calc
  _ = ∫ x in a..b, |(⌊x⌋ + 1 / 2 - x)| / x ^ (s+1).re := ZetaSum_aux1_4 apos a_lt_b
  _ ≤ ∫ x in a..b, 1 / x ^ (s.re + 1) := ZetaSum_aux1_5 apos a_lt_b σpos
  _ = (a ^ (-s.re) - b ^ (-s.re)) / s.re := ?_
a b : ℝ
apos : 0 < a
a_lt_b : a < b
s : ℂ
σpos : 0 < s.re
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ‖(↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤ (a ^ (-s.re) - b ^ (-s.re)) / s.re
a b : ℝ
apos : 0 < a
a_lt_b : a < b
s : ℂ
σpos : 0 < s.re
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x ^ (s.re + 1) = (a ^ (-s.re) - b ^ (-s.re)) / s.re