rw [hIi.er_eq_encard, hIX.er_eq_encard, ← encard_diff_add_encard_of_subset hX,
  add_comm (encard _), add_assoc, WithTop.add_left_cancel_iff hifin, hIY.er_eq_encard,
  ← encard_union_add_encard_inter, ← union_eq_self_of_subset_left hY, ← union_assoc,
  diff_union_self, union_eq_self_of_subset_right hX] at hr
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
B I J X X' Y Y' F : Set α
Xs Ys Js Is : ι → Set α
i j : ι
e f : α
hXfin : M.rFin X
hYfin : M.rFin Y
hXE : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
hr : M.er X + M.er Y = M.er (X ∩ Y) + M.er (X ∪ Y)
Ii : Set α
hIi : M.Basis Ii (X ∩ Y)
hifin : Ii.encard ≠ ⊤
IX : Set α
hIX : M.Basis IX X
hX : Ii ⊆ IX
IY : Set α
hIY : M.Basis IY Y
hY : Ii ⊆ IY
⊢ M.Indep (IX ∪ IY)
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
B I J X X' Y Y' F : Set α
Xs Ys Js Is : ι → Set α
i j : ι
e f : α
hXfin : M.rFin X
hYfin : M.rFin Y
hXE : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
Ii : Set α
hIi : M.Basis Ii (X ∩ Y)
hifin : Ii.encard ≠ ⊤
IX : Set α
hIX : M.Basis IX X
hX : Ii ⊆ IX
IY : Set α
hr : (IX ∪ IY).encard + (IX \ Ii ∩ (Ii ∪ IY)).encard = M.er (X ∪ Y)
hIY : M.Basis IY Y
hY : Ii ⊆ IY
⊢ M.Indep (IX ∪ IY)