<reponame>karbonk/matc3-algebra2<gh_stars>1-10
% (c)~2014 <NAME> - <EMAIL>
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\chapter{Disequazioni di secondo grado}

\section{Risoluzione delle disequazioni di secondo grado}

Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme:
\[ax^2+bx+c>0;\quad ax^2+bx+c\ge 0;\quad ax^2+bx+c<0;\quad ax^2+bx+c\le 0.\]

Per risolverla supponiamo che il coefficiente di $x^2$, cioè il coefficiente $a$, sia \textit{positivo}. Se così non fosse, basterebbe cambiare segno a tutti i termini e quindi il verso della disequazione; per esempio, per risolvere la disequazione $-2x^2+3x-1>0$ si può risolvere la disequazione $2x^2-3x+1<0$.

Per risolvere una disequazione di secondo grado si risolve l'equazione associata, cioè si sostituisce il segno della disequazione con l'uguale. Si passa cioè dalla disequazione $ax^2+bx+c>0$ all'equazione $ax^2+bx+c=0$.

Possono presentarsi tre casi.

\subsection{Equazione spuria}
Sono equazioni senza il termine noto: $ax^2+bx=0$.

Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte, di cui una è sempre $0$. Ricordiamo che l'equazione si risolve mettendo $x$ a fattore comune $x(ax+b)=0$ e applicando la legge di annullamento del prodotto, da cui ricaviamo $x=0\ \vee \ ax+b=0\rightarrow x=-\frac b a$. Chiamiamo le due radici $x_1$ e $x_2$. Analogamente a quanto fatto nelle disequazioni di primo grado, poniamo separatamente ogni fattore maggiore di $0$ e confrontiamo i segni dei singoli fattori, come nel seguente grafico.
\begin{center}
\input{lbr/chap04/fig001_seg.pgf}
\end{center}
Dal grafico si evince che le soluzioni saranno:
\begin{itemize}
\item $x<x_1\vee x>x_2$ soluzioni esterne se la disequazione è $ax^2+bx>0$, analogamente $x\le x_1\vee x\ge x_2$ se la disequazione è $ax^2+bx\ge 0$.
\item $x_1<x<x_2$ soluzioni interne se la disequazione è $ax^2+bx<0$, analogamente $x_1\le x\le x_2$ se la disequazione è $ax^2+bx\le 0$.
\end{itemize}
\pagebreak
\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvere le seguenti disequazioni spurie.
\begin{itemize}
\item $3x^2-2x>0$.

Mettiamo $x$ a fattore comune $x(3x-2)>0$.

Poiché il verso della disequazione è ``$>0$'' la disequazione è verificata per valori esterni alle soluzioni dell'equazione, cioè:  $x<0\vee x>\frac 2 3$;
\item $5x^2+x\le 0$.

Mettiamo $x$ a fattore comune $x(5x+1)\le 0$.

Poiché il verso della disequazione è ``$\le 0$'' la disequazione è verificata per valori interni alle soluzioni dell'equazione, cioè: $-\frac 1 5\le x\le 0$;
\item $x-3x^2>0$ cambiamo di segno $3x^2-x<0$ da cui $x(3x-1)<0$. Soluzioni: $0<x<\frac 1 3$.
\end{itemize}
\end{esempio}
\end{exrig}

\subsection{Equazione pura}
Sono equazioni senza il termine con la $ x $: $ax^2+c=0$.

Possono esserci due situazioni:
\begin{itemize}
\item $c<0$: in questo caso l'equazione ammette due radici reali opposte: $x_{1\text{,}2}=\pm \sqrt{-\frac c a}$: si torna al caso precedente e si ha $x<x_1\vee x>x_2$ (cioè per valori esterni) se la disequazione è $ax^2+c>0$ oppure $x_1<x<x_2$ (cioè per valori interni) se la disequazione è $ax^2+c<0$;
\item $c>0$: l'equazione non ammette soluzioni reali; il binomio $ax^2+c$ è la somma di un quadrato con un numero positivo, pertanto è sempre positivo. Di conseguenza, la disequazione $ax^2+c>0$ avrà soluzioni per ogni $x$ reale, mentre $ax^2+c<0$ non avrà nessuna soluzione reale.
\end{itemize}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvere le seguenti disequazioni pure.
\begin{itemize}
\item $x^2-4\ge 0$ soluzioni $x\le -2\vee x\ge 2$;
\item $2x^2-18\le 0$ soluzioni $-3\le x\le 3$;
\item $x^2+4>0$ soluzioni $\forall x\in \insR$;
\item $x^2+9\le 0$ soluzioni nessun valore reale $\IS=\emptyset$;
\item $1-x^2<0$ cambiamo di segno $x^2-1>0$ soluzioni $x<-1\vee x>1$.
\end{itemize}
\end{esempio}
\end{exrig}

\pagebreak

\subsection{Equazione completa}
Sono equazioni con tutti i coefficienti diversi da zero: $ax^2+bx+c=0$.

