use N
case intro
X : Type u_1
inst✝ : MetricSpace X
a b c : X
r : ℝ
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u (n + 1)) ≤ (1 / 2) ^ n
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
N : ℕ
hN : 1 / 2 ^ N * 2 < ε
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < ε
case h
X : Type u_1
inst✝ : MetricSpace X
a b c : X
r : ℝ
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u (n + 1)) ≤ (1 / 2) ^ n
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
N : ℕ
hN : 1 / 2 ^ N * 2 < ε
⊢ ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < ε