have htop : Tendsto (fun (_ : ℝ) ↦ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (x - T * I)) atTop (𝓝 <| ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (x - T * I)) :=
  tendsto_const_nhds
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))