Si calcola il valore del discriminante $\Delta =b^2-4{ac}$ e a secondo del suo segno possono presentarsi tre casi:

\paragraph{Primo caso: $\Delta >0$}
L'equazione ammette due radici reali e distinte $x_1$ e $x_2$ e il trinomio si scompone in $a(x-x_1)(x-x_2)$. Poiché abbiamo supposto $a$ positivo, il segno del trinomio è dato, per il teorema dui Cartesio, dal seguente schema (ponendo $x_1<x_2$):
\begin{center}
\input{lbr/chap04/fig001_seg.pgf}
\end{center}
Pertanto la disequazione ${ax}^2+{bx}+c\ge 0$ è verificata per valori esterni alle soluzioni, cioè $x\le x_1\vee x\ge x_2$; mentre la disequazione ${ax}^2+{bx}+c\le 0$ è verificata per valori interni alle soluzioni, cioè $x_1\le x\le x_2$.

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta>0$.
\begin{itemize}
\item $x^2-3x-4>0$. Calcolo il valore del discriminante $\Delta =9+16=25$ e le soluzioni dell'equazione associata $x_1=-1\,\vee\,x_2=4$. Le soluzioni della disequazione sono: $x<-1\,\vee\,x>4$;
\item $x^2-3x-4<0$. In questo caso le soluzioni della disequazione sono $-1<x<4$.
\end{itemize}
\end{esempio}
\end{exrig}

\paragraph{Secondo caso: $\Delta =0$} In questo caso le radici dell'equazione associata sono coincidenti $x_1=x_2$, pertanto il trinomio si scompone in $a(x-x_1)^2$. Poiché $a$ è positivo e il quadrato è positivo o al più nullo, si possono verificare quattro casi:

\begin{itemize*}
\item $a(x-x_1)^2>0\:$ è verificata $\forall x\in \insR- \{x_1\}$;
\item $a(x-x_1)^2\ge 0\:$ è verificata $\forall x\in \insR$;
\item $a(x-x_1)^2<0\:$ non è mai verificata;
\item $a(x-x_1)^2\le 0\:$ è verificata solo per $x=x_1$.
\end{itemize*}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta=0$.
\begin{itemize}
\item $x^2-2x+1>0$. Si ha $(x-1)^2>0$ che è verificata $\forall x\in \insR - \{1\}$;
\item $4x^2-4x+1\ge 0$. Si ha $(2x-1)^2\ge 0$ che è verificata $\forall x\in \insR$;
\item $x^2+2x+1<0$. Si ha $(x+1)^2<0$ che non è mai verificata;
\item $4x^2+4x+1\le 0$. Si ha $(2x+1)^2\le 0$ che è verificata solo per $x=-\frac 1 2$.
\end{itemize}
\end{esempio}
\end{exrig}

\paragraph{Terzo caso: $\Delta <0$} Studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi:

\begin{itemize*}
\item mettiamo il coefficiente $a$ a fattore comune, aggiungendo e togliendo $\frac{b^2} {4a^2}$ ottenendo 
\[{ax}^2+{bx}+c=a\left(x^2+\frac b ax+\frac{b^2} {4a^2}-\frac{b^2} {4a^2}+\frac c a\right);\]
\item osserviamo che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di un binomio, e riduciamo gli ultimi due allo stesso denominatore ottenendo 
\[a\left[\left(x+\frac b {2a}\right)^2-\frac{b^2-4{ac}} {4a^2}\right];\]
\item studiamo ora il segno di questa espressione: $a$ è positivo, nella parentesi quadra si ha una somma in cui $\left(x+\frac b {2a}\right)^2$ essendo un quadrato è sempre positivo, come $-\frac{b^2-4{ac}} {4a^2}=-\frac{\Delta } {4a^2}$ sempre positivo perché $\Delta <0$. Possiamo allora concludere che il trinomio è sempre positivo.
\end{itemize*}
Si hanno allora le seguenti possibilità con $a>0$:

\begin{itemize*}
\item ${ax}^2+{bx}+c>0$ è verificata $\forall x\in \insR$;
\item ${ax}^2+{bx}+c\ge 0$ è verificata $\forall x\in \insR$ (anche se non può mai essere uguale a zero);
\item ${ax}^2+{bx}+c<0$ non è mai verificata;
\item ${ax}^2+{bx}+c\le 0$ non è mai verificata.
\end{itemize*}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvere le seguenti disequazioni complete con $\Delta<0$.
\begin{itemize*}
\item $2x^2-3x+4>0$. Si ha $\Delta =9-32=-23<0$, verificata $\forall x\in \insR$;
\item $x^2-x+1<0$. Si ha $\Delta =1-4=-3<0$, mai verificata per alcun valore reale di $x$.
\end{itemize*}
\end{esempio}
\end{exrig}

I seguenti esempi analizzano la risoluzione di disequazioni di secondo grado con $\Delta \ge 0$.
\begin{exrig}
\begin{esempio}
Determinare l'insieme soluzione della disequazione $-3x^2+2x>0$.

Cambiamo segno per avere il primo coefficiente positivo; la disequazione si trasforma in $3x^2-2x<0$; l'equazione associata è spuria $3x^2-2x=0$ con le radici $x_1=0\vee x_2=\frac 2 3$. Pertanto la disequazione assegnata ha $\IS=\left\{x\in \insR \mid 0<x<\frac 2 3\right\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
Determinare l'insieme soluzione della disequazione $2x^2-5\le 0$.

