\documentclass[ngerman,fontsize=11pt, paper=a4, parskip=half, titlepage=true, toc=bib]{scrartcl}

% DEFINITIONS etc.
\input{k-theory_config}


\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

% ------------

\section{Grundlagen der Milnor K-Theorie}

\begin{Bem}\label{gruppentensorprodukt}
  Eine abelsche Gruppe $(G,+)$ wird mit der Skalarmultiplikation
  \begin{align*}
    \Z \times G &\longrightarrow G,\\
    (n,g)&\longmapsto \underbrace{g+\dotsb+g}_{\scriptsize\text{$n$-mal}}
  \end{align*}
  zu einem $\Z$-Modul.
  Für zwei abelsche Gruppen $G$ und $H$ ist das 
  Gruppentensorprodukt $G\otimes H$
  definiert als das Tensorprodukt der als $\Z$-Moduln
  aufgefassten Gruppen $G$ und $H$.
  
  % ==== (Gruppentensorprodukt ausführlich)
  % Zu diesem existiert nach Definition eine 
  % entsprechende bilineare Abbildung
  % \begin{align*}
  %   \tau\colon G\times H&\rightarrow G\otimes H\\
  %   \intertext{mit der Eigenschaft (für $g,g'\in G$, $h,h'\in H$)}
  %   \tau(g+g',h) &= \tau(g,h)+\tau(g',h)\\
  %   \tau(g,h+h') &= \tau(g,h)+\tau(g,h')\\
  %   \tau(n\cdot g, h) &= n\cdot \tau(g,h)= \tau(g,n\cdot h)\quad
  %                       \forall n \in\Z
  % \end{align*}
  % und es erfüllt die universelle Eigenschaft, dass
  % \begin{center}
  %   \begin{tikzcd}
  %     G\times H 
  %     \arrow[twoheadrightarrow]{r}{\tau} 
  %     \arrow[swap]{rd}{\phi}
  %     & G\otimes H 
  %     \arrow[dashed]{d}{\exists! \widehat{\phi}}
  %     \\
  %     &G'
  %   \end{tikzcd}
  % \end{center}
  % für eine beliebige Gruppe $G'$ und einen 
  % eindeutigen, bilinearen Gruppenhomomorphismus $\phi$
  % kommutiert.

  % $G\otimes H$ kann explizit angeben werden als der Quotient
  % $(G\times H) / \mathcal{I}$ mit dem Ideal 
  % \begin{align*}
  %   \mathcal{I}\coloneqq \big(
  %   \big\{&(g+g',h)-(g,h)-(g',h), \\
  %         &(g,h+h')-(g,h)-(g,h') \colon\\
  %         &g,g'\in G, h,h'\in H \big\}
  %           \big)\,.
  % \end{align*}
  % ====

  Im Folgenden wird für eine Gruppe $G$ das $n$-fache (Gruppen-)Tensorprodukt
  geschrieben als
  \begin{gather*}
    G^{\otimes n}
    \coloneqq \underbrace{G\otimes G\otimes\dotsb\otimes G}_{n\text{-mal}}
  \end{gather*}
\end{Bem}

\subsection{Die Milnor K-Gruppen}
Im Folgenden sei $\F$ ein Körper und $\Fx=\F\setminus \{0\}$ seine
Einheitengruppe.

\begin{Def}\label{defkf}
  Für einen Körper $\F$ definiert man wie folgt die 
  \emph{Milnor K-Gruppen}
  \begin{enumerate}[a)]
  \item $\K_0(\F)\coloneqq \Z$
  \item $\K_1(\F)$ ist die multiplikative Gruppe $\Fx$ 
    additiv geschrieben 
    %mit Addition $\p\colon \KoF\times\KoF\to\KoF$
    vermöge des Gruppenisomorphismus 
    \begin{align*}
      l\colon \Fx&\to \K_1(\F)&
      l(ab)&=l(a)\p l(b)
    \end{align*}
  \item $\KnF, n\geq 2,$ ist der Quotient 
    ${(\K_1(\F))}^{\otimes n}/\calA_n$
    des $n$-fachen Gruppentensorprodukts von $\K_1(\F)$ über der
    Untergruppe 
    \begin{gather*}
      \calA_n=\left( 
        l(a_1)\otimes\dotsb\otimes l(a_n)
        \in {(\K_1(\F))}^{\otimes n}
        \mid  %a_i\in\Fx,
        \exists 1\leq i < n : a_{i+1}=1-a_i 
      \right)
    \end{gather*}
    Die Relation $a_i+a_{i+1}=1$, die $\mathcal{A}_n$ definiert,
    wird auch \emph{Steinbergrelation} genannt.
  \item $\KF\coloneqq \bigoplus_{n\in\N_0}\KnF$
  \end{enumerate}
\end{Def}


\begin{Bem}\label{identitaetkf}
  Mit der induzierten Addition und dem Tensorprodukt als
  Multiplikation wird die direkte Summe aus $\Z$-Moduln
  \begin{align*}
    \calK &\coloneqq
    % \Z\oplus
            \bigoplus_{n\in\N_0}{\Big(\K_1(\F)\Big)}^{\otimes n}%\\
            % &\,
                = \Z\oplus\K_1(\F)
                \oplus\Big(\K_1(\F)\otimes\K_1(\F)\Big)
                \oplus\Big(\K_1(\F)\otimes\K_1(\F)\otimes\K_1(\F)\Big)
                \oplus\dotsb
  \end{align*}
  zu einer $\Z$-Algebra, 
  ohne Skalarmultiplikation zu einem kommutativen Ring mit Einselement
  $1\in\Z$.
  Dieser ist graduiert, d.h. er ist die Summe abelscher Gruppen, 
  der ${\K_1(\F)}^{\otimes n}$, mit einer Multiplikation, hier
  \enquote{$\otimes$}, so dass gilt
  \begin{gather*}
    \forall i,j\in \N\colon 
    \left( {\K_1(\F)}^{\otimes i} \right) \otimes
    \left( {\K_1(\F)}^{\otimes j} \right)
    \subset \left( {\K_1(\F)}^{\otimes (i+j)} \right)
  \end{gather*}
  Die ${\KoF}^{\otimes n}$ können durch Einbettung als additive 
  Untergruppen von $\calK$ aufgefasst
  werden, weshalb wir ein Element
  $l(a_1)\otimes\dotsb\otimes l(a_n)\in {\KoF}^{\otimes n}$
  vorerst mit seiner Einbettung
  $\left(
    0,\dotsc,0,
    \left(l(a_1)\otimes\dotsb\otimes l(a_n)\right),
    0,\dotsc
  \right)\in\calK$
  identifizieren.
  $\KF$ kann damit als Quotient geschrieben werden:
  \begin{gather*}
    \KF = \calK / \left(l(a)\otimes l(1-a)\mid a\in\Fx\right)
  \end{gather*}
  Diese Identität rührt daher, dass das Herausteilen 
  der $(l(a)\otimes l(1-a))$-Elemente sowohl zuerst in den einzelnen
  Untergruppen stattfinden kann, was die $\KnF$ als Quotienten der
  $\KoF^{\otimes n}$ ergibt, 
  oder nach der Summenbildung, wie hier.
\end{Bem}

\begin{Bem}
  Die Definitionen in \ref{defkf} und die Äquivalenz in 
  \ref{identitaetkf} können analog auch auf 
  einem kommutativen, unitalen Ring $A$ angewandt werden,
  wobei $\Fx$ der Einheitengruppe entspricht. Siehe \cite{kerzdipl,kerz}.
\end{Bem}

\begin{Not}
  Der Einfachheit halber schreiben wir 
  für Elemente $a_1,a_2,\dotsc,a_n\in\Fx$ ab jetzt
  die Äquivalenzklasse von 
  $l(a_1)\otimes\dotsb\otimes l(a_n)\in{\KoF}^{\otimes n}$ 
  in $\KnF$ bzw. deren Einbettung in $\KF$
  \begin{align*}
    \{ a_1,a_2,\dotsc,a_n\}
    &\coloneqq \overline{l(a_1)\otimes l(a_2)\otimes \dotsb \otimes
      l(a_n)} 
    &\in\KF\\ 
    \intertext{wobei aus den obigen Definitionen folgt:}
    \{1\}&=0 &\in\KF\\
    \{ a_1 \cdot a_2 \}
    &=  \{a_1\}\p \{a_2\} = \overline{l(a_1)} \p \overline{l(a_2)}  &\in\KF \\
    \{ a_1 \} \otimes \{ a_2 \}
    &= \{ a_1,a_2 \} = \overline{l(a_1)\otimes l(a_2)} &\in\KF \\
    \{ a_1\cdot a_2 \} \otimes \{ a_3 \}
    &= \{ a_1,a_3 \} \p \{a_1, a_2\} 
      = \overline{\big(l(a_1)\p l(a_2)\big) \otimes l(a_3)} &\in\KF\\
    \{ a_1, a_2\} 
    &= \m\{a_1^{-1},a_2\} = \m\{a_1,a_2^{-1}\} 
      = \{a_1^{-1},a_2^{-1}\} &\in\KF                               
  \end{align*}
\end{Not}

\subsection{Identitäten auf den K-Gruppen}
Aus der zusätzlichen Forderung an den Ring $\KF$, 
dass $\{a,1-a\}\equiv 0$ sein soll, ergeben sich neben Nullteilern 
einige weitere interessante Eigenschaften der Elemente.

\begin{Lem}\label{identitaetminus}
  Für ein $a \in\Fx$ gilt in $\KF$
  $ \{a,-a\}=0 $
  \begin{proof}
    Für den Fall $a=1$ ist $a$ das Nullelement von $\KoF$ und damit ist 
    $\{a,-a\}=\ov{l(1)\otimes l(-1)} = 0\otimes \ov{l(-1)} = 0$.
    Falls $a\neq 1$ gilt, kann $-a$ geschrieben werden als
    $-a=\frac{1-a}{1-a^{-1}}$ und es gilt
    \begin{align*}
      \SwapAboveDisplaySkip
      \{a,-a\} &= \{a,(1-a)\cdot (1-a^{-1})^{-1}\}\\
               &= \{a,(1-a)\}\p\{a,(1-a^{-1})^{-1}\} \\
               &= \{a,(1-a)\}\m\{a,(1-a^{-1})\} \\
               &= \underbrace{\{a,(1-a)\}}_{=0}
                 \p\underbrace{\{a^{-1},(1-a^{-1})\}}_{=0} 
                 =0
                 \,.
    \end{align*}
  \end{proof}
\end{Lem}

\begin{Lem}\label{identitaetmal}
  Für $\chi\in\K_m(\F)$, $\zeta\in\K_n(\F)$, $n,m\in\N_0$, gilt
  \begin{gather*}
    \chi\zeta=(-1)^{mn}\zeta\chi
  \end{gather*}
  und insbesondere ergibt sich für $a,b\in \Fx$, dass
  $\{a,b\}= \m\{b,a\}$.
  \begin{proof}
    Da alle Elemente in $\KnF$ mit $n>1$ durch Multiplikation aus
    $\KoF$ hervorgehen, genügt es, die Eigenschaft für
    $\chi,\zeta\in\KoF$ zu überprüfen. Dann folgt es wegen
    Assoziativität induktiv für zwei beliebige Elemente aus $\KF$.
    Seien also $\chi=\{a\},\zeta=\{b\}\in\Fx$, dann gilt mit \ref{identitaetminus}
    \begin{align*}
      \{a,b\}\p \{b,a\} 
      &= (\overbrace{\{a,-a\}}^{0} \p \{a,b\} )
        \p (\{b,a\} \p \overbrace{\{b,-b\}}^{0} ) \\
      &\overset{\mathllap{\text{bilin.}}}{=} \{ a,-ab \} \p \{b, -ab\}\\
      &= \{ ab, -ab\} \overset{\ref{identitaetminus}}{=} 0
    \end{align*}
  \end{proof}
\end{Lem}

\begin{Lem}\label{identitaetquadrat}
  Für jedes $a\in \Fx$ gilt die Identität in $\KF$
  \begin{gather*}
    \{a\}^2 = \{a\}\{-1\} = \{-1\}\{a\}
  \end{gather*}
  und insbesondere $\{a\}^k=\{a\}\otimes\{-1\}^{k-1}$
  für $k\in\N_1$.
  \begin{proof}
    Der Beweis erfolgt wieder durch einfache Rechnung mit
    \ref{identitaetminus}:
    \begin{gather*}
      \{a\}^2 = \{a,(-1)\cdot (-a)\} 
      = \{a,-1\}\p\underbrace{\{a,-a\}}_{0} = \{a,-1\}
    \end{gather*}
    Mit $(-1)=(-1)^{-1}$ und \ref{identitaetmal} folgt die Kommutativität
    \begin{gather*}
      \{a\}^2 = \{a,-1\}= \m\{a,(-1)^{-1}\} 
      \overset{\ref{identitaetmal}}{=} \{(-1)^{-1},a\} = \{-1,a\}\,.
    \end{gather*}
    Die zweite Aussage folgt durch Induktion.
  \end{proof}
\end{Lem}


\subsection{K-Gruppen eines endlichen Körpers}

\begin{Lem}
  Für einen endlichen Körper $\F$ verschwindet $\KnF$ für $n\geq 2$.
  \begin{proof}
    Nachdem alle $\KnF$ für $n>2$ aus $\K_2(\F)$ durch Multiplikation
    hervorgehen, behandeln wir nur den Fall $n=2$.
    Betrachte nun die Charakteristik $q=\Char(\F)$ von $\F$.

