by_cases hx : x < ‖a‖
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a x : M
⊢ ∃! y, (x < ‖a‖ → Exponential x y) ∧ (‖a‖ ≤ x → y = 0)
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a x : M
hx : x < ‖a‖
⊢ ∃! y, (x < ‖a‖ → Exponential x y) ∧ (‖a‖ ≤ x → y = 0)

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a x : M
hx : ¬x < ‖a‖
⊢ ∃! y, (x < ‖a‖ → Exponential x y) ∧ (‖a‖ ≤ x → y = 0)