rw [← eq_intCast (algebraMap ℤ (𝓞 K)), ← IsScalarTower.algebraMap_apply,
  IsScalarTower.algebraMap_apply ℤ ℚ K, eq_intCast, Algebra.coe_trace_int,
  trace_eq_sum_automorphisms, map_sum]
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this✝ : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
this : IsGalois ℚ K := IsCyclotomicExtension.isGalois p ℚ K
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑((Algebra.trace ℤ (𝓞 K)) x) = (algebraMap (𝓞 K) K) (∑ σ : K ≃ₐ[ℚ] K, (intGal ↑σ).toRingHom x)
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hp : p ≠ 2
x : 𝓞 K
this✝ : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
this : IsGalois ℚ K := IsCyclotomicExtension.isGalois p ℚ K
⊢ ∑ σ : K ≃ₐ[ℚ] K, σ ↑x = ∑ x_1 : K ≃ₐ[ℚ] K, (algebraMap (𝓞 K) K) ((intGal ↑x_1).toRingHom x)