intros x fs _ h₃ h₄
α : Type u_1
β : Type u_2
instDec : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : Inhabited β
fam : β → Set α
fin : Finset α
h₁ : Monotone fam
⊢ ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α},
    ¬a ∈ s →
      (↑s ⊆ { x | ∃ n, x ∈ fam n } → ∃ n, ↑s ⊆ fam n) →
        ↑(insert a s) ⊆ { x | ∃ n, x ∈ fam n } → ∃ n, ↑(insert a s) ⊆ fam n
α : Type u_1
β : Type u_2
instDec : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : Inhabited β
fam : β → Set α
fin : Finset α
h₁ : Monotone fam
x : α
fs : Finset α
a✝ : ¬x ∈ fs
h₃ : ↑fs ⊆ { x | ∃ n, x ∈ fam n } → ∃ n, ↑fs ⊆ fam n
h₄ : ↑(insert x fs) ⊆ { x | ∃ n, x ∈ fam n }
⊢ ∃ n, ↑(insert x fs) ⊆ fam n