    Ist $q=2$, muss $\F$ – wie aus der Algebra bekannt – ein
    Zerfällungskörper $k$-ten Grades von $\F_2$ mit entsprechend
    $q^k=2^k$ Elementen bzw. $2^k-1$ Elementen in $\Fx$ sein und $\Fx$
    ist zyklische Gruppe.
    Nach dem kleinen Fermatschen Satz für die multiplikative Gruppe
    $\Fx$ mit $\Ord(\Fx)=2^k-1$ gilt damit $\forall a\in\Fx\colon a^{2^k-1}=1$, 
    d.h. $\forall a\in\Fx\colon a^{2^k} = a$.
    Mit einem Erzeuger $a_0$ von $\Fx$ und zwei beliebigen Elementen $a=a_0^j,
    b=a_0^i$ ist dann
    \begin{gather*}
      \{a,b\}=\{a_0^i, a_0^j\} = ij\{a_0,a_0\}
      = ij\{a_0,a_0^{2^k}\} = ij\{a_0, (-a_0)^{2^k}\} =
      2^kij\{a_0,-a_0\} 
      \overset{\ref{identitaetminus}}{=} 0
      \,.
    \end{gather*}

    Falls $q>2$, kann genutzt werden, dass $2\{a,b\}=0\;\forall a,b\in\Fx$,
    denn für einen Erzeuger $a_0\in\Fx$ und
    Elemente $a=a_0^i,b=a_0^j\in \Fx$ ist
    \begin{gather*}
      \{a,b\} = \{a_0^i,a_0^j\} = ij\{a_0,a_0\} 
      \overset{\ref{identitaetmal}}{=} \m ij\{a_0,a_0\}
      = \m \{a_0^i,a_0^j\} = \m\{a,b\} 
      \,.
    \end{gather*}
    Damit verschwinden bereits alle Elemente der Form 
    $\{a^2,b\}=2\{a,b\}=\{a,b^2\}$. Es bleibt demnach zu zeigen, dass
    auch $\{a,b\}$ mit Nichtquadraten $a,b\in\Fx$
    (d.h. $\not\exists a',b'\in\Fx\colon (a')^2=a,(b')^2=b$)
    verschwinden.
    Hierfür reicht es aus, wie wir gleich sehen werden,
    $\{a,b\}$ mit fixen Nichtquadraten
    $a,b\in\Fx$ zu betrachten, die wir mit $b=1-a$ wählen können, 
    so dass gilt $\{a,b\}=\{a,1-a\}\overset{\text{Def.}}{=}0$.
    
    Betrachte vorerst den Gruppenhomomorphismus
    \begin{gather*}
      \phi\colon\Fx \to \Fx
      \qquad x\mapsto x^2
    \end{gather*}
    Es ist offensichtlich $\Ker(\phi)=\{1,-1\}$ (einzige Lösungen von
    $x^2=1$), also ist nach dem Homomorphiesatz
    $\im(\phi)\cong \Fx/\{1,-1\}$. Damit ist die Anzahl der Quadrate
    in $\Fx$ gleich der Ordnung von $\Fx/\{1,-1\}$, die nach dem Satz
    von Lagrange
    $\frac{\Ord(\Fx)}{\Ord(\{1,-1\})}=\frac{1}{2}\Ord(\Fx)$
    beträgt, d.h. die Hälfte aller Elemente sind Nichtquadrate
    bzw. Quadrate. Beachte hierbei, dass $-1\neq 1$ wegen $\Char(\F)>2$.

    Damit können wir zeigen, dass das Produkt zweier Nichtquadrate ein
    Quadrat ist. Das folgt daraus, dass  die Menge 
    $\{x^2\mid x\in\Fx\}$ der Quadrate 
    als Bild eines surjektiven Homomorphismus eine Untergruppe ist und 
    \begin{gather*}
      \Ord(\Fx/\{x^2\mid x\in\Fx\})
      =\frac{\Ord(\Fx)}{\Ord(\{x^2\mid x\in\Fx\})}
      =\frac{\Ord(\Fx)}{\frac{1}{2}\Ord(\Fx)}=2
      \quad\text{(wieder mit Lagrange).}
    \end{gather*} 
    Also ist $\Fx/\{x^2\mid x\in\Fx\}\cong \Z/2\Z$ und das Produkt 
    zweier Nichtquadrate wird im Quotienten
    $\Fx/\{x^2\mid x\in\Fx\}$ Null, weshalb es ein Quadrat in $\Fx$
    sein muss.

    Damit kann auch gezeigt werden, dass fixe Nichtquadrate $a,b\in\Fx$
    ausreichen, denn es gilt für weitere Nichtquadrate $c,d\in\Fx$
    \begin{gather*}
      \{c,d\}=\{(ca^{-1})a,(db^{-1})b\}=\{g^2a,h^2b\}
      =\{a,b\}\p\{g^2,h^2\}\p\{g^2,b\}\p\{a,h^2\}
      =\{a,b\}
    \end{gather*}
    wobei $ca^{-1}=g^2,db^{-1}=h^2$ für bestimmte $g,h\in\Fx$
    wegen $a^{-1},b^{-1}$ Nichtquadrate.

    Um zu zeigen, dass Nichtquadrate $a,b$ mit der gewünschten
    Eigenschaft $b=a-1$ existieren, wende auf $\Fx\setminus\{1\}$ 
    folgende Bijektion an
    \begin{align*}
      \Fx\setminus\{1\}&\to \Fx\setminus\{1\}
      &x\mapsto 1-x
    \end{align*}
    Die Überzahl der Nichtquadrate um 1 liefert mit einfacher
    Kombinatorik, dass wenigstens ein Nichtquadrat $a$ auf ein Nichtquadrat
    $1-a=b$ abgebildet wird, was die Existenz
    von $a,b\in\Fx$ wie oben zeigt.

    Nachdem wir uns jetzt erarbeitet haben, dass es Nichtquadrate
    $a,b$ mit der gewünschten Eigenschaft gibt und wir jede
    Kombination aus anderen Nichtquadraten $\{c,d\}\in\K_2\F$ 
    auf $\{a,b\}$ zurückführen können,
    gilt nun für beliebige Nichtquadrate $c,d\in\Fx$:
    \begin{gather*}
      \{c,d\}=\{a,b\}=\{a,1-a\} \overset{\text{Def}}{=} 0
    \end{gather*}
    Damit sind alle Elemente $\{a,b\}\in\Fx$, sowohl mit $a,b$
    Nichtquadrate als auch mit einem oder beiden ein Quadrat, 
    in $\K_2(\F)$ bereits Null und $\K_2\F$
    bzw. damit alle $\K_n\F,n\geq 2,$ verschwinden für einen endlichen
    Körper $\F$.
  \end{proof}
\end{Lem}



% ------------

\section{Grundlagen der Bewertungstheorie}

Im Folgenden Abschnitt soll eine kurze Einführung in die
Bewertungstheorie gegeben werden, denn wir wollen danach einige schöne
Aussagen der $K$-Theorie speziell für und mithilfe von sogenannten
bewerteten Körper betrachten.

\subsection{Bewertungsringe und Bewertungen}
% ==== (Alternative Definitionen evtl. für Vortrag)
% \begin{Def}[Bewertungsabbildung]
%   Eine Bewertung auf einem Körper $\F$ ist eine Abbildung
%   \begin{gather*}
%     v\colon\F\to \Gamma\cup \{\infty\}
%   \end{gather*}
%   wobei $(\Gamma, +,\geq)$ eine total geordnete, abelsche Gruppe ist
%   und $v$ für $a,b\in\F$ folgende Eigenschaften erfüllt
%   \begin{enumerate}[(1)]
%   \item $v(a)=\infty \Longleftrightarrow a=0$
%   \item $v(ab)=v(a)+v(b)$~~(d.h. $v|_{\Fx}$ ist Gruppenhomomorphismus)
%   \item $v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}$
%   \end{enumerate}
%   Sie heißt diskret, falls $\Gamma=\Z$ und $v$ surjektiv
%   (d.h. insbesondere $v^{-1}(1)\neq \varnothing$).
% \end{Def}
% ====

\begin{Def}\label{defbewertungsring}
  Ein Integritätsring $R$ mit Quotientenkörper $\Quot(R)=\F$ heißt
  Bewertungsring (kurz BWR), falls für alle $x\in\F\colon x\in R$ oder
  $x^{-1}\in R$.
  Wir sagen auch $R$ ist \emph{Bewertungsring} zum Körper $\F$.
\end{Def}

\begin{Def}
  Sei $\F$ Körper, $(\Gamma,+,\leq)$ eine total geordnete, abelsche
  Gruppe und $\infty$ ihr Supremum.
  Eine Abbildung $v\colon\F\to\Gamma\cup\{\infty\}$
  heißt Bewertungsabbildung oder kurz \emph{Bewertung},
  falls sie für alle $a,b\in\F$ Folgendes erfüllt:
  \begin{enumerate}[(1)]
  \item $v(a)=\infty \Longleftrightarrow a=0$
  \item $v(ab)=v(a)+v(b)$~~(d.h. $v|_{\Fx}$ ist Gruppenhomomorphismus)
  \item $v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}$
  \end{enumerate}
  Die Untergruppe $v(\Fx)$ heißt \emph{Bewertungsgruppe}.
\end{Def}

\begin{Satz}\label{eigbewertungsring}
  Sei $R$ Bewertungsring zum Körper $\F$, dann gilt
  \begin{enumerate}[i)]
  \item Die Ideale von $R$ sind total geordnet bzgl. 
    \enquote{$\subset$} und $R$ ist lokal. 
    Für das Maximale Ideal $\frakm$ wird der Körper $R/\frakm$
    \emph{Restklassenkörper} von $R$ genannt.
  \item Es gibt eine Bewertung $v\colon\F\to\Gamma\cup\{\infty\}$
    auf $\F$ in eine total geordnete, abelsche Gruppe
    $(\Gamma,+,\leq)$ vereint mit ihrem Supremum $\infty$ und es gilt
    $R=\{x\in\F\mid v(x)\geq 0\}$.
    $R$ heißt dann auch Bewertungsring zur Bewertung $v$.
  \item 
    Ein entsprechendes $v$ ist über $v|_{R}$ bereits eindeutig 
    bestimmt.
  \end{enumerate}

  \begin{proof}
    \begin{enumerate}[i)]
    \item Wir zeigen, dass für zwei Ideale $I\neq J\subset R$ bereits
      eines das andere enthalten muss. Es gebe also ohne Einschränkung ein $x\in I$
      mit $x\not\in J$. Für ein $y\in J$ ist $\frac{x}{y}\not\in R$,
      da sonst $y\cdot \frac{x}{y}=x\in J$ gelten würde.
      Weil $R$ Bewertungsring ist, muss aber
      $(\frac{x}{y})^{-1}=\frac{y}{x}\in R$ gelten und $y=x\cdot
      \frac{y}{x}\in I$. Damit muss $J\subsetneq I$ und die
      Ideale total geordnet bzgl. \enquote{$\subset$} sein.
      Weil es nur ein maximales Element bzgl. einer totalen Ordnung
      gibt, kann $R$ nur ein maximales Ideal haben und ist somit
      lokal.
    \item Für die Konstruktion einer solchen Bewertung
      benötigen wir eine entsprechende total geordnete Gruppe $\Gamma$.
      Es ist
      \begin{gather*}
        \Gamma \coloneqq \left\{ xR \mid x\in \Fx \right\}
        \cong\left\{ x(R\setminus \{0\})\mid x\in\Fx \right\}
        \cong \Fx/(R\setminus \{0\})
      \end{gather*}
      mit der additiven Verknüpfung $(xR)+(yR)\coloneqq(xy)R$
      eine Gruppe. Die umgekehrte Ordnungsrelation
      auf $\Gamma$
      \begin{gather*}
        xR\leq yR \Longleftrightarrow xR \supset yR
      \end{gather*}
      ist wie in i) total.
      Denn betrachte beliebige $x,y\in\Fx$ mit $xR\neq yR$.
      Ohne Einschränkung $xR\setminus yR\neq \varnothing$ 
      und $xa\in xR\setminus yR, a \in R$. 
      Dann ist für beliebiges $b\in R$ wie oben 
      $\frac{xa}{yb}\not\in R$, denn sonst wäre 
      $y(b\cdot\frac{xa}{yb})=xa \in yR$.
      Nachdem $R$ Bewertungsring ist, muss also $\frac{yb}{xa}\in R$
      gelten, weshalb $yb=xa\cdot \frac{yb}{xa}\in xR$. $b$ war beliebig
      gewählt, also ist $yR\subsetneq xR$.
      Somit ist diese Ordnung total.
      Definieren wir nun $v$ über
      \begin{align*}
        \forall x\in \Fx\colon\;v(x)&\coloneqq xR\in\Gamma
        &v(0)&\coloneqq \infty
      \end{align*}
      ist $v$ eine Bewertung. 
      Außerdem gilt für beliebiges $x\in\F$ 
      \begin{gather*}
        v(x)\geq 0=v(1)
        \Leftrightarrow xR \subset R 
        \Leftrightarrow x\in R
      \end{gather*}
      weshalb $R=\{x\in\F\mid v(x)\geq 0\}$.
    \item Dass ein entsprechendes $v$ aus ii) bereits eindeutig
      durch $v|_{R}$ definiert ist, folgt daraus, dass für alle
      $x\in\F$ wegen $R$ Bewertungsring entweder
      $x\in R$ oder $x^{-1}\in R$ und damit
      \begin{gather*}
        v(x)+v(x^{-1}) = v(x\cdot x^{-1}) = v(1) = R  =
        \text{Nullelement in }\Gamma
      \end{gather*}
      weshalb für beliebiges $x\in\Fx$ bereits $v(x)$ oder
      $v(x^{-1})=-v(x)$ definiert ist.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{Satz}


Tatsächlich ist ein Integritätsring genau dann
ein Bewertungsring nach Definition \ref{defbewertungsring},
wenn man eine Bewertung $v$ auf $\F$ bzw. $R$ findet,
wie wir jetzt sehen werden.

\begin{Satz}\label{bewertungsringausbewertung}
  Sei $\F$ ein Körper mit einer Bewertung
  $v\colon\F\to\Gamma\cup\{\infty\}$ in eine total geordnete, abelsche Gruppe
  $\Gamma$. Dann gilt:
  \begin{enumerate}[i)]
  \item   Die Menge $R_v\coloneqq\left\{x\in \F\mid  v(x)\geq 0\right\}$ bildet
    einen Bewertungsring zu $\F$ (d.h. $\Quot(R_v)=\F$).
    $R_v$ wird Bewertungsring zu $v$ genannt.
  \item Die Einheitengruppe von $R_v$ ist 
    $\Rx_v\coloneqq\left\{x\in\F\mid v(x)=0\right\}$
  \item Das maximale Ideal von $R_v$ ist
    $\frakm_v\coloneqq\left\{x\in\F\mid v(x)>1\right\}$
  \end{enumerate}

  \begin{proof}
    \begin{enumerate}[i)]
    \item $R_v$ ist mit unter Multiplikation und Addition abgeschlossen, da für
      $x,y\in R_v$, d.h. $v(x),v(y)\geq 0$, 
      gilt $v(xy)=v(x)+v(y)\geq 0$ und 
      $v(x+y)\geq \min\{v(x),v(y)\}\geq 0$, also $xy, x+y\in R_v$.
      Es ist auch $1\in R_v$ wegen $v(1)=0\geq 0$.
      $R_v$ wird somit  zum Unterring von $\F$ und ist als solcher integer.
      Außerdem ist für ein $x\in \F$ entweder $v(x)<0$
      und damit $v(x^{-1})=-v(x)>0$ also $x^{-1}\in R_v$ oder es ist
      bereits $v(x)\geq 0$, d.h. $x\in R_v$.
      Wir erhalten, dass $R_v$ nach Definition \ref{defbewertungsring}
      ein Bewertungsring ist.
      Es gilt zum einen $\Quot(R)\subset\F$ und zum anderen ist
      \begin{gather*}
        \F=\{x\in\F\mid v(x)\geq 0\}\cup\{x\in\F\mid v(x)<0\}
        =R\cup\{x\in\F\mid -v(x)>0\}
      \end{gather*}
      was mit
      $v(xx^{-1})=v(1)=0=v(x)+v(x^{-1})$, also $-v(x)=v(x^{-1})$,
      wird zu 
      \begin{gather*}
        \F\mid v(x^{-1})>0\}=R\cup\{x^{-1}\mid x\in R\}\subset \Quot(R)
      \end{gather*}
      Also $\F=\Quot(R)$ und $R$ ist
      Bewertungsring zu $\F$.
    \item Für eine Einheit $x\in \Rx_v$ muss gelten, dass $v(x)\geq 0$
      wegen $x\in R_v$, und  $v(x^{-1})=-v(x)\geq 0$ wegen $x^{-1}\in R_v$. 
      $x$ erfüllt also $v(x)\leq 0 \geq v(x)$, woraus bereits $v(x)=0$
      folgt.
      Umgekehrt genauso, denn für $x\in R_v$ mit $v(x)=0$ ist auch
      $x^{-1}\in R_v$, da $v(x^{-1})=-v(x)=0\geq 0$.
    \item $\frakm_v$ ist nach denselben Argumenten wie in i)
      multiplikativ (bzgl. ganz $R_v$) und additiv (bzgl. sich selbst)
      abgeschlossen und liegt in $R_v$, ist demnach ein Ideal.
      Jedes echte Ideal darf keine Einheit enthalten, was nach ii) bedeutet,
      das alle Ideale nur Elemente in $\frakm_v$ enthalten
      können. $\frakm_v$ ist also maximal.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{Satz}

\begin{Kor}
  Ein Integritätsring $R$ ist genau dann ein Bewertungsring, 
  wenn er Bewertungsring zu einer Bewertung $v$ auf seinem
  Quotientenkörper ist.
  \begin{proof}
    \enquote{$\Rightarrow$} Eine entsprechende Abbildung
    existiert nach \ref{eigbewertungsring}.
    \enquote{$\Leftarrow$} \ref{bewertungsringausbewertung}.
  \end{proof}
\end{Kor}

Leider gibt es für allgemeine Bewertungsringe keine Isomorphie zwischen
den Bewertungen auf einem Körper $\F$ und den Bewertungsringen, die in ihm
enthalten sind. Denn verknüpft man eine Bewertung
$v\colon\F\to\Gamma\cup\{\infty\}$ mit einem ordnungsverträglichen
Isomorphismus $\Gamma\to\Gamma'$, ist das Ergebnis wieder eine
Bewertung mit demselben Bewertungsring, wie wir im Beispiel
sehen werden.

\begin{Bsp}
  Ein Beispiel eines Bewertungsringes ist $\Z_{(p)}$ mit der $p$-adischen
  Bewertung $v_p$ zu einem Primelement $p$, 
  wie sie in der Algebra eingeführt wurde.
  $v_p$ liefert zu einem 
  $a=u\cdot p^{n}\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\dotsm\in\Z $ 
  den Exponenten $n$ von $p$ in der zu $a$ gehörigen
  Primfaktorzerlegung.
  Diese Vorschrift lässt sich via
  \begin{align*}
    \frac{a}{b}&=p^n\frac{u_1}{u_2}\in\Z_{(p)}, u_1,u_2\in\Z_{(p)}^\times
                 &v\left(\frac{a}{b}\right)&\coloneqq n
    \end{align*}
    auf $\Z_{(p)}$ definieren, was $\Z_{(p)}$ zu einem Bewertungsring
    macht.
    Es ist aber genauso $v'\coloneqq 3\cdot v$ mit 
    $v'(\frac{a}{b})=p^n\frac{u_1}{u_2}\in\Z_{(p)}=3n$
    eine Bewertung, denn $x\mapsto 3x$ ist ein mit der
    Ordnung verträglicher Gruppenisomorphismus zwischen $\Z$ und $3\Z$.
\end{Bsp}

Um eine Eindeutigkeit der Bewertung, die einen
Bewertungsring erzeugt, zu erhalten, kann man entweder die
Isomorphieklassen der Bewertungen betrachten, oder eine Form von
Normierung vornehmen, die dann nur die Identität als Isomorphismus
zulässt. Letzteres liefert die sog. diskreten Bewertungen, von denen
der nächste Abschnitt handelt.

\subsection{Diskrete Bewertungen}
Mithilfe der $K$-Theorie können einige schöne Aussagen zu einer
speziellen Form bewerteter Körper getroffen werden, den diskret
bewerteten Körpern. Denn diese haben die wichtige Eigenschaft, 
dass Elemente solcher Körper sich als Produkte aus einem fix gewählten
Primelement und Einheiten ihres Bewertungsrings darstellen lassen.

\begin{Def}
  Eine Bewertung $v\colon\F\to\Gamma\cup\{\infty\}$
  auf einem Körper $\F$ heißt diskret, falls $\Gamma=\Z$ gewählt
  werden kann und $v$ surjektiv ist (insbes. $v^{-1}(1)\neq \varnothing$).
  Ein Bewertungsring heißt diskret, falls er Bewertungsring zu einer
  diskrete Bewertung ist.
\end{Def}

\begin{Satz}\label{bewertungsringhir}
  Für einen Bewertungsring $R$ sind äquivalent
  \begin{enumerate}[i)]
  \item $R$ ist diskret
  \item $R$ ist Hauptidealring
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    Sei $R$ ein Bewertungsring zum Körper $\F=\Quot(R)$.
    \begin{itemize}
    \item[i)$\Rightarrow$ii)] Sei $R$ diskret mit diskreter Bewertung $v$.
      Jetzt nutzen wir die Surjektivität (auch 
      Normiertheit genannt) von $v$ und wählen ein Element $\pi\in R$
      mit $v(\pi)=1$. Da $\Gamma=\Z$ ist und $\Z$ von 1 erzeugt wird,
      gilt für ein beliebiges Element $x\in R$, dass 
      $v(x)=k=k\cdot 1=1+1+\dotsb$. Damit ist 
      $v(\frac{x}{\pi^k})=v(x)-v(\pi^k)= k-k\cdot 1=0$, d.h. $x$ und 
      $\pi^k$ unterscheiden sich bloß um eine Einheit $u\in R$, s.d.
      $x=\pi^k \cdot u$.
      Nachdem alle Ideale nun allein Elemente der Form $\pi^k\cdot u$
      mit Einheit $u\in R$ enthalten, ist jedes Ideal $R\neq I\neq 0$ 
      erzeugt vom Element $\pi^k$ mit 
      $k=\min\{k\in\Z_{>0}\mid \exists x=\pi^k\cdot u\in I, u\in \Rx\}$
      der kleinste Exponent, der unter Elementen in $I$ auftritt.
      Es folgt, dass alle Ideale von einem Element erzeugt sind und
      $R$ ist Hauptidealring.
    \item[ii)$\Rightarrow$i)] Im Hauptidealring $R$ schreibe das 
      Maximalideal $\frakm=(\pi)$. Dann kann eine Bewertung
      konstruiert werden, die zu $x\in R$ den maximalen Exponenten $k$ liefert, 
      für den $a\in (\pi^k)$ gilt.
      Für die Wohldefiniertheit benötigen wir, dass $R$ mit der
      Umgebungsbasis $(\pi^k),k\in\N_1,$ der Null hausdorffsch ist.
      Betrachte also das Ideal
      $I\coloneqq\bigcap_{n=1}^\infty(\pi^n)$,
      welches im Hauptidealring $R$ geschrieben werden kann als $(y)$ für
      ein $y\in R$.
      Nachdem $y\in(\pi)$ gilt, gibt es ein $x\in R$ mit $y=\pi x$.
      Als Erzeuger von $I$ muss $y$ jedoch in $(\pi^n)$ liegen für
      alle $n\in\N_1$ und demnach $x\in(\pi^{n-1})$ für alle
      $n\in\N_1$, also $x\in I$ und wegen $y$ Erzeuger von $I$ dann
      $x=yz$ für ein $z\in R$.
      Zusammengesetzt $y=\pi x=\pi yz$ und $y-y\pi z=0\Rightarrow
      y(1-\pi z)=0$.
      Nachdem $\pi$ keine Einheit ist, kann $\pi z$ nicht 1 werden,
      also muss im Integritätsring $R$ bereits $y=0$ sein.
      Es ist demnach $I=\bigcap_{n=1}^\infty(\pi^n)=(y)=(0)=0$, weshalb
      $R$ mit der Umgebungsbasis $(\pi^k),k\in\N_1$ der $0$ hausdorffsch ist.
      Das bedeutet, dass sich für jedes Element $a\in R\setminus\{0\}$
      ein $k\in\N_0$ findet, so dass $a$ noch in $(\pi^k)$ aber nicht
      mehr in der Umgebung $(\pi^{k+1})$ der Null enthalten ist.
      Insbesondere wissen wir, dass es für jedes $a\in R$ einen
      (selben) Exponenten $k\in\N$ gibt mit $a=\pi^ku$ für eine
      Einheit $u\in R$ (alle Primelemente sind assoziiert zu $\pi$,
      denn in Hauptidealringen sind alle Primideale ungleich 0
      maximal, also ist das  Maxialideal auch gleichzeitig das
      einzige Primideal, weshalb alle Primelemente in $R$ genau
      $(\pi)$ erzeugen und somit assoziiert sind zu $\pi$).
      Wir erhalten die wohldefinierte Abbildung
      \begin{gather*}
        v\colon R\setminus\{0\}\to \Z_{\geq 0}\quad 
        a=u\pi^k\mapsto \max\left\{n\in\N\mid a\in(\pi^n)\right\}=k
      \end{gather*}
      Es ist für beliebige Elemente $a, b\in R\setminus \{0\}$
      mit der Darstellung $a=u_a\pi^i,b=u_b\pi^j$ von oben:
      \begin{gather*}
        v(ab)=v(u_a\pi^iu_b\pi^j)=v(u_au_b\pi^{i+j})
        = i+j =v(a)+v(b)
      \end{gather*}
      und wegen (ohne Einschränkung $i\leq j$)
      $a+b=u_a\pi^i+u_b\pi^j=(u_a+u_b\pi^{j-i})\pi^i$
      ist $v(ab)\geq \min(v(a),v(b))$.
      Nachdem $\pi^k\in v^{-1}(k)$ für beliebiges $k\in\Z$, ist
      $v$ surjektiv auf $\Z_{\geq 0}$.
      Insgesamt setzt sich $v$ zu einer diskreten Bewertung
      $\F\to\Z\cup\{\infty\}$ fort mit Bewertungsring
      \begin{gather*}
        R\subset \{x\in\F\mid v(x)\geq 0\}=\{x\in\F\mid \exists
        k\geq 0: x\in(\pi^k)\}\subset R
      \end{gather*}
      Also ist $R$ Bewertungsring zu einer diskreten Bewertung $v$
      und damit diskret.
  \end{itemize}
  \end{proof}
\end{Satz}


\begin{Bem}\label{darstellungdbk}
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Ein diskreter Bewertungsring ist nach \ref{bewertungsringhir}
    lokaler Hauptidealring mit seinem Maximalideal als einzigem 
    Primideal (in Hauptidealringen sind alle Primideale ungleich 0 maximal),
    welches von der Form $\frakm_v=(\pi)$ für ein Primelement $\pi$ ist.
    Die Primelemente in $R$ sind folglich genau die $p\in R$ mit $v(p)=1$, 
    welche genau die mit $\pi$ assoziierten Elemente sind.
    Wie im Beweis von \ref{bewertungsringhir} kann jedes Element $0\neq x\in R$
    in der Form $x=\pi^k\cdot u$, $k\in\N_0$, $u\in\Rx$ 
    geschrieben werden.
    Erweitert man $v$ auf den Quotientenkörper, erhält man
    \begin{gather*}
      \forall x\in \Fx\colon\;
      % \exists k\in\Z, u\in \Rx\colon\; 
      x=\pi^k\cdot u
      \qquad k\in\Z, u\in \Rx
    \end{gather*}
  \item Die Bewertung $v\colon R\to\Z\cup\{\infty\}$ zu einem diskreten
    Bewertungsring ist aufgrund der Normierung eindeutig.
    Es gibt also zu einem Körper $\F$ einen Isomorphismus
    \begin{gather*}
      \{v\colon \F\to\Z\cup\{\infty\} 
      \mid \text{$v$ diskrete Bewertung}\}
      \cong 
      \{R\subset \F\mid \text{$R$ diskreter BWR auf $\F$}\}
    \end{gather*}
  \end{enumerate}
\end{Bem}

\begin{Bsp}\label{p-adischebewertung}
  Für einen Integritätsring $R$ ist zu einem fix gewählten 
  Primelement $\pi\in R$ die Lokalisierung $R_{(\pi)}$ ein 
  Bewertungsring, denn jedes Element
  $a\in R$ lässt sich dann darstellen als $a=\pi^i\cdot \frac{p}{q}\in
  R_{(\pi)},p,q\not\in(\pi),$ und die Abbildung
  \begin{gather*}
    v\left(\pi^i\cdot \frac{p}{q}\right)\coloneqq i
  \end{gather*}
  definiert eine Bewertung auf $R_{(\pi)}$.
  Der Restklassenkörper ist 
  \begin{gather*}
    R_{(\pi)}/\pi R_{(\pi)}
    \overset{\text{KommAlg}}{=}(R/(\pi))_{(\ov{\pi})}
    =(R/(\pi))
  \end{gather*}
\end{Bsp}


\section{Höhere Zahme Symbole und Spezialisierungsabbildungen}
Im Folgenden sei $\F$ ein diskret bewerteter Körper mit
Bewertung $v\colon\F\to\Z\cup\{\infty\}$ und
$\overline{\F}$ der Restklassenkörper $R_v/\frakm_v$ 
des zugehörigen Bewertungsrings $R_v=\left\{x\in\F\mid v(x)\geq0\right\}$
über dessen Maximalideal $\frakm_v=\left\{x\in\F\mid v(x)>0\right\}=(\pi)$.

Wir können die Erkenntnis aus \ref{darstellungdbk},
dass für ein fix gewähltes Primelement $\pi\in R_v\subset \F$
jedes Element $x\in\Fx$ dargestellt werden kann als 
$x=\pi^k\cdot u$ mit einem $k\in\Z, u\in \Rx_v$,
in folgender Weise auf $\KnF$ übertragen:

\begin{Lem}\label{darstellungknf}
  $\KnF$ ist additiv erzeugt von Elementen der Form 
  $\{\pi, u_{2},\dotsc,u_n\}$
  und $\{u_{1},\dotsc,u_n\}\in\KnF$ mit $\pi\in R_v$ prim und
  $u_i\in \Rx_v$.
  $\pi$ kann fix gewählt werden.
  \begin{proof}
    Wähle ein Primelement $\pi\in R_v\setminus\{0\}$
    und sei $\xi\coloneqq\{a_1,\dotsc, a_n\}\in\KnF$ mit
    $a_1,\dotsc,a_n\in\Fx$. Dann gibt es Darstellungen
    $a_i=\pi^{k_i}\cdot u_i$ mit $k_i\in\Z,u_i\in \Rx_v$ wie
    oben. $\xi$ lässt sich schrittweise additiv schreiben:
    \begin{align*}
      \xi=\{a_1,\dotsc,a_n\}
      &=\{\pi^{k_1}u_1, a_2, \dotsc, a_n\}\\
      &=\{\pi^{k_1}, a_2, \dotsc, a_n\}
        \p\{u_1, a_2, \dotsc, a_n\}\\
      &=k_1\cdot \{\pi,a_2, \dotsc, a_n\}
        \p\{u_1, a_2, \dotsc, a_n\}
    \end{align*}
    Induktiv wird $\xi$ zu einer Summe aus Produkten der Länge $n$ von
    $\{\pi\}$ und $\{u_i\}$.
    Wegen \ref{identitaetmal} können in jedem Summenglied durch
    Vorzeichenwechsel die $\{\pi\}$ im Produkt nach vorne geschoben werden
    und $\xi$ wird zu einer Summe aus Elementen der Form
    $\pm\{\pi\}^k\otimes\{v_{2},\dotsc,v_n\}\in\KnF$ 
    ($k\in\Z$, $v_i=u_j$ für ein $1\leq j\leq n$).
    Für $k>1$ wandelt sich der Ausdruck $\{\pi\}^k$ durch
    sukzessives Anwenden von \ref{identitaetquadrat} um in
    \begin{gather*}
      \{\pi\}^k
      \overset{\ref{identitaetquadrat}}{=} \{\pi\}^{k-1}\{-1\}
      \overset{\ref{identitaetquadrat}}{=} \{\pi\}^{k-2}\{-1\}^2
      =\dotsb=\{\pi\}\otimes\{-1\}^{k-1} \in\K_{k}(\F)
    \end{gather*}
    Unsere Summenglieder haben also alle entweder die Form 
    $\{u_1,\dotsc, u_n\}$ oder
    $\{\pi\}\otimes\{-1\}^{k-1}\otimes\{v_{k+1},\dotsc,v_n\}\in\KnF$
    ($k\geq 1$ und wie oben $v_i=u_j$ für ein $1\leq j\leq n$).
    Nachdem die $v_i$ und $(-1)$ Einheiten in $R_v$ sind,
    ist die Behauptung gezeigt.
    Dass $\pi$ fix gewählt werden kann, folgt aus der Assoziiertheit
    aller Primelemente in $R_v$.
  \end{proof}
\end{Lem}

\begin{Satz}\label{homomorphismen}
  Zu einem diskret bewerteten Körper $(\F,v)$ mit Bewertungsring $R_v$
  gibt es für alle $n\in\N_1$ einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus 
  $\partial_v\colon \KnF\to \K_{n-1}(\bF)$,
  der für alle Primelemente $\pi\in R_v$ und 
  Einheiten $u_2,\dotsc, u_n\in \Rx_v$ erfüllt
  \begin{gather}\label{relationzahmessymbol}
    \partial_v(\{\pi,u_2,\dotsc,u_n\})=\{\ov u_2, \dotsc, \ov u_n\}
  \end{gather}
  Weiterhin gibt es für jedes fix gewählte Primelement $\pi\in R_v$
  einen eindeutigen Ringhomomorphismus $\psi_\pi\colon\KF\to\KbF$, 
  der für alle Einheiten $u\in \Rx_v$, $k\in\Z$ erfüllt
  \begin{gather}\label{relationspezialisierung}
    \psi_\pi(\{\pi^ku\})=\{\ov u\}
  \end{gather}
  Die $\partial_v$ heißen (Höhere) Zahme Symbole 
  oder Restklassenabbildungen und $\psi_\pi$
  wird Spezialisierungsabbildung (zum Primelement $\pi$ bzgl. der
  diskreten Bewertung $v$) genannt.
\end{Satz}