L'equazione associata $2x^2-5=0$ è pura con soluzioni reali $x=\pm \sqrt{\frac 5 2}$. Razionalizzando otteniamo: $x_1=-\frac{\sqrt{10}} 2\vee x_2=+\frac{\sqrt{10}} 2$ e quindi $\IS=\left\{x\in \insR \mid -\frac{\sqrt{10}} 2\le x\le +\frac{\sqrt{10}} 2\right\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
Determinare l'insieme soluzione della disequazione $2x^2+3x-1>0$.

L'equazione associata è completa $2x^2+3x-1=0$; $\Delta =9+8=17>0$ è positivo, dunque le soluzioni sono $x_1=\frac{-3-\sqrt{17}} 4\vee x_2=\frac{-3+\sqrt{17}} 4$. Ci troviamo nel primo caso, quindi l'insieme soluzione della disequazione è~$\IS=\left\{x\in \insR \mid x<\frac{-3-\sqrt{17}} 4\vee x>\frac{-3+\sqrt{17}} 4\right\}$.
%
%Osserviamo che contemporaneamente sappiamo anche risolvere le altre disequazioni: $2x^2+3x-1<0$,~~$2x^2+3x-1\ge 0$~~e~~$2x^2+3x-1\le 0$.
\end{esempio}
\end{exrig}
\conclusione Una disequazione di secondo grado si presenta sempre in una delle seguenti forme: ${ax}^2+{bx}+c>0$, ${ax}^2+{bx}+c\ge 0$, ${ax}^2+{bx}+c<0$, ${ax}^2+{bx}+c\le 0$; possiamo sempre supporre positivo il primo coefficiente e, anche se incompleta, per l'equazione associata possiamo sempre pensare ai tre casi generati dal segno del discriminante $\Delta =b^2-4{ac}$.

Pertanto l'insieme soluzione $\IS$ segue lo schema riportato nella seguente tabella:
\begin{center}
\begin{threeparttable}
\begin{tabular}{lcccc}
\toprule
Delta & $ax^2+bx+c>0$& $ax^2+bx+c\ge0$& $ax^2+bx+c<0$ & $ax^2+bx+c\le0$\\
\midrule
 $\Delta >0^{*}$& $ x<x_1\vee x>x_2 $ & $ x\le x_1\vee x\ge x_2 $& $ x_1<x<x_2 $&$ x_1\le x\le x_2 $\\
$\Delta =0^{**}$& $\forall x\in \insR-\{x_1\} $ & $ \forall x\in \insR $& $ \IS=\emptyset $&$ x=x_1=x_2 $\\
$\Delta <0^{***}$&$ \forall x\in \insR $ & $ \forall x\in \insR $& $ \IS=\emptyset $&$ \IS=\emptyset $\\
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\item [*] l'equazione associata ha 2 soluzioni reali distinte: $x=x_1\vee x=x_2$.
\item [**] l'equazione associata ha 2 soluzioni reali coincidenti: $x=x_1=x_2$.
\item [***] l'equazione associata non ha soluzioni reali.
\end{tablenotes}
\end{threeparttable}
\end{center}

\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.1}, \ref{ese:4.2}, \ref{ese:4.3}, \ref{ese:4.4}, \ref{ese:4.5}}

\section{Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado}

Ricordiamo che un polinomio in una sola variabile, solitamente indicata con $x$, è di secondo grado se $2$ è il massimo esponente della variabile. Per \emph{trinomio di secondo grado} intendiamo un polinomio di secondo grado: $ax^2+bx+c$ con $a\in \insR_{0}$ e $b$, $c\in \insR$. Chiamiamo \emph{zeri del trinomio} i numeri reali soluzione dell'equazione associata $ax^2+bx+c=0$.

\begin{figure}[b]
 \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centering
 \input{./lbr/chap04/fig009_prbl.pgf}
\caption{La funzione~$y=x^{2}+x-2$.}\label{fig:4.1}
 \end{minipage}\hfil
 \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centering
 \input{./lbr/chap04/fig010_prbl.pgf}
\caption{La funzione~$y=x^{2}-4x+4$.}\label{fig:4.2}
 \end{minipage}
\end{figure}

\begin{definizione}
Una funzione $f$ che associa ad ogni numero $x\in \insR$ il valore $y=ax^2+bx+c$ con $a\in \insR_{0}$ e $b$, $c\in \insR$ si chiama \emph{funzione polinomiale di secondo grado}.
\end{definizione}

Nel riferimento cartesiano ortogonale, il grafico della funzione $f$ è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l'equazione $y=ax^2+bx+c$; se $x_1$ e $x_2$ sono gli zeri reali del trinomio $ax^2+bx+c$ significa che attribuendo tali valori alla variabile $x$ si ha $y=0$; essi sono dunque gli \emph{zeri della funzione}, ossia le ascisse dei punti del grafico appartenenti all'asse $x$.
\pagebreak
\begin{exrig}
\begin{esempio}
\label{ex:4.9}
Determinate gli zeri del trinomio $x^2+x-2$.

