rw [← er_cl_eq, ← cl_insert_cl_eq_cl_insert, ← hI.cl_eq_cl, hI.er_eq_encard,
  cl_insert_cl_eq_cl_insert, er_cl_eq, Indep.er, encard_insert_of_not_mem]
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X I : Set α
he : e ∈ M.E \ M.cl I
hI : M.Basis' I X
⊢ M.er (insert e X) = M.er X + 1
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X I : Set α
he : e ∈ M.E \ M.cl I
hI : M.Basis' I X
⊢ e ∉ I

case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X I : Set α
he : e ∈ M.E \ M.cl I
hI : M.Basis' I X
⊢ M.Indep (insert e I)