refine ⟨fun ⟨h, hB⟩ ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β
⊢ ((∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ B = f '' I₀) ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I) ↔
    ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β
x✝ : (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ B = f '' I₀) ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I
h : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ B = f '' I₀
hB : ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I
⊢ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β
h : ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀
⊢ (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ B = f '' I₀) ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I