Risolviamo l'equazione $x^2+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_1=-2\vee x_2=1$. I due numeri $1$ e $-2$ sono gli zeri della funzione $y=x^2+x-2$ (figura~\ref{fig:4.1} a pagina~\pageref{fig:4.1}). Nel riferimento cartesiano ortogonale i punti $P_1(-2;0)$ e $P_2(1;0)$ sono i punti del grafico della funzione appartenenti all'asse $x$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
\label{ex:4.10}
Determinate gli zeri del trinomio $x^2-4x+4$.

Risolviamo l'equazione $x^2-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_1=x_2=2$, gli zeri del trinomio sono coincidenti nel numero $2$ e il grafico della funzione $y=x^2-4x+4$  (figura~\ref{fig:4.2} a pagina~\pageref{fig:4.2}) ha quindi due punti coincidenti appartenenti all'asse~$x$: $P_1\equiv P_2(2;0)$.
\end{esempio}
%\newpage
%\pagebreak

\begin{esempio}
\label{ex:4.11}
Determinate gli zeri del trinomio $x^2-2x+5$.

Risolviamo l'equazione $x^2-2x+5=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali e il grafico della funzione $y=x^2-2x+5$ (figura~\ref{fig:4.3} a pagina~\pageref{fig:4.3}) non ha punti appartenenti all'asse~$x$.
\end{esempio}
\end{exrig}

Questi esempi ci hanno permesso di chiarire il collegamento tra il concetto algebrico ``zeri di un polinomio'' e il concetto geometrico di ``punti sull'asse delle ascisse'' del grafico della funzione polinomiale di secondo grado. Pertanto studiare il \emph{segno di un trinomio di secondo grado} equivale a determinare quali sono le \emph{ascisse dei punti} della funzione $y=ax^2+bx+c$ (con $a\in \insR_{0}$ e $b$, $c\in \insR$) che hanno \emph{ordinata positiva} oppure \emph{ordinata negativa}.

Ricordiamo che nel riferimento cartesiano ortogonale i punti ad ordinata positiva si trovano nel I e nel II quadrante (cioè al di sopra dell'asse~$x$), i punti ad ordinata negativa si trovano nel III e nel IV quadrante (cioè al di sotto dell'asse~$x$) e i punti ad ordinata nulla si trovano sull'asse~$x$.

Per studiare il segno del trinomio, dobbiamo quindi tracciare, nel riferimento cartesiano, il grafico della funzione $y=ax^2+bx+c$ (con $a\in \insR_{0}$ e $b$, $c\in \insR$).

\begin{figure}[b]
 \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centering
 \input{./lbr/chap04/fig011_prbl.pgf}
\caption{La funzione~$y=x^{2}-2x+5$.}\label{fig:4.3}
 \end{minipage}\hfil
 \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centering
 \input{./lbr/chap04/fig013_prbl.pgf}
\caption{La funzione $y=2x^2$.}\label{fig:4.4}
 \end{minipage}
\end{figure}

\subsection{Rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado nel piano cartesiano}

Consideriamo la funzione $y=2x^2$ (figura~\ref{fig:4.4} a pagina~\pageref{fig:4.4}) di proporzionalità quadratica definita in tutto $\insR$; sappiamo che il suo grafico è una parabola che volge la concavità verso l'alto essendo il coefficiente della variabile indipendente positivo e che il punto $O(0;0)$ è il suo vertice. Per tracciarne il grafico compiliamo una tabella e riportiamo i punti nel riferimento cartesiano.

\begin{center}
\begin{tabular} {*{8}{c}}
\toprule
$x$      & $\np{-1,5}$ & $-1$ & $\np{-0,5}$ & $0$ & $\np{0,5}$ & $1$ & $\np{1,5}$\\
$y=2x^2$ & $ \np{4,5}$ &  $2$ &  $\np{0,5}$ & $0$ & $\np{0,5}$ & $2$ & $\np{4,5}$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Applichiamo a tutti i punti della tabella la traslazione di vettore $\vec u(1;1)$. Sappiamo che la traslazione modifica le coordinate dei punti secondo il sistema ${T}(1;1) \left\{\begin{array}{l}{x'=x+1}\\{y'=y+1}\end{array}\right.$ quindi possiamo compilare la tabella dei punti corrispondenti di $x$ e $y$ secondo $T(1;1)$ e infine tracciare il grafico della parabola immagine di $y=2x^2$.

