rw [gt_iff_lt, div_rpow, div_rpow, lt_div_iff, mul_comm_div, div_self, mul_one]
<;> try positivity
case intro.intro.calc_1
𝕂 : Type u_1
inst✝ : _root_.RCLike 𝕂
x y ε : ℝ
hx2 : 2 ^ ε < x
εpos : 0 < ε
ε1 : ε < 1
ypos : 0 < y
y1 : y ≤ 1
⊢ (x / y) ^ (1 / ε) > (2 ^ ε / y) ^ (1 / ε)
case intro.intro.calc_1
𝕂 : Type u_1
inst✝ : _root_.RCLike 𝕂
x y ε : ℝ
hx2 : 2 ^ ε < x
εpos : 0 < ε
ε1 : ε < 1
ypos : 0 < y
y1 : y ≤ 1
⊢ (2 ^ ε) ^ (1 / ε) < x ^ (1 / ε)

case intro.intro.calc_1.hx
𝕂 : Type u_1
inst✝ : _root_.RCLike 𝕂
x y ε : ℝ
hx2 : 2 ^ ε < x
εpos : 0 < ε
ε1 : ε < 1
ypos : 0 < y
y1 : y ≤ 1
⊢ 0 ≤ x