obtain ⟨s, hs⟩ := zeta_sub_one_dvd_trace_sub_smul hζ x
case intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
r : ℤ
hr : (Algebra.norm ℤ) (1 + ↑↑p • x) = 1 + (Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x * ↑↑p + r * ↑↑p ^ 2
⊢ (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑((Algebra.norm ℤ) (1 + ↑p • x)) - 1 + ↑p • x
case intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
r : ℤ
hr : (Algebra.norm ℤ) (1 + ↑↑p • x) = 1 + (Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x * ↑↑p + r * ↑↑p ^ 2
s : 𝓞 K
hs : ↑((Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x) - (↑p - 1) • x = (↑hζ.unit' - 1) * s
⊢ (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑((Algebra.norm ℤ) (1 + ↑p • x)) - 1 + ↑p • x