\begin{Bem}\label{bemhomomorphismen}
  Die Forderungen \ref{relationzahmessymbol} und
  \ref{relationspezialisierung} liefern bereits einige Eigenschaften:
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Das Zahme Symbol ist surjektiv. 
    Denn für einen lokalen Ring
    $R_v$ – wie der Bewertungsring $(R_v,\frakm_v)$ in unserem Fall –
    gilt $R_v\setminus\frakm_v=\Rx_v$, d.h. 
    \begin{gather*}
      \Rx_v=R_v\setminus\frakm_v
      =\pr_{R_v/\frakm_v}^{-1}\left((R_v/\frakm_v)\setminus \{\ov0\}\right)
      =\pr_{R_v/\frakm_v}^{-1}\left( (R_v/\frakm_v)^\times\right)
      \,.
    \end{gather*}
    Damit finden sich für alle 
    $v_1,\dotsc,v_n\in \bFx = (R_v/\frakm_v)^\times$
    Lifts $u_1,\dotsc, u_n\in\Rx_v    
    =\pr_{R_v/\frakm_v}^{-1}\left( (R_v/\frakm_v)^\times \right)$,
    so dass $\ov u_i=v_i$, 
    und für beliebiges Primelement $\pi\in R_v$ gilt
    $\partial_v(\{\pi,u_1,\dotsc, u_n\})=\{v_1,\dotsc, v_n\}$.
    Gleiches gilt entsprechend für die Spezialisierungsabbildung.
  \item   Mit der Relation $u_1=\frac{\pi u_1}{\pi}$
    für eine Einheit $u_1\in \Rx_v$
    gilt für bel. $u_1,\dotsc, u_n\in \Rx_v, n\in\N$
    \begin{align*}
      \partial_v(\{u_1,\dotsc,u_n\})
      &= \partial_v(\{\pi u_1\cdot \pi^{-1},u_2,\dotsc,u_n\})\\
      &= \partial_v(\{\pi u_1,u_2,\dotsc,u_n\})\m 
        \partial_v(\{\pi,u_2,\dotsc,u_n\})\\
      &\overset{\mathllap{\text{Def. }\partial_v}}{
        \underset{\mathllap{\pi,\pi u\text{ prim}}}{=}}
        \{\ov u_2,\dotsc, \ov u_n\} \m \{\ov u_2,\dotsc, \ov u_n\}
        = 0
    \end{align*}
  \item Für $n=1$ erfüllt $\partial_v=v|_{\Fx}\colon \Fx\to \Z$ 
    die Bedingung \ref{relationzahmessymbol}.
    Denn hier ist sie äquivalent dazu, dass ein Primelement 
    $\pi\in R_v\subset \Fx$ auf die (einzige) Einheit $1\in\Z=\K_0(\bF)$ 
    geschickt wird und eine Einheit $u\in R_v\subset \Fx$ auf $0\in\Z$,
    was für eine diskrete Bewertung der Fall ist, wie wir gesehen haben.
  \end{enumerate}
\end{Bem}

\begin{proof}[Eindeutigkeit zu \ref{homomorphismen}]
  Nachdem $\partial_v$ ein Homomorphismus ist, genügt es, $\partial_v$ auf
  den Erzeugern von $\KnF$ zu betrachten, also nach \ref{darstellungknf} den
  Elementen der Form $\{\pi\}\otimes\{u_{2},\dotsc,u_{n}\}$ für
  Einheiten $u\in \Rx_v$ und $\pi$ prim.
  Deren Bilder sind durch die erzeugende Relation 
  \ref{relationzahmessymbol} bereits eindeutig
  bestimmt, was die Eindeutigkeit auf ganz $\KnF$ liefert.
  
  Genauso ist $\psi$ eindeutig, nachdem jedes Element $a\in\Fx$ für
  fixes Primelement $\pi\in R_v$ eindeutig geschrieben werden kann als
  $a=\pi^k u, u\in \Rx_v$.
\end{proof}

\begin{proof}[Existenz zu \ref{homomorphismen}]
  Wir werden $\partial_v$ und $\psi_\pi$ explizit konstruieren.
  Von der Idee her soll 
  – wieder zu unserem fix gewählten Primelement $\pi\in R_v$ – 
  ein Element $\{\pi^ku\}\in\KoF, u\in \Rx_v,$
  in seinen \enquote{$\pi$-Anteil} und seinen 
  \enquote{Einheitsanteil} zerlegt werden. 
  Dann können wir den \enquote{Einheitsanteil} als Element aus 
  $\K_1(\bF)\cong \bFx$ schreiben. Durch Erweiterung auf $\KnF$ und 
  geschickte Umformung liefert dies dann die
  gesuchten Homomorphismen, wie wir gleich sehen werden.
  
  Um unseren \enquote{$\pi$-Anteil} sauber darstellen zu können,
  adjungieren wir an $\KbF$ ein Element $\xi$, das wir über
  folgende Bedingungen definieren:
  \begin{enumerate}[(1)]
  \item $\xi\cdot \alpha=(-1)\alpha\xi$ für alle $\alpha\in\KbF$
  \item $\xi^2=\xi\{\ov{-1}\}$
  \end{enumerate}
  Ein solches Element kann immer konstruiert werden, indem man eine
  beliebige Ringerweiterung $\KbF[x]$ vom Grad 2 vornimmt und den
  Quotienten durch das Ideal $(x^2-x\{\ov{-1}\})$ bildet. Dadurch
  erhält man wieder eine Körpererweiterung $\KbF[\xi]$ vom Grad 2,
  wobei $\xi$ die Projektion von $x$ ist und beide Bedingungen von
  oben erfüllt.
  
  Insgesamt erhalten wir einen erweiterten Ring $\KbF[\xi]$, der als
  $\KbF$-Modul die Basis $\{ \xi, 1\in\Z\}$ hat, also frei ist über
  $\KbF$ und folgende Form hat
  \begin{align*}
    \KbF[\xi]&=\bigoplus_{n\in\N}L_n
    &&\text{mit } 
       L_n\coloneqq (\KnbF\oplus\xi\K_{n-1}\bF), n>0,
       \text{ und }L_0\coloneqq\Z
  \end{align*}
  $\xi$ entspricht anschaulich einer Erweiterung um das bei
  der Quotientenbildung verloren gegangene $\pi$.

  Als nächstes zeigen wir, dass die Zuweisung ($u\in \Rx_v$)
  \begin{gather*}
    \Psi\colon\{\pi^ku\}\mapsto i\xi \p \{\ov u\}
    =\begin{pmatrix} \{\ov u\}\\i \end{pmatrix}\in L_1\cong\K_1(\bF)[\xi]
    \qquad \Psi(1\in\Z)=1\in\Z=\begin{pmatrix}1\in\Z\\0\end{pmatrix}
  \end{gather*}
  sich eindeutig zu einem Ringhomomorphismus
  $\Psi\colon\KF\to\KbF[\xi]$ fortsetzen lässt.
  $\Psi$ ist die gewünschte Zerlegung mit $\Psi(\{\pi\})=\xi$ 
  und $\Psi(\{u\})=\{\ov u\}\in\K_1\bF$ für
  eine Einheit $u\in \Rx_v$.

  Setze als ersten Schritt die Fortsetzung von $\Psi$ auf ganz $\KF$
  ($\{a_1,\dotsc,a_n\}\in\KF$)
  \begin{gather*}
    \Psi(\{a_1,\dotsc,a_n\})
    \coloneqq \Psi(\{a_1\})\otimes\dotsb\otimes\Psi(\{a_n\})
  \end{gather*}

  Die Wohldefiniertheit ist klar, da sich wie in \ref{darstellungdbk}
  jedes Element aus $\Fx$ als $\pi^k u$ darstellen lässt und
  $\KF$ das Erzeugnis aus Produkten und Summen von $\{x\}, x\in\Fx$
  ist. Somit ist $\Psi$ für jedes Element $\{x_1,\dotsc,x_n\}\in\KF$ 
  eindeutig bestimmt.

  Die Homomorphismuseigenschaft
  $\Psi(\{x\}\otimes\{y\})=\Psi(\{x\})\otimes\Psi(\{y\})$
  ist aus der Definition bereits gegeben.
  Betrachte Elemente $x,y\in\Fx, x=\pi^iu, y=\pi^jv$ mit Einheiten
  $u,v\in\Rx_v$. 
  Dann gilt $x\cdot y=\pi^iu\cdot\pi^jv=\pi^{i+j}(uv)$  und
  \begin{align*}
    \Psi(\{x\}\p\{y\})
    &=\Psi(\{x\cdot y\})=\Psi(\{\pi^{i+j}(uv)\})
      =\begin{pmatrix}\{\ov{uv}\}\\(i+j)\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}\{\ov u \}\p \{\ov v\}\\(i+j)\end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}\{\ov u\}\\i\end{pmatrix}
    \p\begin{pmatrix}\{\ov v\}\\j\end{pmatrix}
    =\Psi(\{\pi^iu\})\p \Psi(\{\pi^jv\})\\
    &= \Psi(\{x\})\p\Psi(\{y\})
  \end{align*}
  Mit $\Psi(1)=1$ ist $\Psi$ also Ringhomomorphismus $\KF\to\KbF[\xi]$.

  Diesen wollen wir nun durch Umformung ein wenig umformulieren
  ($a_i=\pi^{k_i}u_i\in\Fx$):
  \begin{gather*}
    \Psi(\{a_1,\dotsc,a_n\})
    =\bigotimes_{1\leq i\leq n}(k_i\xi\p\{\ov u_i\})
    \overset{\text{Ausmult.}}{=}
    \{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}\p \chi
  \end{gather*}
  wobei $\chi\in\KnbF[\xi]$ eine Summe aus Produkten der Länge $n$ 
  von $\xi$ und den $\{\ov u_i\}$ ist.
  Mithilfe der Forderungen an $\xi$  lassen sich die Summenglieder 
  wie in \ref{darstellungknf} umformen, so dass sie alle die Form
  $\xi\otimes\{v_2,\dotsc, v_n\}\in\KbF$ mit $v_i\in\bFx$
  haben,
  und man kann schreiben
  \begin{gather*}
    \Psi(\{\pi^{k_1}u_1,\dotsc,\pi^{k_n}u_n\}) 
    = \{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}\p \xi\chi'
  \end{gather*}
  wobei $\chi'\in\KnbF$ die Summe der Faktoren $\{v_2,\dotsc,v_n\}$
  von oben ist.
  Wenden wir die kanonischen Projektionen auf den Vektorraum 
  $\KbF[\xi]$ an, erhalten wir $\Psi$ in den Komponenten
  $\psi_\pi(\{a_1,\dotsc,a_n\})\coloneqq \{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}$
  und $\partial_v(\{a_1,\dotsc,a_n\})\coloneqq \chi'\in\K_{n-1}(\bF)$ wie oben:
  \begin{gather*}
    \Psi(\alpha) = \psi_\pi(\alpha)\p \xi\partial_v(\alpha)
    \quad \forall\alpha\in\KnF
  \end{gather*}
  woraus schon folgt, 
  dass $\partial_v\colon\KnF\to\K_{n-1}(\bF)$ Gruppenhomomorphismus 
  und $\psi_\pi\colon\KF\to\KbF$ sogar Ringhomomorphismus ist.
  Dieses $\partial_v$ erfüllt tatsächlich die Anforderungen aus 
  \ref{homomorphismen}, denn für $\alpha=\{\pi,u_1,\dotsc, u_n\}$ ist
  \begin{align*}
    \Psi(\alpha)
    &=\Psi(\pi)\otimes\Psi(u_1)\otimes\dotsb\otimes\Psi(u_n)\\
    &=\xi\otimes\{\ov u_1\}\otimes\dotsb\{\ov u_n\}\\
    &=\xi\otimes\{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}\\
    &=(0\otimes\{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\})
      \p\xi\{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}\\
    &=\psi_\pi(\alpha) \p \xi\partial_v(\alpha)
  \end{align*}
  Daraus folgt bereits
  $\partial_v(\{\pi,u_1,\dotsc,u_n\})=\{\ov u_1,\dotsc,\ov u_n\}$.  
  Außerdem $\psi_\pi$ erfüllt \ref{relationspezialisierung}, denn 
  die Definition von oben liefert für $n=1$ und fix gewähltes
  Primelement $\pi$ zu $a=\pi^ku\in\Fx, u\in\Rx_v$ genau
  $\psi_\pi(\{a\})=\psi_\pi(\{\pi^ku\})\coloneqq\{\ov u\}$.
  Damit ist die Existenz der Zahmen Symbole und die der
  Spezialisierungsabbildung gezeigt.
\end{proof}


