rw [delete_ground, contract_ground, contract_ground, diff_diff, diff_eq_diff_iff_inter_eq_inter,
  inter_comm, inter_comm M.E] at hM
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
M M' N : Matroid α
e f : α
I✝ J R B X Y Z K C C₁ C₂ I D : Set α
hI : M.Basis I (C ∩ M.E)
hM : (M ／ C).E = (M ／ I ＼ D).E
⊢ e ∈ M.cl (C ∩ M.E) \ (I ∪ D) ↔ e ∈ M.cl (C ∩ M.E) \ C
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
M M' N : Matroid α
e f : α
I✝ J R B X Y Z K C C₁ C₂ I D : Set α
hI : M.Basis I (C ∩ M.E)
hM : C ∩ M.E = (I ∪ D) ∩ M.E
⊢ e ∈ M.cl (C ∩ M.E) \ (I ∪ D) ↔ e ∈ M.cl (C ∩ M.E) \ C