\begin{center}
\begin{tabular} {*{8}{c}}
\toprule
$x'$ & $\np{-0,5}$ & $0$ & $\np{0,5}$ & $1$ & $\np{1,5}$ & $2$ & $\np{2,5}$\\
$y'$ & $\np{5,5}$  & $3$ & $\np{1,5}$ & $1$ & $\np{1,5}$ & $3$ & $\np{5,5}$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig014_prbl.pgf}
\end{center}
Dal grafico possiamo leggere le seguenti informazioni:
\begin{itemize}
\item l'immagine della parabola iniziale $p$, è ancora una parabola $p'$ essendo la traslazione una isometria;
\item la parabola $p'$ volge la concavità verso l'alto, come la parabola iniziale $p$;
\item il vertice $O(0;0)$ della parabola $p$ ha come immagine il vertice $D(1;1)$ della parabola $p'$, coincidente con l'estremo libero del vettore $\vec u(1;1)$ che definisce la traslazione;
\item il vettore che individua la traslazione è indicato nella figura con $\vec u$; i vettori $\vec v$ e $\vec w$ rappresentano lo stesso vettore applicato a tre punti presi a caso sulla parabola iniziale.
\end{itemize}
La parabola immagine di $y=2x^2$ è rappresentata da una funzione polinomiale di secondo grado che si ottiene ricavando dal sistema ${T}(1;1)$ le coordinate $\left\{\begin{array}{l}{x=x'-1}\\{y=y'-1}\end{array}\right.$ che, sostituite nell'equazione di $p$ $(y'-1)=2\cdot (x'-1)^2$, permettono di ottenere l'equazione di $p'$: $y=2x^2-4x+3$.

\paragraph{Generalizziamo}
Data la parabola di equazione $y=ax^2$ e la traslazione \[{T}(v_x;v_y)\left\{\begin{array}{l}{x'=x+v_x}\\{y'=y+v_y}\end{array}\right.\text{,}\] per ottenere l'equazione della curva immagine ricaviamo $\left\{\begin{array}{l}{x=x'-v_x}\\{y=y'-v_y}\end{array}\right.$ da sostituire nell'equazione $y={ax}^2$. Da $(y'-v_y)=a\cdot (x'-v_x)^2$ svolgendo i calcoli si ottiene \[y'=a(x')^2-(2av_x)x'+a(v_x)^2+v_y.\] Se poniamo $-2{av}_x=b$ e $a(v_x)^2+v_y=c$ l'equazione della parabola $p'$ immagine di quella data è $y={ax}^2+{bx}+c$, espressa attraverso un polinomio di secondo grado.
\paragraph{Viceversa}
Assegnata la funzione polinomiale di secondo grado $y={ax}^2+{bx}+c$ con $a\neq 0$, sappiamo che il grafico di tale curva è una parabola. In particolare:
\begin{itemize}
\item il coefficiente $a$ indica la concavità: verso l'alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$;
\item il coefficiente $c$ indica l'intersezione della parabola con l'asse delle~$y$;
\item dalle formule $-2av_x=b$ e $a(v_x)^2+v_y=c$ ricaviamo le coordinate del suo vertice $v_x=-\frac b{2a}$~~e~~$v_y=c-a\left(-\frac b{2a}\right)^2=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}$;
\item risolvendo l'equazione ${ax}^2+{bx}+c=0$ determiniamo gli eventuali punti di intersezione con l'asse~$x$ (gli zeri della funzione);
\item assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari, possiamo ottenere altri punti del grafico.
\end{itemize}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Data la funzione $f: y=x^2-2x-3$ tracciare nel riferimento cartesiano ortogonale il suo grafico.
Il grafico di tale curva è una parabola:
\begin{itemize}
\item essendo il coefficiente $a=1$, la concavità è verso l'alto;
\item il coefficiente $c=-3$ indica che la parabola incontra l'asse delle~$y$ nel punto $(0;-3)$;
\item essendo $a=1$, $b=-2$ e $c=-3$, le coordinate del vertice $V$ sono $v_x=-\frac{-2} 2=1$ e $v_y=\frac{-12-4} 4=-4$;
\item le ascisse dei punti $A(-1;0)$ e $B(3;0)$ rappresentano gli zeri della funzione, soluzione dell'equazione $x^2-2x-3=0$;
\item altri punti della parabola si trovano assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari: per $x=2$, per esempio, otteniamo $y=(2)^2-2(2)-3=-3$; il punto $P(2;-3)$ è pertanto un punto della parabola.
\end{itemize}
Dal grafico possiamo affermare che $f$ è l'immagine di $y=x^2$ nella traslazione di vettore $\vec v(1;-4)$.
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig016_prbl.pgf}
\end{center}
\end{esempio}
\end{exrig}
\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.6}, \ref{ese:4.7}}

\subsection{Segno di un trinomio di secondo grado per via grafica}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Studiare il segno del trinomio $x^2-2x-3$.

Si tratta di stabilire per quali valori di $x$ esso assume segno positivo, per quali segno negativo e per quali eventualmente si annulla.

La richiesta è interpretabile anche come la ricerca degli insiemi soluzioni dell'equazione $x^2-2x-3=0$ e delle disequazioni $x^2-2x-3>0$ e $x^2-2x-3<0$.

