simp[hn,mean,map]
R : Type ?u.59471
inst✝¹³ : RealScalar R
X : Type ?u.59474
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁰ : Module ℝ X
Y : Type ?u.60079
inst✝⁹ : AddCommGroup Y
inst✝⁸ : Module ℝ Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.60683
inst✝⁶ : AddCommGroup Z
inst✝⁵ : Module ℝ Z
C : ℕ → Type
inst✝⁴ : (n : ℕ) → AddCommGroup (C n)
inst✝³ : (n : ℕ) → Module ℝ (C n)
inst✝² : (n : ℕ) → MeasurableSpace (C n)
D : ℕ → Type
inst✝¹ inst✝ : (n : ℕ) → MeasurableSpace (D n)
x₀ : C 0
r : (n : ℕ) → Rand (D n)
f : (n : ℕ) → C n → D n → C (n + 1)
hf : ∀ (n : ℕ) (d : D n), IsAffineMap ℝ fun x => f n x d
n : ℕ
hn :
  (Nat.recOn n x₀ fun n x => (r n).𝔼 (f n x)) =
    mean
      (Nat.recOn n (pure x₀) fun n x => do
        let x' ← x
        let y' ← r n
        pure (f n x' y'))
⊢ (Nat.recOn (Nat.succ n) x₀ fun n x => (r n).𝔼 (f n x)) =
    mean
      (Nat.recOn (Nat.succ n) (pure x₀) fun n x => do
        let x' ← x
        let y' ← r n
        pure (f n x' y'))
R : Type ?u.59471
inst✝¹³ : RealScalar R
X : Type ?u.59474
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁰ : Module ℝ X
Y : Type ?u.60079
inst✝⁹ : AddCommGroup Y
inst✝⁸ : Module ℝ Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.60683
inst✝⁶ : AddCommGroup Z
inst✝⁵ : Module ℝ Z
C : ℕ → Type
inst✝⁴ : (n : ℕ) → AddCommGroup (C n)
inst✝³ : (n : ℕ) → Module ℝ (C n)
inst✝² : (n : ℕ) → MeasurableSpace (C n)
D : ℕ → Type
inst✝¹ inst✝ : (n : ℕ) → MeasurableSpace (D n)
x₀ : C 0
r : (n : ℕ) → Rand (D n)
f : (n : ℕ) → C n → D n → C (n + 1)
hf : ∀ (n : ℕ) (d : D n), IsAffineMap ℝ fun x => f n x d
n : ℕ
hn :
  (Nat.recOn n x₀ fun n x => (r n).𝔼 (f n x)) =
    mean
      (Nat.recOn n (pure x₀) fun n x => do
        let x' ← x
        let y' ← r n
        pure (f n x' y'))
⊢ (r n).𝔼
      (f n
        ((Nat.rec (pure x₀)
              (fun n x => do
                let x' ← x
                let y' ← r n
                pure (f n x' y'))
              n).𝔼
          id)) =
    (do
          let x' ←
            Nat.rec (pure x₀)
                (fun n x => do
                  let x' ← x
                  let y' ← r n
                  pure (f n x' y'))
                n
          let y' ← r n
          pure (f n x' y')).𝔼
      id