have heX : e ∉ X := fun h ↦
  heI (hI.basis_inter_ground.mem_of_insert_indep ⟨h, hJ.indep.subset_ground heJ⟩ heIi)
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e✝ f : α
h : M.er X < M.er Z
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J (X ∪ Z)
hIJ : I ⊆ J
hlt : I.encard < J.encard
e : α
heJ : e ∈ J
heI : e ∉ I
heIi : M.Indep (insert e I)
⊢ ∃ z ∈ Z \ X, M.er (insert z X) = M.er X + 1
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e✝ f : α
h : M.er X < M.er Z
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J (X ∪ Z)
hIJ : I ⊆ J
hlt : I.encard < J.encard
e : α
heJ : e ∈ J
heI : e ∉ I
heIi : M.Indep (insert e I)
heX : e ∉ X
⊢ ∃ z ∈ Z \ X, M.er (insert z X) = M.er X + 1