rintro ⟨e, h, H⟩
case succ.mpr
ξ : Type u_2
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : Nonempty M
s : Structure L M
n✝ : ℕ
ε : ξ → M
n : ℕ
IH :
  ∀ {p : Fin n → Semiformula L ξ 1} {q : Semiformula L ξ n},
    (Evalf s ε) (bexClosure p q) ↔ ∃ e, (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i)) ∧ (Eval s e ε) q
p : Fin (n + 1) → Semiformula L ξ 1
q : Semiformula L ξ (n + 1)
⊢ (∃ e, (∀ (i : Fin (n + 1)), (Eval s ![e i] ε) (p i)) ∧ (Eval s e ε) q) →
    ∃ e, (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i.succ)) ∧ ∃ x, (Eval s ![x] ε) (p 0) ∧ (Eval s (x :> e) ε) q
case succ.mpr.intro.intro
ξ : Type u_2
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : Nonempty M
s : Structure L M
n✝ : ℕ
ε : ξ → M
n : ℕ
IH :
  ∀ {p : Fin n → Semiformula L ξ 1} {q : Semiformula L ξ n},
    (Evalf s ε) (bexClosure p q) ↔ ∃ e, (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i)) ∧ (Eval s e ε) q
p : Fin (n + 1) → Semiformula L ξ 1
q : Semiformula L ξ (n + 1)
e : Fin (n + 1) → M
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), (Eval s ![e i] ε) (p i)
H : (Eval s e ε) q
⊢ ∃ e, (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i.succ)) ∧ ∃ x, (Eval s ![x] ε) (p 0) ∧ (Eval s (x :> e) ε) q