refine fun _ ↦ ⟨fun h x hx hxs ↦ ?_, fun h t ht hst ↦ Eq.symm <| hst.antisymm (fun x hxs ↦ ?_)⟩
α : Type u_1
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
s : Set α
⊢ P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x}))
case refine_1
α : Type u_1
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
s : Set α
x✝ : P s
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y
x : α
hx : x ∈ s
hxs : P (s \ {x})
⊢ False

case refine_2
α : Type u_1
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
s : Set α
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
t : Set α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ t