calc
  p^2 ≤ p^k := by
    gcongr; exact hp.one_le;omega
_ = n := hpkn
_ < N := hnN
case neg.h.refine_1
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
N n : ℕ
hnN : n < N
p k : ℕ
hp : p.Prime
hk_pos : 0 < k
hpkn : p ^ k = n
hk : ¬k = 1
⊢ p ^ 2 < N
no goals