unfold revDerivUpdate
K : Type u_1
I : Type ?u.86406
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.86447
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.86458
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.86483
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.86508
EI : I → Type ?u.86513
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.86647
J : Type ?u.86650
FJ : J → Type ?u.86655
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDerivUpdate K fun x =>
      let y := g x;
      f x y) =
    fun x =>
    let ydg := revDerivUpdate K g x;
    let zdf := revDerivUpdate K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1);
    (zdf.1, fun dz dx =>
      let dxdy := zdf.2 dz (dx, 0);
      let dx := ydg.2 dxdy.2 dxdy.1;
      dx)
K : Type u_1
I : Type ?u.86406
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.86447
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.86458
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.86483
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.86508
EI : I → Type ?u.86513
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.86647
J : Type ?u.86650
FJ : J → Type ?u.86655
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf :=
        revDeriv K
          (fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdf :=
      let ydf := revDeriv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1);
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (zdf.1, fun dz dx =>
      let dxdy := zdf.2 dz (dx, 0);
      let dx := ydg.2 dxdy.2 dxdy.1;
      dx)