\subsection{场论}

	\begin{ti}
		已知 $\bm F = x^{3} \bm i + y^{3} \bm j + z^{3} \bm k$，则在点 $(1,0,-1)$ 处的 $\div \bm F$ 为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $u = x^{2} + 3y + yz$，则 $\div \bigl(\grad u\bigr) = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		向量场 $\bm A(z,3x,2y)$ 在点 $M(x,y,z)$ 处的旋度 $\rot \bm A = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		函数
		\[
			u = 3x^{2}y - 2yz + z^{3}, v = 4xy - z^{3},
		\]
		点 $P(1,-1,1)$. $u$ 在点 $P$ 处沿 $\grad v \bigr|_{P}$ 方向的方向导数等于\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		函数 $u = \ee^{z} - z + xy$ 在点 $(2,1,0)$ 处沿曲面 $\ee^{z} - z + xy = 3$ 的法线方向的方向导数为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm n$ 是曲面 $2x^{2} + 3y^{2} + z^{2} = 6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数 $u = \frac{1}{z} \bigl( 6x^{2} + 8y^{2} \bigr)^{\frac{1}{2}}$ 在此处沿方向 $\bm n$ 的方向导数.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求函数 $f(x,y) = x^{2} - xy + y^{2}$ 在点 $M(1,1)$ 沿与 $x$ 轴的正向组成 $\alpha$ 角的方向 $\bm l$ 上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：
		\begin{enumerate}
			\item 最大的值;
			\item 最小的值;
			\item 等于 $0$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设在平面区域 $D$ 上数量场 $u(x,y) = 50 - x^{2} - 4y^{2}$，试问在点 $P_{0}(1,-2) \in D$ 处沿什么方向时 $u(x,y)$ 升高最快，并求一条路径，使从点 $P_{0}(1,-2)$ 处出发沿这条路径 $u(x,y)$ 升高最快.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求常数 $a,b,c$ 的值，使函数
		\[
			f(x,y,z) = axy^{2} + byz + cx^{3}z^{2}
		\]
		在点 $(1,2,-1)$ 处沿 $z$ 轴正向的方向导数有最大值 $64$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设数量场 $u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + xy + 3x - 2y - 6z$，求：
		\begin{enumerate}
			\item 梯度为零向量的点;
			\item 在点 $(2,0,1)$ 处，沿哪一个方向 $u$ 的变化率最大，并求此最大变化率;
			\item 使其梯度垂直于 $z$ 轴的点.
		\end{enumerate}
	\end{ti}