suffices ({a, b, c} : Finset ℕ).card = 3 by rw [this]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
n : ℕ
hn : 100 ≤ n
a b c : ℕ
hna : n ≤ a
hab : a < b
hbc : b < c
hcn : c ≤ 2 * n
h₁ : ∃ k, a + b = k ^ 2
h₂ : ∃ l, c + a = l ^ 2
h₃ : ∃ m, b + c = m ^ 2
⊢ 2 * 1 + 1 ≤ {a, b, c}.card
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
n : ℕ
hn : 100 ≤ n
a b c : ℕ
hna : n ≤ a
hab : a < b
hbc : b < c
hcn : c ≤ 2 * n
h₁ : ∃ k, a + b = k ^ 2
h₂ : ∃ l, c + a = l ^ 2
h₃ : ∃ m, b + c = m ^ 2
⊢ {a, b, c}.card = 3