refine eq_of_localization_maximal ?_
case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹¹ : IsDomain R
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : NoZeroSMulDivisors R S
hRS : Module.Finite R S
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : IsSeparable (FractionRing R) (FractionRing S)
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
⊢ spanIntNorm R (I * J) = spanIntNorm R I * spanIntNorm R J
case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
inst✝¹² : IsIntegrallyClosed R
inst✝¹¹ : IsDomain R
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : NoZeroSMulDivisors R S
hRS : Module.Finite R S
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : IsSeparable (FractionRing R) (FractionRing S)
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
⊢ ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal),
    map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanIntNorm R (I * J)) =
      map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanIntNorm R I * spanIntNorm R J)