funext dx
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx) =
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)