% ------------

\section{Die spaltende exakte Milnor-Folge}

Mit den Erkenntnissen über $\KnF$ eines diskret bewerteten 
Körpers $(\F,v)$ werden wir jetzt den Funktionenkörper $\KnFt$ 
in einer Variable eines beliebigen Körpers $\F$ untersuchen. 
Wie wir in Beispiel \ref{p-adischebewertung} gesehen haben, 
kann für ein fixes Primelement $\pi$ auf der Lokalisierung 
$\F[t]_{(\pi)}$ des euklidischen Rings $\F[t]$ eine $\pi$-adische
Bewertung $v_\pi$ definiert werden. $\F[t]_{(\pi)}$ ist damit ein
Bewertungsring zum Funktionenkörper $\Ft $.
Der Restklassenkörper $\F[t]_{(\pi)}/(\pi)\F[t]_{(\pi)}$ ist wegen
Verträglichkeit von Lokalisierung und Quotientenbildung isomorph zu
$\F[t]/(\pi)$.
Beachte, dass es nach \ref{homomorphismen} eine Surjektion
\begin{gather*}
  \partial_{v_\pi}\colon \KnFt\twoheadrightarrow \K_{n-1}(\Ftpi)
\end{gather*}
gibt.

\begin{Def}\label{spaltendeexaktesequenz}
  Eine exakte Sequenz von Moduln oder abelschen Gruppen
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0 \arrow{r} & M'\arrow{r}{f} &M \arrow{r}{g} &M''\ar{r}&0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  heißt spaltend, falls es einen Isomorphismus $M'\oplus M''\cong M$
  gibt, so dass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0\ar[r]&M'\ar[r]\ar[d,equal]&M\ar[r]\disoarrow &M''\ar[r]\ar[d,equal]&0\\
      0\ar[r]&M'\ar[r]&M'\oplus M''\ar[r]&M''\ar[r]&0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  d.h. so dass die exakten Sequenzen isomorph sind.
  Nach dem Splitting-Lemma ist diese Bedingung 
  erfüllt, falls $g$ einen Schnitt (auch Koretraktion) hat, 
  d.h. falls $g$ einen rechtsinversen Homomorphismus
  $g'$ besitzt, so dass $g\circ g'=id_{M''}$.
  Genauso ist sie erfüllt, falls umgekehrt $f$ eine Retraktion hat,
  d.h. falls $f$ einen linksinversen Homomorphismus 
  $f'$ besitzt, so dass $f\circ f'=id_{M}$
  \cite[siehe auch][Kap. 1.5]{bosch}
\end{Def}

Mithilfe des Zahmen Symbols und der Spezialisierungsabbildung kann
eine Zerlegung von $\KnF(t)$ bestimmt werden.

\begin{Satz}[Spaltende exakte Milnor-Folge]\label{milnorfolge}
  Sei $P\coloneqq \{\pi\in \F[t]\mid \pi\text{ prim, normiert }\}$.
  Dann gibt es für alle $n\in\N_1$ eine spaltende exakte Sequenz
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0 \ar[r] & \KnF \ar[r] & \K_n(\Ft ) \ar[r] 
      & \displaystyle\bigoplus_{\pi\in P}K_{n-1}(\F[t]/(\pi)) \ar[r] & 0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  Das bedeutet
  $\K_n(\Ft )\cong\KnF\oplus\bigoplus_{\pi\in P}K_{n-1}(\F[t]/(\pi))$.
\end{Satz}

\begin{Bem}
  Für den Fall $n=1$ liefert \ref{milnorfolge} die Isomorphie
  \begin{gather*}
    \Ft^\times
    \cong \Fx
    \oplus\bigoplus_{\pi\in P}\Z
  \end{gather*}
  Dies entspricht der Zerlegung eines
  Polynoms in seine irreduziblen Faktoren.
\end{Bem}
\begin{proof}[Beweis zu \ref{milnorfolge}]
  Wir wollen die Gültigkeit für $n\in\N_1$ zeigen.
  Essentiell für unser Vorgehen sind die Untergruppen
  \begin{gather*}
    L_d\coloneqq \left(
      \{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt 
      \mid f_i\in\F[t],\deg(f_i)\leq d
    \right)
    \subset\KnFt
  \end{gather*}
  also die Erzeugnisse aller $\{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt$ mit
  $\deg(f_i)\leq d$. 
  Diese Definition ergibt, dass für ein 
  Element $\{f_1,\dotsc,f_n\}\in L_d$ die $f_i$ nur von 
  irreduziblen (d.h. primen) Polynomen mit
  Grad kleiner oder gleich $d$ erzeugt sind.
  Die $L_d$ bilden offensichtlich eine Filtrierung
  \begin{gather*}
    L_0\subset L_1\subset L_2\subset \dotsb
  \end{gather*}
  Mit der kanonischen Einbettung von $L_0$ in $L_d$ und der Projektion
  von $L_d$ auf $L_d/L_0$ erhalten wir für
  beliebige $d\in\N$ die exakte Sequenz
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0\ar[r] &L_0\ar[r] &L_d\ar[r] &L_d/L_0 \ar[r] &0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  Wir werden nacheinander in den folgenden Lemmata
  \ref{lem1}, \ref{lem2} und \ref{lem3} zeigen, dass gilt
  \begin{align}
    L_0&\cong \KnF\hookrightarrow \KnFt  \label{1}\\
    \intertext{
    und mit $P_d\coloneqq \left\{
    \pi\in \F[t]\mid \pi\text{ prim, normiert, }\deg(\pi)=d
    \right\}$
    }
    L_d/L_{d-1}&\cong \bigoplus_{\pi\in P_d} \K_{n-1}(\Ftpi)\label{2}
  \end{align}
  sowie zuletzt die Gruppenisomorphie
  \begin{gather} \label{3}
    L_d/L_0\cong \bigoplus_{k=1}^d L_k/L_{k-1} \,,
  \end{gather}
  Diese drei Aussagen liefern dann insgesamt die Isomorphie
  \begin{align*}
    L_d/L_0
    \cong \bigoplus_{k=1}^d L_k/L_{k-1}
    \cong \bigoplus_{k=1}^d\bigoplus_{\pi\in P_k} \K_{n-1}(\Ftpi)
    = \bigoplus_{\substack{k\leq d\\\pi\in P_k}}
    \K_{n-1}(\Ftpi)
  \end{align*}
  und zusammengesetzt für jedes $d\in\N_1$ die exakte Sequenz
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0\ar[r] &L_0\ar[r]\disoarrow &L_d\ar[r] &L_d/L_0 \ar[r]\disoarrow &0\\
      0\ar[r] &\KnF \ar[r] &L_d\ar[r]\ar[u,equal] 
      &{\displaystyle
        \bigoplus_{\substack{k\leq d\\\pi\in P_k}}
        \K_{n-1}(\Ftpi)
      } \ar[r]
      &0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  Mit den kanonischen Inklusionen $\iota_{ik}\colon L_i\to L_k$ 
  bzw. $\ov{\iota}_{ik}\colon L_i/L_0\to L_k/L_0$ ($k\geq i$) werden
  sowohl $(L_d)_{d\in\N_1}$ als auch $(L_d/L_0)_{d\in\N_1}$
  zu direkten Systemen von abelschen Gruppen bzw. nach
  \ref{gruppentensorprodukt} von $\Z$-Moduln.
  Der direkte Limes erhält auf Moduln exakte Sequenzen 
  \cite[siehe][III. §6.2, Prop. 3]{bourbaki},
  weshalb folgende Sequenzen wieder exakt und isomorph sind
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      0\ar[r] 
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1} L_0=L_0\ar[r] \disoarrow
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1} L_d\ar[r] \ar[equal]{d}
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1} (L_d/L_0) \ar[r]\disoarrow
      &0\\
      0\ar[r] 
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1} \KnF=\KnF  \ar[r] 
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1} L_d\ar[r]
      &\displaystyle \varinjlim_{d\in\N_1}
      ( \bigoplus_{\mathrlap{k\leq d, \pi\in P_k}}
      \K_{n-1}(\Ftpi) 
      ) \ar[r]
      &0
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  Mit den Vereinigungen als Kolimeswerte
  \begin{align*}
    \varinjlim_{d\in\N_1}L_d
    =\bigcup_{d\in\N_1}L_d
    &=\KnFt\\
    \varinjlim_{d\in\N_1}
      (\bigoplus_{\mathrlap{k\leq d, \pi\in P_k}}
      \K_{n-1}(\Ftpi))
    &=\bigoplus_{\pi\in P}
      \K_{n-1}(\Ftpi))
  \end{align*}
  folgt dann die exakte Sequenz aus \ref{milnorfolge}.
  Dass diese spaltend ist, werden wir nach
  \ref{spaltendeexaktesequenz} in \ref{lem1} damit zeigen, dass
  die kanonische injektive Einbettung $L_0\cong\KnF\to\KnFt$ 
  eine Retraktion hat.
\end{proof}

  Es bleibt also zum einen zu zeigen, dass \eqref{1} gilt und die Einbettung eine
  Retraktion hat, und zum anderen, dass \eqref{2} und \eqref{3}
  gelten.
  
  \begin{Lem}[Aussage \eqref{1}]\label{lem1}
    Es gilt $L_0\cong \KnF\overset{\iota}{\hookrightarrow} \KnFt$
    und $\iota$ hat eine Retraktion.
    \begin{proof}
      Die Isomorphie $L_0\cong\KnF$ folgt bereits aus der Definition
      von $L_0$:
      \begin{align*}
        L_0
        &=\left( \{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt 
          \mid f_i\in\F[t], \deg(f_i)\leq 0\right) \\
        &=\left( \{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt 
          \mid f_i\in\F[t], \deg(f_i)= 0\right) \\
        &=\left( \{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt 
          \mid f_i\in\F\right) \\
        &=\KnF
      \end{align*}
      Demnach ist die Form der Einbettung von $L_0$ in $\KnFt$
      kanonisch gegeben durch die Einbettung von $\KnF$ in $\KnFt$, 
      d.h. $L_0=\KnF\overset{\iota}{\hookrightarrow}\KnFt$ 
      mit $\im(\iota)=\KnF\subset\KnFt$.
      Um zu zeigen, dass die Einbettung eine Retraktion hat,
      benutzen wir unsere Spezialisierungsabbildung aus 
      \ref{homomorphismen}.
      
