induction H <;> try simp [LogicalConnective.ball, LogicalConnective.bex] at hq
L : Language
inst✝ : L.LT
μ : Type v
Γ : Polarity
s n : ℕ
p : Semiformula L μ (n + 1)
t : Semiterm L μ (n + 1)
ht : t.Positive
q : Semiformula L μ n
hq : (“(∀[#0 < !!t] !p)”) = q
H : Hierarchy Γ s q
⊢ Hierarchy Γ s p
case ball
L : Language
inst✝ : L.LT
μ : Type v
Γ : Polarity
s n : ℕ
q : Semiformula L μ n
Γ✝ : Polarity
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ (n✝ + 1)
t✝ : Semiterm L μ (n✝ + 1)
a✝¹ : t✝.Positive
a✝ : Hierarchy Γ✝ s✝ p✝
a_ih✝ :
  ∀ {p : Semiformula L μ (n✝ + 1 + 1)} {t : Semiterm L μ (n✝ + 1 + 1)},
    t.Positive → (“(∀[#0 < !!t] !p)”) = p✝ → Hierarchy Γ✝ s✝ p
p : Semiformula L μ (n✝ + 1)
t : Semiterm L μ (n✝ + 1)
ht : t.Positive
hq : t = t✝ ∧ p = p✝
⊢ Hierarchy Γ✝ s✝ p

case all
L : Language
inst✝ : L.LT
μ : Type v
Γ : Polarity
s n : ℕ
q : Semiformula L μ n
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ (n✝ + 1)
a✝ : Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ :
  ∀ {p : Semiformula L μ (n✝ + 1 + 1)} {t : Semiterm L μ (n✝ + 1 + 1)},
    t.Positive → (“(∀[#0 < !!t] !p)”) = p✝ → Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p
p : Semiformula L μ (n✝ + 1)
t : Semiterm L μ (n✝ + 1)
ht : t.Positive
hq : (“(#0 < !!t → !p)”) = p✝
⊢ Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p

case pi
L : Language
inst✝ : L.LT
μ : Type v
Γ : Polarity
s n : ℕ
q : Semiformula L μ n
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ (n✝ + 1)
a✝ : Hierarchy 𝚺 s✝ p✝
a_ih✝ :
  ∀ {p : Semiformula L μ (n✝ + 1 + 1)} {t : Semiterm L μ (n✝ + 1 + 1)},
    t.Positive → (“(∀[#0 < !!t] !p)”) = p✝ → Hierarchy 𝚺 s✝ p
p : Semiformula L μ (n✝ + 1)
t : Semiterm L μ (n✝ + 1)
ht : t.Positive
hq : (“(#0 < !!t → !p)”) = p✝
⊢ Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p

case dummy_sigma
L : Language
inst✝ : L.LT
μ : Type v
Γ : Polarity
s n : ℕ
q : Semiformula L μ n
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ (n✝ + 1)
a✝ : Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ :
  ∀ {p : Semiformula L μ (n✝ + 1 + 1)} {t : Semiterm L μ (n✝ + 1 + 1)},
    t.Positive → (“(∀[#0 < !!t] !p)”) = p✝ → Hierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p
p : Semiformula L μ (n✝ + 1)
t : Semiterm L μ (n✝ + 1)
ht : t.Positive
hq : (“(#0 < !!t → !p)”) = p✝
⊢ Hierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) p