obtain (hab|hc) := (Nat.prime_iff_prime_int.mp hpri.out).dvd_or_dvd caseII
case intro.intro
K : Type u_1
p✝ : ℕ+
hpri✝ : Fact p✝.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p✝} ℚ K
hp : p✝ ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg✝ : (↑p✝).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p✝
a b c : ℤ
p : ℕ
hpri : Fact p.Prime
hreg : IsRegularPrime p
hodd : p ≠ 2
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseII : ↑p ∣ a * b * c
e : a ^ p + b ^ p = c ^ p
c0 : ¬c = 0
a0 : ¬a = 0
b0 : ¬b = 0
hodd' : Odd p
⊢ False
case intro.intro.inl
K : Type u_1
p✝ : ℕ+
hpri✝ : Fact p✝.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p✝} ℚ K
hp : p✝ ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg✝ : (↑p✝).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p✝
a b c : ℤ
p : ℕ
hpri : Fact p.Prime
hreg : IsRegularPrime p
hodd : p ≠ 2
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseII : ↑p ∣ a * b * c
e : a ^ p + b ^ p = c ^ p
c0 : ¬c = 0
a0 : ¬a = 0
b0 : ¬b = 0
hodd' : Odd p
hab : ↑p ∣ a * b
⊢ False

case intro.intro.inr
K : Type u_1
p✝ : ℕ+
hpri✝ : Fact p✝.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p✝} ℚ K
hp : p✝ ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg✝ : (↑p✝).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p✝
a b c : ℤ
p : ℕ
hpri : Fact p.Prime
hreg : IsRegularPrime p
hodd : p ≠ 2
hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
caseII : ↑p ∣ a * b * c
e : a ^ p + b ^ p = c ^ p
c0 : ¬c = 0
a0 : ¬a = 0
b0 : ¬b = 0
hodd' : Odd p
hc : ↑p ∣ c
⊢ False