rcases show b = 0 ∨ 0 < b from eq_zero_or_pos b with (rfl | lty)
case inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
hx : a ∣ b
hy : b ∣ a
ltx : 0 < a
⊢ a = b
case inr.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a c : M
ltx : 0 < a
hx : a ∣ 0
hy : 0 ∣ a
⊢ a = 0

case inr.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
hx : a ∣ b
hy : b ∣ a
ltx : 0 < a
lty : 0 < b
⊢ a = b