\emph{Strategia risolutiva}:
Tracciamo il grafico della funzione $y=x^2-2x-3$ e leggiamo dal grafico gli insiemi richiesti (vedi la figura precedente):
\begin{itemize}
\item Le ascisse dei punti $A$ e $B$ costituiscono l'insieme soluzione dell'equazione $x^2-2x-3=0$ cioè $x_1=-1\vee x_2=3$;
\item I valori di $x$ dell'insieme $H=\{x\in \insR \mid x_A<x<x_B\}$ rendono il trinomio negativo; infatti preso un valore dell'insieme, ad esempio $x=0$, il punto sulla parabola ha ordinata negativa $(-3)$. Per esercizio segnate il punto sul grafico e ripetete per $x=1$, $x=\frac 3 2$, $x=2$;
\item I valori di $x$ dell'insieme $K=\{x\in \insR \mid x<x_A\vee x>x_B\}$ rendono il trinomio positivo; infatti preso un valore dell'insieme, ad esempio $x=\frac 7 2$, il punto sulla parabola ha ordinata positiva. Per esercizio segnatelo sul grafico e ripetete per $x=-\frac{6}{5}$.
\end{itemize}
\end{esempio}
\end{exrig}
\osservazione La ricerca dell'insieme soluzione di una disequazione di secondo grado è sempre interpretabile come la ricerca del segno di un trinomio di secondo grado e quindi risolubile per via grafica. In questi casi non è necessario rappresentare in modo preciso la parabola associata al trinomio, ma basta ricordare quanto detto inizialmente sugli zeri di una funzione (vedi la figura~\ref{fig:subfig10} a pagina~\pageref{fig:subfig10}).

\begin{figure}[tp]
\centering
\input{./lbr/chap04/fig018a1_prbl.pgf}
\vspace{12pt}
{\input{./lbr/chap04/fig018b1_prbl.pgf}}
\vspace{12pt}
{\input{./lbr/chap04/fig018c1_prbl.pgf}}
\vspace{12pt}
{\input{./lbr/chap04/fig018d1_prbl.pgf}}
\vspace{12pt}
{\input{./lbr/chap04/fig018e1_prbl.pgf}}
\vspace{12pt}
{\input{./lbr/chap04/fig018f1_prbl.pgf}}
\caption{Risoluzione delle disequazioni di secondo grado}
\label{fig:subfig10}
\end{figure}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Risolvi le seguenti disequazioni utilizzando il segno del trinomio di secondo grado.
\begin{itemize}
\item $x^2+x-2>0$.

Risolviamo l'equazione $x^2+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_1=-2\vee x_2=1$. Tali valori sono gli zeri del trinomio e dunque gli zeri della funzione $y=x^2+x-2$; la parabola volge la concavità verso l'alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione rispetto all'asse $x$ e dedurre l'insieme soluzione richiesto: $\IS=\{x\in \insR \mid x<-2\vee x>1\}$ o con notazione insiemistica $(-\infty$, $-2)\cup (1$, $+\infty)$;
\item $x^2-4x+4\le 0$.

Risolviamo l'equazione $x^2-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_1=x_2=2$: gli zeri del trinomio sono quindi coincidenti nel numero $2$; la parabola $y=x^2-4x+4$ ha il vertice sull'asse $x$ e volge la concavità verso l'alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l'insieme soluzione richiesto: $\IS=\{x\in \insR \mid x=2\}$, ovvero $\{2\}$. Nessun valore reale rende il trinomio negativo;
\item $x^2-2x+7>0$.

Risolviamo l'equazione $x^2-2x+7=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali, la parabola $y=x^2-2x+7$ volge la concavità verso l'alto e non ha punti appartenenti all'asse $x$ quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l'insieme soluzione richiesto: $\IS=\insR$, ovvero $(-\infty$, $+\infty)$.
\end{itemize}
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig016abc_prbl.pgf}
\end{center}
\end{esempio}
\end{exrig}
\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.8}, \ref{ese:4.9}, \ref{ese:4.10}, \ref{ese:4.11}, \ref{ese:4.12}, \ref{ese:4.13}, \ref{ese:4.14}, \ref{ese:4.15}, \ref{ese:4.16}, \ref{ese:4.17}, \ref{ese:4.18}, \ref{ese:4.19}, \ref{ese:4.20},}

\vspazio\ovalbox{ \ref{ese:4.21}, \ref{ese:4.22}, \ref{ese:4.23}}
\pagebreak
\section{Segno del trinomio a coefficienti letterali}

Consideriamo il trinomio $t=kx^2+3x-7$ avente il coefficiente del termine di secondo grado dipendente dal parametro $k$.

Come possiamo stabilire il segno del trinomio~$t=kx^2+3x-7$, al variare di $k$?
Sappiamo che stabilire il segno di un trinomio significa determinare i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente $x$ rendono il trinomio positivo, nullo o negativo. Evidentemente per i vari valori reali di $k$ avremo una diversa disequazione da risolvere; dobbiamo dunque cercare di analizzare come varia il trinomio al variare dei valori di $k$ e in seguito studiare il segno del trinomio ottenuto.

Questa analisi di situazioni diverse è la \textit{discussione del trinomio a coefficienti parametrici}.

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Stabilire il segno di $t=kx^2+3x-7$ al variare di $ k $.

