let F : Vector ℕ (n + 2) → ℕ := fun v =>
  (isEqNat (Nat.beta v.head 0) (f v.tail.tail)).and
  (Nat.ball v.tail.head $ fun i => isEqNat (Nat.beta v.head (i + 1)) (g (i ::ᵥ Nat.beta v.head i ::ᵥ v.tail.tail)))
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
g : Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Arith₁ f
hg : Arith₁ g
⊢ Arith₁ fun v => rec (f v.tail) (fun y IH => g (y ::ᵥ IH ::ᵥ v.tail)) v.head
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
g : Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Arith₁ f
hg : Arith₁ g
F : Vector ℕ (n + 2) → ℕ :=
  fun v =>
    ((v.head.beta 0).isEqNat (f v.tail.tail)).and
      (v.tail.head.ball fun i => (v.head.beta (i + 1)).isEqNat (g (i ::ᵥ v.head.beta i ::ᵥ v.tail.tail)))
⊢ Arith₁ fun v => rec (f v.tail) (fun y IH => g (y ::ᵥ IH ::ᵥ v.tail)) v.head