simp only [mem_supportedFun_iff, support_subset_iff, ne_eq, mem_empty_iff_false, mem_bot,
  imp_false, not_not]
case h
α : Type u_1
R✝¹ : Type u_2
η✝¹ : Type u_3
ι : Type u_4
R✝ : Type u_5
η✝ : Type u_6
inst✝¹ : Semiring R✝
s : Set η✝
x✝ : η✝ → R✝
R : Type u_7
η : Type u_8
inst✝ : Semiring R
x : η → R
⊢ x ∈ ∅.supportedFun R ↔ x ∈ ⊥
case h
α : Type u_1
R✝¹ : Type u_2
η✝¹ : Type u_3
ι : Type u_4
R✝ : Type u_5
η✝ : Type u_6
inst✝¹ : Semiring R✝
s : Set η✝
x✝ : η✝ → R✝
R : Type u_7
η : Type u_8
inst✝ : Semiring R
x : η → R
⊢ (∀ (x_1 : η), x x_1 = 0) ↔ x = 0