rwa [← zpow_natCast, ← zpow_mul, mul_comm _ a, mul_inv_eq_one₀]
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H✝
inst✝⁷ : Fintype H✝
hCard : Fintype.card H✝ = ↑p
σ✝ : H✝
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H✝ G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : IsGalois k K
inst✝¹ : FiniteDimensional k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
n : ℕ
H : Fin n → Additive (𝓞 K)ˣ
ζ : (𝓞 k)ˣ
a : ℤ
ι : Fin n → ℤ
η : Fin n → Additive (𝓞 k)ˣ
hη :
  ∀ (i : Fin n),
    (algebraMap (𝓞 k) k) ↑(Additive.toMul (η i)) = (Algebra.norm k) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (H i)))
hcoe : (algebraMap (𝓞 K) K) ((algebraMap (𝓞 k) (𝓞 K)) ↑(ζ ^ a)⁻¹) = ↑((algebraMap (𝓞 k) (𝓞 K)) ↑(ζ ^ a)⁻¹)
hcoe1 : (algebraMap (𝓞 k) k) ↑((ζ ^ ↑p) ^ a)⁻¹ = ((↑↑ζ ^ ↑p) ^ a)⁻¹
ha :
  ∏ x : Fin n, (Algebra.norm k) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (H x))) ^ ι x =
    (algebraMap (𝓞 k) k) ↑ζ ^ (a * ↑↑p)
⊢ (∏ x : Fin n, (Algebra.norm k) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (H x))) ^ ι x) * ((↑↑ζ ^ ↑p) ^ a)⁻¹ = 1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H✝
inst✝⁷ : Fintype H✝
hCard : Fintype.card H✝ = ↑p
σ✝ : H✝
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H✝ G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : IsGalois k K
inst✝¹ : FiniteDimensional k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
n : ℕ
H : Fin n → Additive (𝓞 K)ˣ
ζ : (𝓞 k)ˣ
a : ℤ
ι : Fin n → ℤ
η : Fin n → Additive (𝓞 k)ˣ
hη :
  ∀ (i : Fin n),
    (algebraMap (𝓞 k) k) ↑(Additive.toMul (η i)) = (Algebra.norm k) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (H i)))
hcoe : (algebraMap (𝓞 K) K) ((algebraMap (𝓞 k) (𝓞 K)) ↑(ζ ^ a)⁻¹) = ↑((algebraMap (𝓞 k) (𝓞 K)) ↑(ζ ^ a)⁻¹)
hcoe1 : (algebraMap (𝓞 k) k) ↑((ζ ^ ↑p) ^ a)⁻¹ = ((↑↑ζ ^ ↑p) ^ a)⁻¹
ha :
  ∏ x : Fin n, (Algebra.norm k) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (H x))) ^ ι x =
    (algebraMap (𝓞 k) k) ↑ζ ^ (a * ↑↑p)
⊢ ↑↑ζ ^ (a * ↑↑p) ≠ 0