Prendiamo in considerazione il segno del coefficiente del termine di secondo grado e il segno del discriminante dell'equazione associata $kx^2+3x-7=0$. Il coefficiente del termine di secondo grado è maggiore di zero per $k>0$. Il discriminante $\Delta =9+28k$ è positivo per $k>-\frac 9{28}$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig019_seg.pgf}
\end{center}
\begin{enumerate}[label=(\Alph*)]
\item $k<-\frac 9{28}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo così come il discriminante, la parabola volge la concavità verso il basso e non ha zeri reali: il trinomio è negativo per qualunque valore reale di $x$;
\item $k=-\frac 9{28}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è uguale a zero. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali coincidenti $x_1=x_2=\frac{14} 3$. Il trinomio si annulla per $x=\frac{14} 3$ mentre per qualunque altro valore di $x$ è negativo;
\item $-\frac 9{28}<k<0$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è positivo. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_1\vee x=x_2$; è positivo per $x_1<x<x_2$; è negativo per $x<x_1\vee x>x_2$;
\item $k=0$: il trinomio diventa un binomio di primo grado: $t=3x-7$ e quindi $t>0$ per $x>\frac 7 3$, $t<0$ per $x<\frac 7 3$, $t=0$ per $x=\frac 7 3$;
\item $k>0$: Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo così come il discriminante. La parabola ha concavità verso l'alto e due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_1\vee x=x_2$; è negativo per $x_1<x<x_2$; è positivo per $x<x_1\vee x>x_2$\emph{.}
\end{enumerate}
\end{esempio}
\pagebreak
\begin{esempio}
Stabilite al variare del parametro $k$ l'insieme soluzione della disequazione $x^2+kx+1<0$.

Prendiamo in considerazione il primo coefficiente (quello del termine di secondo grado) e il discriminante dell'equazione associata $x^2+kx+1=0$ e stabiliamo il loro segno: il primo coefficiente è 1 e quindi indipendente dal parametro e sempre positivo quindi la parabola volge sempre la concavità verso l'alto. Essendo il discriminante $\Delta =k^2-4$ si hanno soluzioni reali per $k\le -2\vee k\ge 2$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig020_seg.pgf}
\end{center}
\begin{itemize*}
\item $k<-2\vee k>2$; il discriminante è positivo. L'equazione ha due zeri reali distinti: $x=x_1\vee x=x_2$ quindi $\IS=\{x \in \insR \mid x_1<x<x_2\}$;
\item $-2<k<2$; il discriminante è negativo. La parabola non ha zeri reali: $\IS=\emptyset$;
\item $k=-2\vee k=2$; il discriminante è nullo. In ognuno dei due casi la parabola ha un unico zero reale: $\IS=\{-1$, $1\}$.
\end{itemize*}
\end{esempio}
\end{exrig}

\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.24}, \ref{ese:4.25}, \ref{ese:4.26}}

\section{Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
Un numero è tale che sottraendo al suo cubo il suo triplo si ottiene un valore maggiore del triplo del suo quadrato aumentato di $4$. Qual è il numero cercato?

La richiesta del problema implica la ricerca dell'insieme soluzione della disequazione $x^3-3x>3x^2+4$ di terzo grado nella variabile $x$. Scriviamo la disequazione in forma canonica, applicando i principi di equivalenza: $x^3-3x^2-3x-4>0$. Si tratta di una disequazione polinomiale di terzo grado.

Procediamo nella scomposizione in fattori del polinomio $p(x)=x^3-3x^2-3x-4$. Mediante la regola di Ruffini possiamo determinare un suo zero $x=4$ e dunque ottenere $p(x)=(x-4)(x^2+x+1)$.

Determiniamo il segno dei singoli fattori: il primo fattore $f_1=x-4>0\:\Rightarrow\: x>4$; il secondo fattore $f_2=x^2+x+1>0$ è una disequazione di secondo grado. Il primo coefficiente è positivo, quindi la parabola volge la concavità verso l'alto, e il discriminante $\Delta =1-4=-3$ è negativo, pertanto l'equazione associata non ha zeri reali, dunque $f_2$ è positivo per qualunque valore reale di $x$. Costruiamo la tabella dei segni:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig021_seg.pgf}
\end{center}
$\IS=\{x\in \insR \mid x>4\}=(4$, $+\infty)$.
\end{esempio}
\end{exrig}

\begin{procedura}
Risolvere le disequazioni di grado superiore al primo:
\begin{enumeratea}
\item scomporre il polinomio di grado $n$ in fattori di primo e secondo grado;
\item studiare il segno dei singoli fattori;
\item costruire la tabella dei segni;
\item cercare gli intervalli in cui il polinomio dato assume il segno richiesto.
\end{enumeratea}
\end{procedura}

\begin{exrig}
\begin{esempio}
$-2x(3-2x)-3x^2\left(2-\dfrac 3 2x\right)\ge 5\left(2x^2-\dfrac 3{10}x\right)$.

Osserviamo che la disequazione proposta è polinomiale di terzo grado; eseguiamo i calcoli per portarla alla forma $p(x)\ge 0$. Si ottiene $3x^3-8x^2-3x\ge 0$ e con la scomposizione si ha $x\cdot (3x^2-8x-3)\ge 0$. Procediamo con lo studio dei segni dei singoli fattori: $f_1=x\ge 0$ e $f_2=3x^2-8x-3\ge 0 \:\Rightarrow\: x\le -\frac 1 3\vee x\ge 3$ e compiliamo la tabella dei segni, che lasciamo fare al lettore.
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig022_seg.pgf}
\end{center}
Otteniamo: $\IS=\left\{x\in \insR \mid -\frac 1 3\le x\le 0\vee x\ge 3\right\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
$64x^6-1<0$.

