have h0 : Set.Ici z ⊆ f ⁻¹' (Set.Ici (f z)) :=
  real_induction L1 L2 (@Set.left_mem_Ici _ _ (f z))
f : ℝ → ℝ
huc : Continuous f
hlc : Continuous f
z b : ℝ
hz : z ≤ b
L1 : ∀ x ∈ f ⁻¹' Set.Ici (f z), ∃ y, x < y ∧ Set.Ico x y ⊆ f ⁻¹' Set.Ici (f z)
L2 : ∀ (x y : ℝ), x < y → Set.Ico x y ⊆ f ⁻¹' Set.Ici (f z) → y ∈ f ⁻¹' Set.Ici (f z)
⊢ f z ≤ f b
f : ℝ → ℝ
huc : Continuous f
hlc : Continuous f
z b : ℝ
hz : z ≤ b
L1 : ∀ x ∈ f ⁻¹' Set.Ici (f z), ∃ y, x < y ∧ Set.Ico x y ⊆ f ⁻¹' Set.Ici (f z)
L2 : ∀ (x y : ℝ), x < y → Set.Ico x y ⊆ f ⁻¹' Set.Ici (f z) → y ∈ f ⁻¹' Set.Ici (f z)
h0 : Set.Ici z ⊆ f ⁻¹' Set.Ici (f z)
⊢ f z ≤ f b