induction w
Γ : Ctx
f : Form
h₁ : ▲Γ⊢f
w : BProof (▲Γ) f
⊢ f ∈ ▲Γ
case ax
Γ : Ctx
f p✝ : Form
h✝ : p✝ ∈ ▲Γ
h₁ : ▲Γ⊢p✝
⊢ p✝ ∈ ▲Γ

case mp
Γ : Ctx
f p✝ q✝ : Form
h₁✝ : BProof (▲Γ) p✝
h₂✝ : BTheorem (p✝⊃q✝)
h₁_ih✝ : ▲Γ⊢p✝ → p✝ ∈ ▲Γ
h₁ : ▲Γ⊢q✝
⊢ q✝ ∈ ▲Γ

case adj
Γ : Ctx
f p✝ q✝ : Form
h₁✝ : BProof (▲Γ) p✝
h₂✝ : BProof (▲Γ) q✝
h₁_ih✝ : ▲Γ⊢p✝ → p✝ ∈ ▲Γ
h₂_ih✝ : ▲Γ⊢q✝ → q✝ ∈ ▲Γ
h₁ : ▲Γ⊢p✝&q✝
⊢ p✝&q✝ ∈ ▲Γ