      % Für ein Primelement $\pi\in\F[t]$ mit $\deg(\pi)=1$
      % (d.h. $\pi=t-\alpha$ mit $\alpha\in\F$)
      % gilt $(\Ftpi)^\times=(\F[t]/(t-\alpha))^\times\cong \Fx$ 
      % über $\ov{\beta}\overset{\phi}{\mapsto} \beta\in\Fx$, 
      % also $\KnFtpi\cong\KnF$.
      % Wähle der Einfachheit halber z.B. $\alpha=0$, also $\pi=t$.
      Für das Primelement $\pi=t\in\F[t]$ gilt $\F[t]/(\pi)\cong\F$
      über $\ov\beta\overset{\phi}{\mapsto}\beta\in\F$.
      Für ein Element $\{f_1,\dotsc, f_n\}\in L_0=\KnF\subset\KnFt$ ist,
      nachdem alle $f_i\in\Fx\subset\F[t]_{(t)}^\times$ Einheiten 
      bzgl. der $t$-adischen Bewertung sind,
      \begin{align*}
        \psi_t(\{f_1,\dotsc,f_n\})
        &={\psi_t(f_1)} \otimes\dotsb\otimes {\psi_t(f_n)}\\
        &\overset{\mathllap{\text{$f_i$ Einheiten; 
          \ref{relationspezialisierung}}}}{=}
          \{\ov f_1,\dotsc, \ov f_n\}
      \end{align*}
      Wenden wir komponentenweise die Gruppenisomorphie 
      $\phi\colon(\F[t]/(t))^\times\cong\Fx$ an, 
      erhalten wir verknüpft mit der Einbettung $\iota$
      \begin{align*}
        \phi\circ\psi_t\circ\iota(\{f_1,\dotsc,f_n\})
        =\phi\circ\psi_t(\{f_1,\dotsc,f_n\})
        {=}\{\phi(\ov f_1),\dotsc, \phi(\ov f_n)\}
        =\{f_1,\dotsc,f_n\}\in L_0
      \end{align*}
      also $\psi_t\circ \iota=\id_{\KnF}$, was zeigt, dass
      $\iota$ die Retraktion $\psi_t$ hat.
    \end{proof}
  \end{Lem}
  
  Für den Beweis von Aussage \eqref{2} benötigen wir noch eine genauere
  Kenntnis der Struktur von $L_d/L_{d-1}$.
  Tatsächlich kann man jedes Element 
  $\ov{\{f_1,\dotsc,f_n\}}\in L_d/L_{d-1}$ als Summe
  mit Gliedern der Form  $\ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}\in L_d/L_{d-1}$
  darstellen, wobei $\pi\in P_d$, $g_i\in\F[t]$ 
  und $\deg(g_i)<d$ ist für alle $2\leq i\leq n$.
  
  Nachdem $L_d$ von Elementen $\{f_1,\dotsc,f_n\}\in\KnFt$ mit
  $f_i\in\F[t]$ und $\deg(f_i)\leq d$ erzeugt ist, 
  betrachten wir solch ein Element.
  Es seien alle Elemente mit $\deg(f_i)=d$ auf den vorderen Stellen 
  (sonst ordne um mit Vorzeichenwechsel nach \ref{identitaetmal}).
  Falls es mehr als ein Element mit $\deg(f_i)=d$ gibt, betrachte
  die Beziehung $f_1=-af_2+g$ für ein $a\in\Fx$ und $g\in\F[t]$ mit $\deg(g)<d$.
  Falls $g=0$ ist, kann mithilfe von \ref{identitaetquadrat}
  umgeformt werden zu $\{f_1,a,\dotsc,f_n\}\p\{f_1,-1,\dotsc,f_n\}$.
  Ansonsten gilt
  \begin{align*}
    f_1+af_2=g 
    &\Rightarrow f_1/g+af_2/g=1\\
    &\Rightarrow 0=\{f_1/g,af_2/g\}=(\{f_1\}\m\{g\})(\{a\}\p\{f_2\}\m\{g\})\\
    &\Rightarrow \{f_1,f_2\}=\m\{f_1,a\}\p\{f_1,g\}\m\{f_2,g\}\p\{g,g\}
  \end{align*}
  Also ist 
  \begin{align*}
    \{f_1,f_2,\dotsc,f_n\} 
    &=\m \{f_1,a,\dotsc,f_n\}
      \p \{f_1,g,\dotsc,f_n\}
      \m \{f_2,g,\dotsc,f_n\}
      \p \{g,g,\dotsc,f_n\}\\
    \intertext{oder}
    \{f_1,f_2,\dotsc,f_n\} 
    &=\{f_1,a,\dotsc,f_n\}\p\{f_1,-1,\dotsc,f_n\}
  \end{align*}
  Jeder Summand enthält ein Polynom weniger vom Grad $d$.
  Dies kann induktiv fortgeführt werden und wir erhalten,
  dass jedes Element $\{f_1,\dotsc,f_n\}\in L_d$ mit $\deg(f_i)\leq d$
  entweder erzeugt ist von Elementen $\{g_1,\dotsc, g_n\}\in L_d$ mit
  $\deg(g_i)<d$ für $2\leq i\leq n$ und $\deg(g_1)=d$,
  oder keines der $f_i$ hat $\deg(f_i)=d$.
  
  Es ist nun zu unterscheiden, ob $g_1\in\F[t]$ irreduzibel ist oder
  nicht. Falls $g_1$ reduzibel ist, also $g_1=g_1'g_1''$ mit
  $g_1',g_1''\in\F[t]$ und $\deg(g_1'),\deg(g_1'')<d$,
  zerfällt $\{g_1,\dotsc,g_n\}$ in 
  $\{g_1,\dotsc,g_n\}=\{g_1',\dotsc,g_n\}\p\{g_1'',\dotsc,g_n\}$.
  Falls $g_1$ irreduzibel ist mit $g_1=a\pi, a\in\F, \pi\in P_d$, 
  ist $\{g_1,\dotsc,g_n\}=\{\pi,\dotsc,g_n\}\p\{a,\dotsc,g_n\}$,
  wobei ersteres die gesuchte Form hat und in letzterem wieder kein
  Polynom vom Grad $d$ vorkommt.

  $L_d$ besteht also tatsächlich genau aus Erzeugnissen von
  $\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}$ und $\{g_1,\dotsc,g_n\}$
  mit $\pi\in P_d$ und $g_i\in\F[t], \deg(g_i)<d$.

  Bei der Quotientenbildung $L_d/L_{d-1}$ werden alle Elemente aus
  $L_d$ auf $0$ geschickt, also alle Erzeugnisse von
  $\{g_1,\dotsc,g_n\}\in\KnFt$ mit $g_i\in\F[t], \deg(g_i)<d$.

  \begin{Lem}[\eqref{2}]\label{lem2}
    Es sei für $\partial_\pi\coloneqq \partial_{v_\pi}\colon
    \KnFt\twoheadrightarrow\K_{n-1}(\Ftpi)$
    das Zahme Symbol bzgl. der $\pi$-adischen Bewertung $v_\pi$ auf
    $\KnFt$ für $n\in\N_1$.
    Mit der Definition
    \begin{align*}
      \partial_d\colon \KnFt
      &\twoheadrightarrow \bigoplus_{\pi\in
        P_d}\K_{n-1}(\Ftpi)\\
      \{f_1,\dotsc,f_n\}
      &\mapsto\left(
        \partial_\pi(\{f_1,\dotsc,f_n\})
        \right)_{\pi\in P_d}
    \end{align*}
    wird die Einschränkung und Restriktion $\ov{\partial}_d$ 
    von $\partial_d$ auf $L_d/L_{d-1}$ 
    ($\pi,g_i$ wie oben mit $\pi\in P_d, g_i\in\F[t],\deg(g_i)<d$)
    \begin{align*}
      \ov{\partial}_d\colon L_d/L_{d-1}
      &\overset{\thicksim}{\rightarrow} \bigoplus_{\pi\in
        P_d}\K_{n-1}(\Ftpi)\\
      \ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}
      &\mapsto\left(
        \partial_{\pi'}(\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\})
        \right)_{\pi'\in P_d}
    \end{align*}
    zum wohldefinierten Isomorphismus.
  \end{Lem}
  \begin{proof}[<NAME> \ref{lem2}]
    Vorerst ist anzumerken, dass $\partial_d$ als Summe von
    Homomorphismen wieder Homomorphismus ist.
    Die Wohldefiniertheit folgt dann einfach daraus, dass $L_{d-1}\subset
    \ker(\partial_d)$ ist.
    Denn für einen Erzeuger
    $\{g_1,\dotsc,g_n\}\in L_{d-1}$ ($g_i\in\F[t],\deg(g_i)\leq (d-1)$)
    von $L_{d-1}$  gilt $\deg(\pi)=d>\deg(g_i)$, 
    woraus folgt, dass $\pi$ keines der $g_i$
    teilt, also liegen sie nicht im Maximalideal $(\pi)$ von
    $\F[t]_{(\pi)}$ und sind daher Einheiten bzgl. der $\pi$-adischen
    Bewertung auf $\F[t]_{(\pi)}$. Für jedes $\pi\in P_d$ schickt
    $\partial_\pi$ per Definition durch die Relation 
    \ref{relationzahmessymbol} solche Elemente auf $0\in\KnFtpi$.
    Da die $\partial_\pi$ Homomorphismen sind, schicken sie auch jedes
    Erzeugnis solcher Elemente, in diesem Fall ganz $L_{d-1}$, auf $0$.
    Also ist 
    \begin{gather*}
      \partial_d(L_{d-1})=\bigoplus_{\pi\in
        P_d}\partial_{\pi}(L_{d-1})=\bigoplus_{\pi\in P_d} \{0\}=0
    \end{gather*}
    Mit dem Homomorphiesatz ist $\ov\partial_d$ der eindeutige,
    wohldefinierte Homomorphismus, für den mit der Projektion
    $\pr_{L_d/L_{d-1}}$ von $L_d$ auf $L_{d-1}$ gilt
    $\ov\partial_d\circ \pr_{L_d/L_{d-1}}=\partial_d$.
    
    Nachdem $\partial_d$ surjektiv war (wegen $\partial_\pi$ surjektiv
    für bel. $\pi\in P_d$), ist auch $\ov\partial_d$
    surjektiver Homomorphismus.
    
    Für die Isomorphie konstruieren wir inverse Homomorphismen 
    zu den $\ov\partial_\pi$ und zeigen anschließend, 
    dass der zusammengesetzte Homomorphismus surjektiv und
    rechtsinvers zu $\ov\partial_d$ ist.
    Dazu nutzen wir, dass man für ein Element $\ov g\in\Ftpi$ einen
    eindeutigen Lift $g\in\F[t]$ findet mit $\deg(g)<d$.
    
    Betrachte zunächst für ein $\pi\in P_d$ die Zuweisung
    \begin{align*}
      H_\pi\colon\prod_{k=1}^{n-1} \K_1(\Ftpi) 
      &\to L_d/L_{d-1}\\
      \left( l(\ov g_2),\dotsc, l(\ov g_n) \right)
      &\mapsto \ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}
    \end{align*}
    wobei die $g_i$ die eindeutigen Lifts der $\ov g_i$ sind mit $\deg(g_i)<d$.
    Wir zeigen im Folgenden, dass $H_\pi$ ein $(n-1)$-linearer
    Homomorphismus ist mit $\mathcal{A}_n\subset \ker(H_\pi)$ (siehe
    \ref{defkf} für die Definition von $\mathcal{A}_n$).
    Dann gibt es nach der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts
    und nach dem Homomorphiesatz einen eindeutigen Homomorphismus 
    $h_\pi\colon\K_{n-1}(\Ftpi)\to\KnFt$,
    welcher eine Umkehrabbildung zu $\ov\partial_\pi$ ist.
    

