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%comandos de secciones 
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\newcommand{\ejercicios}{\section{Ejercicios}}

%comandos varios utiles (agregar es posible)
\newcommand{\Rn}[1]{\mathbb{R}^{#1}}
\newcommand{\vect}[1]{\textbf{#1}}
\newcommand{\vecti}[2]{\textbf{#1}_{#2}}
\newcommand{\bola}[2]{\mathcal{B}_{#1}(#2)}
\newcommand{\parcial}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}

\title{Clase \# 6 de Análisis 3}
\author{Equipo clases a \LaTeX}

\begin{document}
	
	\maketitle
	
	\tableofcontents
	
	\section{Notación}
	
	Supongamos $f:S \subset \Rn{2} \rightarrow \Rn{}$
	
	$$ D_1(D_1 f)  = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = f_{11}
	\hspace{1cm} D_1(D_2f) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{yx} = f_{21}$$
	
	$$ D_2(D_2 f)  = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} = f_{22}
	\hspace{1cm} D_2(D_1f) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy} = f_{12}$$
	
	\teorema
	
	Sea $f:S \subset \Rn{2} \rightarrow \Rn{}$ $(x_0,y_0) \in S$. Supongamos que en una vecindad de $(x_0,y_0)$, existen y son continuas $f,f_1,f_2,f_{12}$. Entonces $f_{21}$ existe y ademas $f_{21}(x_0,y_0) = f_{12}(x_0,y_0)$
	
	\definicion
	
	\underline{Diferenciabilidad para campos escalares.}
	
	\bigskip
	
	$f:S \subset \Rn{n} \rightarrow \Rn{}$, $\vecti{x}{0}$ punto interior de S, $\bola{r}{\vecti{x}{0}} \subset S$ , $\vect{y} \in \Rn{n}$ tal que $||\vect{y}|| < r$ de manera que $\vecti{x}{0} + \textbf{y} \in \bola{\vecti{x}{0}}{r}$
	
	Entonces $f$ es diferenciable en $\vecti{x}{0}$ si existe una transformación lineal (en este caso un funcional lineal) $T_{\vecti{x}{0}}: \Rn{n} \rightarrow \Rn{}$ y una función escalar $E:\Rn{2n} \rightarrow \Rn{}$ tal que:
	
	\begin{equation}
		f(\vecti{x}{0} + \textbf{y}) = f(\vecti{x}{0}) + T_{\vecti{x}{0}}(\textbf{y}) + ||\textbf{y}||E(\vecti{x}{0} , \textbf{y})
	\end{equation}
	
	Siempre que $||\textbf{y}|| < r$, donde $E(\vecti{x}{0} , \textbf{y}) \rightarrow 0$ cuando $||\textbf{y}|| \rightarrow 0$
	
	\bigskip
	
	La \underline{transformación lineal} $T_{\vecti{x}{0}}$ se llama diferencial de $f$ en $\vecti{x}{0}$
	
	\bigskip 
	
	A (1) se le llama formula de Taylor de primer orden.
	
	\teorema
	
	Si $f$ es diferenciable en $\vecti{x}{0}$ con diferencial $T_{\vecti{x}{0}}$, entonces existe la derivada $D_{\textbf{y}}(\vecti{x}{0})$ para todo $\textbf{y} \in \Rn{n}$ y tenemos $T_{\vecti{x}{0}}(\textbf{y}) = D_{\textbf{y}}(\vecti{x}{0})$. Ademas si $\textbf{y} = (y_1,y_2,y_3,\dots,y_n)$ entonces:
	
	$$ D_{\textbf{y}}(\vecti{x}{0}) = \sum_{k=1}^{n}D_k f(\vecti{x}{0})y_k $$
	
	\definicion
	
	\underline{Gradiente de un campo escalar:}
	
	$$ \nabla f (\vecti{x}{0}) = \begin{bmatrix}
		D_1 f (\vecti{x}{0}) \\
		D_2 f (\vecti{x}{0}) \\
		\vdots \\
		D_n f (\vecti{x}{0})
	\end{bmatrix} $$
	
	Al final, la formula de Taylor de primer orden queda:
	
	$$ f(\vecti{x}{0} + \textbf{y}) = f(\vecti{x}{0}) + \nabla f (\vecti{x}{0}) \textbf{y} + ||\textbf{y}||E(\vecti{x}{0} , \textbf{y}) $$
	
	\teorema
	
	Si $f$ es diferenciable en $\vecti{x}{0}$ entonces $f$ es continua en $\vecti{x}{0}$.
	
	\ejercicios
	
	\begin{enumerate}
		\item \textit{Sea $f(x,y) = x^3y^2 + x^4 \sin (y) + \cos (xy)$, Determinar:}
		
		$$ a) f_2(x,y) \hspace{1cm} d) f_{122}(x,y) $$
		$$ b) f_{21}(x,y) \hspace{1cm} e) f_{22}(x,y) $$
		$$ c) f_{212}(x,y) \hspace{1cm} f) f_{222}(x,y)$$
	\end{enumerate}
	
\end{document}
