suffices : (∃ N, ∀ (n : ℕ+), N ≤ n → |∫ x in Set.Ioc (-δ) δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x| < ε/2) ∧
    Tendsto (fun (n : ℕ+) => ∫ x in Set.Iic (-δ) ∪ Set.Ioi δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq n x) atTop (nhds 0)
case h_tendsto.intro.intro
φ : ℝ → ℝ
hφ : IsBump φ
h_integrable : ∀ {n : ℕ+}, Integrable fun x => (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδε : ∀ {x : ℝ}, |x| < δ → |φ x - φ 0| < ε / 2
⊢ ∃ N, ∀ (n : ℕ+), N ≤ n → |∫ (x : ℝ), (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x| < ε
case h_tendsto.intro.intro
φ : ℝ → ℝ
hφ : IsBump φ
h_integrable : ∀ {n : ℕ+}, Integrable fun x => (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδε : ∀ {x : ℝ}, |x| < δ → |φ x - φ 0| < ε / 2
this :
  (∃ N, ∀ (n : ℕ+), N ≤ n → |∫ (x : ℝ) in Set.Ioc (-δ) δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x| < ε / 2) ∧
    Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in Set.Iic (-δ) ∪ Set.Ioi δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x) atTop (nhds 0)
⊢ ∃ N, ∀ (n : ℕ+), N ≤ n → |∫ (x : ℝ), (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x| < ε

case this
φ : ℝ → ℝ
hφ : IsBump φ
h_integrable : ∀ {n : ℕ+}, Integrable fun x => (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδε : ∀ {x : ℝ}, |x| < δ → |φ x - φ 0| < ε / 2
⊢ (∃ N, ∀ (n : ℕ+), N ≤ n → |∫ (x : ℝ) in Set.Ioc (-δ) δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x| < ε / 2) ∧
    Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in Set.Iic (-δ) ∪ Set.Ioi δ, (φ x - φ 0) * DiracSeq (↑↑n) x) atTop (nhds 0)