intro H e h x hx
case succ.mpr
ξ : Type u_2
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : Nonempty M
s : Structure L M
n✝ : ℕ
ε : ξ → M
n : ℕ
IH :
  ∀ {p : Fin n → Semiformula L ξ 1} {q : Semiformula L ξ n},
    (Evalf s ε) (ballClosure p q) ↔ ∀ (e : Fin n → M), (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i)) → (Eval s e ε) q
p : Fin (n + 1) → Semiformula L ξ 1
q : Semiformula L ξ (n + 1)
⊢ (∀ (e : Fin (n + 1) → M), (∀ (i : Fin (n + 1)), (Eval s ![e i] ε) (p i)) → (Eval s e ε) q) →
    ∀ (e : Fin n → M),
      (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i.succ)) → ∀ (x : M), (Eval s ![x] ε) (p 0) → (Eval s (x :> e) ε) q
case succ.mpr
ξ : Type u_2
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : Nonempty M
s : Structure L M
n✝ : ℕ
ε : ξ → M
n : ℕ
IH :
  ∀ {p : Fin n → Semiformula L ξ 1} {q : Semiformula L ξ n},
    (Evalf s ε) (ballClosure p q) ↔ ∀ (e : Fin n → M), (∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i)) → (Eval s e ε) q
p : Fin (n + 1) → Semiformula L ξ 1
q : Semiformula L ξ (n + 1)
H : ∀ (e : Fin (n + 1) → M), (∀ (i : Fin (n + 1)), (Eval s ![e i] ε) (p i)) → (Eval s e ε) q
e : Fin n → M
h : ∀ (i : Fin n), (Eval s ![e i] ε) (p i.succ)
x : M
hx : (Eval s ![x] ε) (p 0)
⊢ (Eval s (x :> e) ε) q