have h7 : N < n := by
  have h8 : K + 2 ≤ k + 1 := succ_le_succ (not_lt.mp h2)
  rw [← fib_add_two] at HK
  calc
    N < fib (K + 2) := HK
    _ ≤ fib (k + 1) := (fib_mono h8)
    _ = n := hn.symm
case neg
N K : ℕ
HK : N < K.fib + (K + 1).fib
m n : ℕ
h1 : NatPredicate N m n
k : ℕ
hm : m = k.fib
hn : n = (k + 1).fib
h2 : ¬k < K + 1
⊢ m ≤ K.fib ∧ n ≤ (K + 1).fib
case neg
N K : ℕ
HK : N < K.fib + (K + 1).fib
m n : ℕ
h1 : NatPredicate N m n
k : ℕ
hm : m = k.fib
hn : n = (k + 1).fib
h2 : ¬k < K + 1
h7 : N < n
⊢ m ≤ K.fib ∧ n ≤ (K + 1).fib