apply IsBigO.trans ?_ pow_half_mul_one_add_log_div_isBigO.natCast
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
⊢ (fun N => ↑(Finset.image (fun p => p.1 ^ p.2) (Finset.Ico 1 ⌈√↑N⌉₊ ×ˢ Finset.range (Nat.log 2 N + 1))).card) =O[atTop]
    fun N => ↑N / (↑N).log
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
⊢ (fun N => ↑(Finset.image (fun p => p.1 ^ p.2) (Finset.Ico 1 ⌈√↑N⌉₊ ×ˢ Finset.range (Nat.log 2 N + 1))).card) =O[atTop]
    fun n => ↑n ^ (1 / 2) * (1 + (↑n).log / Real.log 2)