\section{Задача моментов в $\Lp$ и $\LInf$}

Рассмотрим следующую задачу:
\begin{gather*}
	\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t),\\
	x(t_0) = x^0 \longrightarrow x(t_1) = x^1,
\end{gather*}
где $t_0$, $t_1$, $x^0$, $x^1$~--- фиксированные константы.

В предыдущей главе рассматривалось ограничение на управление по норме в пространстве $\LTwo[t_0; t_1]$,
задаваемое соотношением \eqref{L2_control_conditions}. Однако, минимизирование данного функционала
не имеет особого физического смысла. В данной главе будут рассмотрены другие ограничения на управление.

\begin{df}
  Существенным супремумом функции $f(t)$ на множестве $T$ называется следующее выражение:
  \begin{equation*}
    \esssup\limits_{T} f =
    \left\lbrace\left.
      \iinf_{Z \subseteq T \vphantom{T \backslash Z}} \sup_{t \in T \backslash Z} f(t) \right|
      \mu(Z) = 0
    \right\rbrace,\quad
    \mu(\cdot)\text{~--- мера Лебега на множестве $T$.}
  \end{equation*}
\end{df}

\begin{note}
  Для непрерывных функций выполнено равенство $\sup f = \esssup f$.
\end{note}

Например, вместо функционала \eqref{L2_control_conditions} в некоторых задачах имеет смысл рассматривать
следующее ограничение на управление:
\begin{equation}
  \label{Linf_control_conditions}
  \esssup\limits_{[t_0; t_1]} \abs{u} \rightarrow \inf.
\end{equation}

В данной главе будут рассмотрены другие два функционала,
один из которых задается соотношением \eqref{Linf_control_conditions}.
Везде далее будем рассматривать функциональные пространства на отрезке $[t_0; t_1]$,
отождествляя функции, имеющие различия на множестве меры $0$.

\input{part3/part_3_1}
\input{part3/part_3_2}
\input{part3/part_3_3}