have h₂ : Ioo x₀ x ⊆ Ioo a b := Ioo_subset_Ioo hx₀.1 hx.2
case inr.inl
f g g' : ℝ → ℝ
x₀ x a b : ℝ
n : ℕ
hab : a < b
hx : x ∈ Icc a b
hx₀ : x₀ ∈ Icc a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Ioo a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
gdiff : ∀ y ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' y) y
hx'✝ : x₀ ≠ x
hx' : x₀ < x
h₁ : Icc x₀ x ⊆ Icc a b
⊢ ∃ x',
    ∃ (_ : x' ∈ Ioo a b),
      x' ≠ x ∧
        (f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) x₀ x) * g' x' =
          ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) x'
case inr.inl
f g g' : ℝ → ℝ
x₀ x a b : ℝ
n : ℕ
hab : a < b
hx : x ∈ Icc a b
hx₀ : x₀ ∈ Icc a b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc a b)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Ioo a b)
gcont : ContinuousOn g (Icc a b)
gdiff : ∀ y ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' y) y
hx'✝ : x₀ ≠ x
hx' : x₀ < x
h₁ : Icc x₀ x ⊆ Icc a b
h₂ : Ioo x₀ x ⊆ Ioo a b
⊢ ∃ x',
    ∃ (_ : x' ∈ Ioo a b),
      x' ≠ x ∧
        (f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) x₀ x) * g' x' =
          ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) x'