀ hf hf' gcont gdiff
f g g' : ℝ → ℝ
x₀ x a b : ℝ
n : ℕ
hab : a < b
hx : x ∈ Icc a b
hx₀ : x₀ ∈ Icc a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Ioo a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
gdiff : ∀ y ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' y) y
g'_ne : ∀ y ∈ Ioo a b, g' y ≠ 0
⊢ ∃ x',
    ∃ (_ : x' ∈ Ioo a b),
      f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) x₀ x =
        ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) x'
case intro.intro.intro
f g g' : ℝ → ℝ
x₀ x a b : ℝ
n : ℕ
hab : a < b
hx : x ∈ Icc a b
hx₀ : x₀ ∈ Icc a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Ioo a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
gdiff : ∀ y ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' y) y
g'_ne : ∀ y ∈ Ioo a b, g' y ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo a b
hyx : y ≠ x
h :
  (f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) x₀ x) * g' y =
    ((x - y) ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y
⊢ ∃ x',
    ∃ (_ : x' ∈ Ioo a b),
      f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) x₀ x =
        ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) x'