simp only [Set.mem_iUnion, Set.mem_preimage, Subtype.exists, exists_prop, Set.mem_mul]
case h.e'_5.h.mp
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a : α
s : Subgroup α
t : Set α
x : α
⊢ x ∈ t * ↑s → x ∈ ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' t
case h.e'_5.h.mp
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a : α
s : Subgroup α
t : Set α
x : α
⊢ (∃ x_1 ∈ t, ∃ y ∈ ↑s, x_1 * y = x) → ∃ a ∈ s, x * a ∈ t