unfold riemannZeta0 ζ₀'
N : ℕ
Npos : 0 < N
s : ℂ
reS_pos : 0 < s.re
s_ne_one : s ≠ 1
⊢ HasDerivAt (ζ₀ N) (ζ₀' N s) s
N : ℕ
Npos : 0 < N
s : ℂ
reS_pos : 0 < s.re
s_ne_one : s ≠ 1
⊢ HasDerivAt
    (fun s =>
      ∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s + -↑N ^ (1 - s) / (1 - s) + -↑N ^ (-s) / 2 +
        s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1))
    (∑ n ∈ Finset.range (N + 1), -1 / ↑n ^ s * ↑(↑n).log +
          (-↑N ^ (1 - s) / (1 - s) ^ 2 + ↑(↑N).log * ↑N ^ (1 - s) / (1 - s)) +
        ↑(↑N).log * ↑N ^ (-s) / 2 +
      ((1 * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) * ↑x ^ (-s - 1)) +
        s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) * ↑x ^ (-s - 1) * -↑x.log))
    s