simp_rw [← pow_mul]
case refine_3.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this✝ : NormedAlgebra ℚ ℂ
this : ∃ n, ∃ (_ : 0 < n), ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹) ^ n = 1
n : ℕ
k : ℕ+
hz :
  (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹ =
    (-1) ^ ↑k * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑hζ.unit' ^ n
⊢ ∃ m, u * ((unitGalConj K p) u)⁻¹ = (hζ.unit' ^ m) ^ 2

case refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this : NormedAlgebra ℚ ℂ
⊢ IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹)

case refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this : NormedAlgebra ℚ ℂ
⊢ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹)‖ = 1
case refine_3.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this✝ : NormedAlgebra ℚ ℂ
this : ∃ n, ∃ (_ : 0 < n), ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹) ^ n = 1
n : ℕ
k : ℕ+
hz :
  (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹ =
    (-1) ^ ↑k * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑hζ.unit' ^ n
⊢ ∃ m, u * ((unitGalConj K p) u)⁻¹ = hζ.unit' ^ (m * 2)

case refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this : NormedAlgebra ℚ ℂ
⊢ IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹)

case refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
h : p ≠ 2
hp : (↑p).Prime
u : (𝓞 K)ˣ
hpo : Odd ↑p
this : NormedAlgebra ℚ ℂ
⊢ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u * (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((unitGalConj K p) u)⁻¹)‖ = 1