<reponame>tsouanas/aulabook-fmcmon
\begin{exercise}
\topic{funções}
Seja $f: A \to B$. A afirmação
$$
    f \text{ bijetora} \iff \text{para todo } b \in B \text{, } f^{-1}[\set {b}] \text{ é um conjunto unitário}
$$
é verdadeira? Prove ou refute.
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{funções!pré-imagem}
Sejam $f:X \to Y$ e $\set{B_n}_n$ uma sequência de subconjuntos de $Y$. Prove que:
$$
    f^{-1}\big[\Inter^\infty_{n=0} B_n \big] = \Inter^\infty_{n=0} f^{-1}[B_n] 
$$
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{funções!ponto fixo}
Sejam $f:A \to A$ um endomapa e $x \in A$. Chamamos o $x \in A$ um fixpoint da $f$ sse $f(x) = x$. Prove ou refute a afirmação:
$$
    x \text{ é um fixpoint da } f \iff \text{para todo } n \in \nats \text{, } x \text{ é um fixpoint da } f^n.
$$
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{funções!ponto fixo}
Seja $f:A \to A$ e seja $F$ o conjunto de todos os fixpoints da $f$:
$$
    F = \setlst{x \in A}{x \text{ é um fixpoint da } f}. 
$$
Prove uma das afirmações seguintes e encontre um contraexemplo para a outra:
\begin{enumerate}[(i)]
    \item $f^{-1}[F] \subseteq F$
    \item $f^{-1}[F] \supseteq F$
\end{enumerate}
Prove que se $f$ é injetora, ambas as afirmações são verdadeiras.
\end{exercise}
