rw [image_equiv_eq_preimage_symm, mem_preimage, Equiv.symm_swap, Equiv.swap_apply_def]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ t t' : Set α
f✝ : α → β
e f : α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
hef : e ∈ S ↔ f ∈ S
x : α
⊢ x ∈ ⇑(swap e f) '' S ↔ x ∈ S
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ s₂ t t' : Set α
f✝ : α → β
e f : α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
hef : e ∈ S ↔ f ∈ S
x : α
⊢ (if x = e then f else if x = f then e else x) ∈ S ↔ x ∈ S