calc
  ‖nₘ + ‖I‖‖ ≤ ‖‖I‖ * (k / ‖I‖ + 1)‖ := length_monotone <| by simp [mul_add, HT.le_add]
  _        ≤ ‖‖I‖^2‖                 := length_monotone <| by simp[sq]; exact mul_le_mul_left (lt_iff_succ_le.mp this)
  _        ≤ ‖L‖                     := hIL
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀ + 𝛀₁
L✝ A✝ U I L A : M
hU : (I # L) ^ 2 ≤ U
hIL : ‖‖I‖ ^ 2‖ ≤ ‖L‖
Ipos✝ : 0 < I
k n : M
hk : k < ‖I‖ ^ 2
hhk : (k + 1) / ‖I‖ ≤ ‖I‖
hnk : n ≤ k
Ipos : 0 < I
nₘ : M
hnₘn : nₘ ≤ n
HT : Series U I L A (k / ‖I‖) nₘ
HS : Segment U L A (‖I‖ * (k / ‖I‖)) (k % ‖I‖) nₘ n
this : k / ‖I‖ < ‖I‖
⊢ ‖nₘ + ‖I‖‖ ≤ ‖L‖
no goals