by_cases hc : c₁ ≤ c₂
x σ σ' σ'' T c₁ c₂ : ℝ
c₁_pos : 0 < c₁
c₂_pos : 0 < c₂
⊢ 0 < ∫ (t : ℝ), 1 / (√(c₁ + t ^ 2) * √(c₂ + t ^ 2))
case pos
x σ σ' σ'' T c₁ c₂ : ℝ
c₁_pos : 0 < c₁
c₂_pos : 0 < c₂
hc : c₁ ≤ c₂
⊢ 0 < ∫ (t : ℝ), 1 / (√(c₁ + t ^ 2) * √(c₂ + t ^ 2))

case neg
x σ σ' σ'' T c₁ c₂ : ℝ
c₁_pos : 0 < c₁
c₂_pos : 0 < c₂
hc : ¬c₁ ≤ c₂
⊢ 0 < ∫ (t : ℝ), 1 / (√(c₁ + t ^ 2) * √(c₂ + t ^ 2))