    Wähle also ein beliebiges Element 
    $\left(l(\ov g_2),\dotsc,l(\ov g_n)\right)\in\prod_{k=1}^n\K_1(\Ftpi)$.
    Sei ohne Einschränkung $i=2$ und $\ov g_i=\ov g_2=\ov g_2'\ov g_2''\in(\Ftpi)^\times$.
    d.h. 
    \begin{gather*}
      (l(\ov g_2),\dotsc, l(\ov g_n))
      =(l(\ov g_2'),\dotsc, l(\ov g_n))\p(l(\ov g_2''),\dotsc,l(\ov g_n))
    \end{gather*}
    Es gilt für die eindeutigen Lifts
    $g_2,g_2',g_2''\in\F[t]\setminus\{0\}$ mit Grad kleiner $d$, dass 
    für ein $g\in\F[t]$ mit $\deg(g)<d$ die Gleichung
    $g_2=\pi g + g_2'g_2''$ erfüllt ist.
    Wir betrachten den Fall $g\neq 0$ ($g=0$ analog)
    und erhalten
    \begin{align*}
      g_2=\pi g + g_2'g_2''
      &\Rightarrow
        1 = \pi g/g_2 + g_2'g_2''/g_2\\
      &\overset{\mathllap{\text{Steinbergrel.}}}{\Rightarrow}
        0 = \{\pi g/g_2\}\{g_2'g_2''/g_2\} \in\K_2(\Ft)\\
      &\Leftrightarrow 
        0= \left( \{\pi\}\p \{g\}\m \{g_2\} \right)
        \left( \{g_2'\}\p \{g_2''\}\m \{g_2\}\right)\\
      &\Leftrightarrow 
        0=\{\pi,g_2'\}\p\{\pi,g_2''\}\m \{\pi,g_2\}
        \p\{g,g_2'\}\p\{g,g_2''\}\m\{g,g_2\}\\
      &\phantom{\Leftrightarrow 0=\{}
        \m\{g_2,g_2'\}\m\{g_2,g_2''\}\p\{g_2,g_2\}\\
      &\Leftrightarrow 
        \{\pi,g_2\}=\{\pi,g_2'\}\p\{\pi,g_2''\}
        \p\{g,g_2'\}\p\{g,g_2''\}\m\{g,g_2\}\\
      &\phantom{\Leftrightarrow\{\pi,g_2\}=\{}
        \m\{g_2,g_2'\}\m\{g_2,g_2''\}\p\{g_2,g_2\}
    \end{align*}
    Also
    \begin{align*}
      H_\pi\big(
      \left( l(\ov g_2'),\dotsc,l(\ov g_n)\right)
      &\p \left( l(\ov g_2''),\dotsc,l(\ov g_n) \right)
        \big)
        =H_\pi\left( \left( l(\ov g_2),\dotsc,l(\ov g_n) \right)
        \right)\\
      &=\ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}\\
      &=\ov{\{\pi,g_2',\dotsc\}} \p \ov{\{\pi,g_2'',\dotsc\}}\\
      &\phantom{=~}\p \ov{\{g,g_2',\dotsc\}}\p\ov{\{g,g_2'',\dotsc\}}
        \p \ov{\{g,g_2,\dotsc\}}\\
      &\phantom{=~}\m\ov{\{g_2,g_2',\dotsc\}}\m\ov{\{g_2,g_2'',\dotsc\}}
        \p\ov{\{g_2,g_2,\dotsc\}}\\
      &\overset{\mathllap{\deg(g),\deg(g_i)<d}}{=}
        \ov{\{\pi,g_2',\dotsc,g_n\}} \p \ov{\{\pi,g_2'',\dotsc,g_n\}}\\
      &=H_\pi\left(\left(l(\ov g_2'),\dotsc,l(\ov g_n)\right)\right)
        \p H_\pi\left(\left(l(\ov g_2''),\dotsc,l(\ov g_n)\right)\right)     
    \end{align*}
    was, nachdem $2\leq i\leq n$ beliebig gewählt war, $H_\pi$ zu
    einem $(n-1)$-$\Z$-linearen Homomorphismus macht.

    Aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts erhalten wir
    einen Homomorphismus
    \begin{align*}
      H_\pi'\colon\bigotimes_{k=1}^{n-1}\K_1(\Ftpi)
      &\to\KnFt\\
      l(\ov g_2)\otimes\dotsb\otimes l(\ov g_n)
      &\mapsto \ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}
    \end{align*}
    
    Sei $l(\ov g_2)\otimes\dotsb\otimes l(\ov g_n)\in\mathcal{A}_n$,
    d.h. $\ov g_i+\ov g_{i+1}=1$ für ein $2\leq i\leq n$.
    Ohne Einschränkung sei $\ov g_2 + \ov g_3=1$, 
    also $g_2 + g_3 +\pi g=1$ bzw. mit der Wahl
    $\deg(g_2+g_3)<d$ dann $g_2+g_3=1$. Dann gilt
    \begin{gather*}
      H'_\pi\left(\left(l(\ov g_2),\dotsb,l(\ov g_n)\right)\right)
      = \ov{\{\pi,g_2,g_3, \dotsc,g_n\}}
      \overset{\text{Steinbergrel.}}{\underset{g_2+g_3=1}{=}} 0
    \end{gather*}
    Somit liegt $\mathcal{A}_n$ im Kern von $H_\pi'$, weshalb laut
    Homomorphiesatz eine eindeutige Abbildung
    \begin{align*}
      h_\pi\colon 
      \left(\bigotimes_{k=1}^{n-1}\K_1(\Ftpi)\right)/\mathcal{A}_n
      \overset{\text{Def. \ref{defkf}}}{\eqqcolon}
      \K_{n-1}(\Ftpi)&\to L_d/L_{d-1}\\
      \{\ov g_2,\dotsc,\ov g_n\}&\mapsto \ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}
    \end{align*}
    existiert, welche in Verknüpfung mit der Projektion mit 
    $H_\pi'$ kommutiert und dessen Eigenschaften erhält.

    Es gilt nun offensichtlich für alle $\pi,\pi'\in P_d$, 
    dass $\ov\partial_\pi\circ h_{\pi'}$ die Identität ist, 
    falls $\pi=\pi'$, und $0$, falls $\pi\neq\pi'$,
    denn für $\pi\neq\pi'$
    \begin{align*}
      \ov\partial_\pi\circ h_{\pi'}(\{\ov g_1,\dotsc,\ov g_n\})
      &= \ov\partial_\pi\left( \ov{\{\pi', g_1,\dotsc, g_n\}} \right)
        \overset{\pi'\in(\F[t]_{(\pi)})^\times}{
        \underset{\ref{relationzahmessymbol}}{=}}
        0\\
      \ov\partial_\pi\circ h_{\pi}\left( \{\ov g_1,\dotsc,\ov g_n\} \right)
      &= \ov\partial_\pi\left( \ov{\{\pi, g_1,\dotsc, g_n\}} \right)
      = \{\ov g_1,\dotsc,\ov g_n\}
    \end{align*}
    Die $h_\pi$ induzieren also einen zu
    $\ov\partial_d$ rechtsinversen Homomorphismus
    \begin{align*}
      h_d\colon \bigoplus_{\pi\in P_d}\K_{n-1}(\Ftpi)
      &\to L_d/L_{d-1}\\
      \left(
      \{\ov g_1^\pi,\dotsc,\ov g_n^\pi\}\in\K_{n-1}(\Ftpi)
      \right)_{\pi\in P_d}
      &\mapsto 
        \sum_{\pi\in P_d} h_\pi(\{\ov g_1^\pi,\dotsc,\ov g_n^\pi\}) 
        = \sum_{\pi\in P_d} \ov{\{\pi, g_1^\pi,\dotsc,g_n^\pi\}}
    \end{align*}
    Beachte, dass $h_d$ wohldefiniert, also die Summe endlich, ist,
    aufgrund der Eigenschaft der direkten Summe.
    $h_d$ ist als Summe von Homomorphismen Homomorphismus und
    surjektiv, denn wie oben gezeigt wird $L_d/L_{d-1}$ erzeugt von
    den Bildern der Erzeuger von $L_d$, welche Restklassen der Form 
    $\ov{\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}}\in L_d/L_{d-1}, \pi\in
    P_d,\deg(g_i)<d$ sind.
    Zu einer solchen Restklasse ist $\{\ov g_1,\dotsc,\ov
    g_n\}\in\K_{n-1}(\Ftpi)$ ein Urbild unter $h_\pi$
    und somit das Element
    \begin{gather*}
      \left(
      \{\ov g_1,\dotsc,\ov g_n\},%\in\K_{n-1}(\Ftpi), 
      0, 0,\dotsc %\in\K_{n-1}(\F[t]/(\pi'))\}
      \right)%_{\pi'\in P_d\setminus \{\pi\}}
      \in \bigoplus_{\pi\in P_d}\K_{n-1}(\Ftpi)
    \end{gather*}
    ein Urbild unter $h_d$.
    Als surjektiver Homomorphismus mit surjektivem
    rechtsinversen Homomorphismus ist $\partial_d$ ein Isomorphismus.
  \end{proof}

  Wir haben nun die Isomorphie $L_d/L_{d-1}\cong \bigoplus_{\pi\in
    P_d}\K_{n-1}(\Ftpi)$ aus \eqref{2} gezeigt.
  Zu guter Letzt fehlt noch Aussage \eqref{3}, wofür wir die Anmerkungen
  zur Struktur von $L_d$ ($d\in\N_1$), dass $L_d$ das Erzeugnis von
  Elementen der Form
  $\{\pi,g_2,\dotsc,g_n\}\in\KnFt$ und $\{g_1,\dotsc,g_n\}\in\KnFt$
  ($\pi\in P_d,g_i\in\F[t],\deg(g_i)<d$) ist,
  brauchen werden.

  \begin{Lem}[Aussage \eqref{3}]\label{lem3}
    Es gilt für alle $d\in\N_1$
    \begin{gather}
      L_d/L_0\cong \bigoplus_{k=1}^d L_k/L_{k-1} \,,
    \end{gather}
  \end{Lem}
  \begin{proof}[Beweis Lemma \ref{lem3}]
    Wir werden zeigen, dass $L_d/L_{d-2}\cong L_{d-1}/L_{d-2}\oplus
    L_{d}/L_{d-1}$ gilt.
    
    Als Vorarbeit zeigen wir, dass für ein $d\in\N_1$ sich
    $L_d/L_{d-2}$ als semidirektes Produkt von $L_d/L_{d-1}$ und
    $L_{d-1}/L_{d-2}$ schreiben lässt.
    Beachten wir die Struktur von $L_d$, können wir $L_d/L_{d-2}$
    schreiben als die dazu isomorphe Untergruppe 
    \begin{align*}
      U_{d-1,d}
      &\coloneqq \left(
        \{\pi_d,g_2,\dotsc,g_n\},
        \{\pi_{d-1},h_2,\dotsc,h_n\}
        \right)\subset\KnFt
    \end{align*}
    wobei $\pi_{d}\in P_d, \pi_{d-1}\in P_{d-1}, 
    g_i,h_i\in\F[t],\deg(g_i),\deg(h_i)<d-1$.
    Es lässt sich nachrechnen, dass folgendes Erzeugnis wieder eine
    Untergruppe ist
    \begin{align*}
      U_k&\coloneqq \left(\{\pi_k,g_2,\dotsc,g_n\}
           \mid \pi_{k}\in P_k, g_i\in\F[t],\deg(g_i)<k
           \right)\in\KnFt
    \end{align*}
    und $U_d\cap U_{d-1}=0$.
    Mit $U_d\p U_{d-1}= U_{d-1,d}$,
    und $U_d\cong L_d/L_{d-1}$, $U_{d-1}\cong L_{d-1}/L_{d-2}$,
    folgt nach Algebra, dass
    $U_{d-1,d}\cong L_d/L_{d-2}$ ein semidirektes Produkt $U_{d-1}\rtimes U_{d}$
    ist.

    Das semidirekte Produkt liefert bereits einen Schnitt von
    $L_{d}/L_{d-1}\cong U_{d}$ nach $L_d/L_{d-1}\cong U_{d-1,d}$
    der kanonischen Projektion.
    Wie wir in \ref{gruppentensorprodukt} gesehen haben, kann jede
    abelsche Gruppe als $\Z$-Modul aufgefasst werden und \ref{spaltendeexaktesequenz}
    trifft zu, so dass die exakte Sequenz
    \begin{center}
      \begin{tikzcd}
        0\arrow{r} & L_{d-1}/L_{d-2}\cong U_{d-1} \arrow{r}
        & U_{d-1,d}\cong L_d/L_{d-2} \arrow{r} 
        &  U_{d}\cong L_d/L_{d-1} \arrow{r} 
        & 0
      \end{tikzcd}
    \end{center}
    spaltend ist. Somit gilt $L_d/L_{d-2}\cong L_{d-1}/L_{d-2}\oplus
    L_d/L_{d-1}$.
    
    Induktiv folgt Behauptung \eqref{3}, wenn man bei $d=1$ beginnt.
  \end{proof}
  
  Damit ist Satz \ref{milnorfolge} vollständig gezeigt.

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\newpage
\nocite{*}
\printbibliography


\end{document}
