refine ⟨k₁, k₂, Nat.pos_of_ne_zero ?_, Nat.pos_of_ne_zero ?_, h₁, h₂⟩
case intro.intro.intro
a b : ℕ
I : BasicInterval
h : b * I.a₁ < a * I.b₁ ∧ a * I.b₂ < b * I.a₂
k₁ k₂ : ℕ
h₁ : a = k₁ * I.a₁ + k₂ * I.a₂
h₂ : b = k₁ * I.b₁ + k₂ * I.b₂
⊢ ∃ k₁ k₂, 0 < k₁ ∧ 0 < k₂ ∧ a = k₁ * I.a₁ + k₂ * I.a₂ ∧ b = k₁ * I.b₁ + k₂ * I.b₂
case intro.intro.intro.refine_1
a b : ℕ
I : BasicInterval
h : b * I.a₁ < a * I.b₁ ∧ a * I.b₂ < b * I.a₂
k₁ k₂ : ℕ
h₁ : a = k₁ * I.a₁ + k₂ * I.a₂
h₂ : b = k₁ * I.b₁ + k₂ * I.b₂
⊢ k₁ ≠ 0

case intro.intro.intro.refine_2
a b : ℕ
I : BasicInterval
h : b * I.a₁ < a * I.b₁ ∧ a * I.b₂ < b * I.a₂
k₁ k₂ : ℕ
h₁ : a = k₁ * I.a₁ + k₂ * I.a₂
h₂ : b = k₁ * I.b₁ + k₂ * I.b₂
⊢ k₂ ≠ 0