funext
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
S : Type
inst✝³ : Vec K S
X : Type
inst✝² : Vec K X
Y : Type ?u.68298
inst✝¹ : Vec K Y
Z : Type ?u.68309
inst✝ : Vec K Z
f : X → S → S
ha0 : CDifferentiable K fun xs => f xs.1 xs.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => modify (f x)) = fun x dx => do
    modify fun sds =>
        let sds := fwdDeriv K (fun xs => f xs.1 xs.2) (x, sds.1) (dx, sds.2);
        sds
    pure ((), ())
case h.h.h
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
S : Type
inst✝³ : Vec K S
X : Type
inst✝² : Vec K X
Y : Type ?u.68298
inst✝¹ : Vec K Y
Z : Type ?u.68309
inst✝ : Vec K Z
f : X → S → S
ha0 : CDifferentiable K fun xs => f xs.1 xs.2
x✝² x✝¹ : X
x✝ : S × S
⊢ fwdDerivM K (fun x => modify (f x)) x✝² x✝¹ x✝ =
    ((modify fun sds =>
          let sds := fwdDeriv K (fun xs => f xs.1 xs.2) (x✝², sds.1) (x✝¹, sds.2);
          sds) >>=
        fun x => pure ((), ()))
      x✝