induction h generalizing μ₂ n₂ <;> try simp
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
h : StrictHierarchy Γ s p
ω : Rew L μ₁ n₁ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy Γ s (ω.hom p)
case zero
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
x✝ s✝ : ℕ
Γ✝ : Polarity
p✝ : Semiformula L μ₁ x✝
a✝ : DeltaZero p✝
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
ω : Rew L μ₁ x✝ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy Γ✝ s✝ (ω.hom p✝)

case sigma
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 s✝ p✝
a_ih✝ : ∀ {μ₂ : Type u_2} {n₂ : ℕ} (ω : Rew L μ₁ (n✝ + 1) μ₂ n₂), StrictHierarchy 𝚷 s✝ (ω.hom p✝)
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
ω : Rew L μ₁ n✝ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) (∃' ω.q.hom p✝)

case pi
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 s✝ p✝
a_ih✝ : ∀ {μ₂ : Type u_2} {n₂ : ℕ} (ω : Rew L μ₁ (n✝ + 1) μ₂ n₂), StrictHierarchy 𝚺 s✝ (ω.hom p✝)
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
ω : Rew L μ₁ n✝ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) (∀' ω.q.hom p✝)

case ex
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ : ∀ {μ₂ : Type u_2} {n₂ : ℕ} (ω : Rew L μ₁ (n✝ + 1) μ₂ n₂), StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) (ω.hom p✝)
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
ω : Rew L μ₁ n✝ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) (∃' ω.q.hom p✝)

case all
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ : ℕ
Γ : Polarity
s : ℕ
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ : ∀ {μ₂ : Type u_2} {n₂ : ℕ} (ω : Rew L μ₁ (n✝ + 1) μ₂ n₂), StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) (ω.hom p✝)
μ₂ : Type u_2
n₂ : ℕ
ω : Rew L μ₁ n✝ μ₂ n₂
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) (∀' ω.q.hom p✝)