simp only [flb_eq_k, gt_iff_lt, lt_add_iff_pos_right, zero_lt_one, Finset.Icc_eq_empty_of_lt,
  Finset.sum_empty]
φ : ℝ → ℂ
a b : ℝ
k : ℤ
ha : a ∈ Ico (↑k) b
b_lt_kpOne : b < ↑k + 1
φDiff : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x
derivφCont : ContinuousOn (deriv φ) [[a, b]]
flb_eq_k : ⌊b⌋ = k
⊢ ∑ n ∈ Finset.Ioc k ⌊b⌋, φ ↑n =
    (∫ (x : ℝ) in a..b, φ x) + (↑⌊b⌋ + 1 / 2 - ↑b) * φ b - (↑k + 1 / 2 - ↑a) * φ a -
      ∫ (x : ℝ) in a..b, (↑k + 1 / 2 - ↑x) * deriv φ x
φ : ℝ → ℂ
a b : ℝ
k : ℤ
ha : a ∈ Ico (↑k) b
b_lt_kpOne : b < ↑k + 1
φDiff : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt φ (deriv φ x) x
derivφCont : ContinuousOn (deriv φ) [[a, b]]
flb_eq_k : ⌊b⌋ = k
⊢ ∑ x ∈ Finset.Ioc k k, φ ↑x =
    (∫ (x : ℝ) in a..b, φ x) + (↑k + 1 / 2 - ↑b) * φ b - (↑k + 1 / 2 - ↑a) * φ a -
      ∫ (x : ℝ) in a..b, (↑k + 1 / 2 - ↑x) * deriv φ x