by_cases hxre : x.re = 0
case mp.inr.intro.intro.intro
x A : ℤ√(-3)
hx : 0 ≤ x.re
hA : 0 ≤ A.re
u : (ℤ√(-3))ˣ
hu : x * ↑u = star A
v : ℤ
hv1 : ↑u = ↑v
hv2 : |v| = 1
⊢ x = A ∨ x = star A
case pos
x A : ℤ√(-3)
hx : 0 ≤ x.re
hA : 0 ≤ A.re
u : (ℤ√(-3))ˣ
hu : x * ↑u = star A
v : ℤ
hv1 : ↑u = ↑v
hv2 : |v| = 1
hxre : x.re = 0
⊢ x = A ∨ x = star A

case neg
x A : ℤ√(-3)
hx : 0 ≤ x.re
hA : 0 ≤ A.re
u : (ℤ√(-3))ˣ
hu : x * ↑u = star A
v : ℤ
hv1 : ↑u = ↑v
hv2 : |v| = 1
hxre : ¬x.re = 0
⊢ x = A ∨ x = star A