refine ⟨fun h J hJ hJX hIJ ↦ ?_, fun h J hJ hJX hIJ ↦ ?_⟩
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
N : Matroid β
e : M ≂ N
I X : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
hIX : I ⊆ X
⊢ (∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ ↑X → I ⊆ Subtype.val ⁻¹' y → ↑I = y) ↔
    ∀ ⦃y : Set β⦄, N.Indep y → y ⊆ ↑(⇑e '' X) → I ⊆ ⇑e ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' y) → ↑(⇑e '' I) = y
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
N : Matroid β
e : M ≂ N
I X : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ ↑X → I ⊆ Subtype.val ⁻¹' y → ↑I = y
J : Set β
hJ : N.Indep J
hJX : J ⊆ ↑(⇑e '' X)
hIJ : I ⊆ ⇑e ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' J)
⊢ ↑(⇑e '' I) = J

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Matroid α
N : Matroid β
e : M ≂ N
I X : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I
hIX : I ⊆ X
h : ∀ ⦃y : Set β⦄, N.Indep y → y ⊆ ↑(⇑e '' X) → I ⊆ ⇑e ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' y) → ↑(⇑e '' I) = y
J : Set α
hJ : M.Indep J
hJX : J ⊆ ↑X
hIJ : I ⊆ Subtype.val ⁻¹' J
⊢ ↑I = J