rw [FractionalIdeal.isPrincipal_iff]
case intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
a : K
ha : ↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀ = FractionalIdeal.spanSingleton (𝓞 K)⁰ (a * (algebraMap (𝓞 K) K) (π ^ m))
⊢ (↑(↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀)).IsPrincipal

case intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
a : K
ha : ↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀ / ↑(𝔭 ^ m) = FractionalIdeal.spanSingleton (𝓞 K)⁰ a
⊢ ↑(𝔭 ^ m) ≠ 0
case intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
a : K
ha : ↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀ = FractionalIdeal.spanSingleton (𝓞 K)⁰ (a * (algebraMap (𝓞 K) K) (π ^ m))
⊢ ∃ x_1, ↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀ = FractionalIdeal.spanSingleton (𝓞 K)⁰ x_1

case intro
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
a : K
ha : ↑(𝔞 η) / ↑𝔞₀ / ↑(𝔭 ^ m) = FractionalIdeal.spanSingleton (𝓞 K)⁰ a
⊢ ↑(𝔭 ^ m) ≠ 0