Il binomio al primo membro è una differenza di quadrati, quindi scomponendolo si ottiene: $64x^6-1=(8x^3-1)(8x^3+1)=(2x-1)(4x^2+2x+1)(2x+1)(4x^2-2x+1)$.

Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori: $f_1=2x-1>0\:\Rightarrow\: x>\frac 1 2$; $f_2=4x^2+2x+1>0\:\Rightarrow\: \forall x\in \insR$; $f_3=2x+1>0\:\Rightarrow\: x>-\frac 1 2$; $f_4=4x^2-2x+1>0\:\Rightarrow\: \forall x\in \insR$ e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.
\end{esempio}

\begin{esempio}
$x^4-4x^2-45>0$.

Il trinomio al primo membro è di quarto grado; sappiamo che con la sostituzione $x^2=t$ può essere ricondotto ad un trinomio di secondo grado la cui scomposizione in fattori risulta $(t-9)\cdot (t+5)$ e quindi la disequazione assegnata diventa: $(x^2-9)\cdot (x^2+5)>0$.

Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori $f_1=x^2-9>0\:\Rightarrow\: x<-3\vee x>3$ e $f_2=x^2+5>0\:\Rightarrow\: \forall x\in \insR$ per poi determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.
\end{esempio}
\end{exrig}
\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.27}, \ref{ese:4.28}, \ref{ese:4.29}, \ref{ese:4.30}, \ref{ese:4.31}, \ref{ese:4.32}, \ref{ese:4.33}, \ref{ese:4.34}, \ref{ese:4.35}, \ref{ese:4.36}, \ref{ese:4.37}, \ref{ese:4.38}, \ref {ese:4.39},}

\vspazio\ovalbox{\ref{ese:4.40}, \ref{ese:4.41}, \ref{ese:4.42}, \ref{ese:4.43}, \ref{ese:4.44}, \ref{ese:4.45}, \ref{ese:4.46}, \ref{ese:4.47}, \ref{ese:4.48}, \ref{ese:4.49}, \ref{ese:4.50}}
\pagebreak
\section{Disequazioni fratte}

Ricordiamo che una disequazione è \emph{frazionaria} o \emph{fratta} quando il suo denominatore contiene l'incognita.
\begin{procedura}
Soluzione di una disequazione frazionaria:
\begin{enumeratea}
\item applicando il primo principio di equivalenza si trasportano tutti i termini al primo membro e si calcola il risultato dell'equazione assegnata $E(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$;
\item si determinano le condizioni di esistenza ponendo $D(x)\neq 0$;
\item impostiamo la disequazione nella forma $\frac{N(x)}{D(x)}\ge 0$, $\frac{N(x)}{D(x)}\le 0$, $\frac{N(x)}{D(x)}>0$ o $\frac{N(x)}{D(x)}<0$ a seconda del quesito posto da problema;
\item si studia il segno del numeratore e del denominatore, ponendo $N(x)>0$ oppure $N(x)\ge 0$ (a seconda della richiesta) e $D(x)>0$;
\item si costruisce la tabella dei segni, segnando con un punto pieno gli zeri della frazione, se richiesti;
\item si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.
\end{enumeratea}
\end{procedura}

Vediamo attraverso alcuni esempi come procedere.
\begin{exrig}
\begin{esempio}
Data l'espressione $E=\dfrac 4{4x^2-1}+\dfrac 1{2x+1}+\dfrac x{1-2x}$ determinarne, al variare di $x$ in $\insR$, il segno.

\emph{Osservazioni preliminari}
\begin{itemize*}
\item L'espressione assegnata è frazionaria, quindi lo studio del segno deve essere circoscritto ai valori di $x$ del dominio $\Dom$ dell'espressione stessa;
\item studiare il segno di una espressione letterale significa stabilire in quale insieme si trovano i valori della variabile che la rendono positiva, negativa, nulla;
\item ogni espressione contenente operazioni tra frazioni algebriche ha in generale come risultato una frazione algebrica.
\end{itemize*}

\emph{Strategia risolutiva}
\begin{enumeratea}
\item semplifichiamo l'espressione assegnata: $E=\frac{-2x^2+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}$;
\item determiniamo il dominio: $\CE\, 2x+1\neq 0\;\wedge\; 2x-1\neq 0\:\Rightarrow\: \Dom=\insR-\left\{-\frac 1 2\text{, }\frac 1 2\right\}$;
\item impostiamo la disequazione: $\frac{-2x^2+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}\ge 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;
\item studiamo il segno di numeratore $N$ e denominatore $D$:
 \begin{itemize*}
\item segno di $N$: $-2x^2+x+3\ge 0$ disequazione di secondo grado, quindi dall'equazione associata $-2x^2+x+3=0$, calcoliamo il discriminante: $\Delta =1+24=25$, positivo per cui si hanno due soluzioni reali distinte; la parabola $y=-2x^2+x+3$ ha concavità verso il basso, per cui essendo $x_1=-1$ e $x_2=\frac 3 2$ si ha $N\ge 0$ per $-1\le x\le \frac 3 2$;
\item segno di $D$: il denominatore è composto da due fattori di primo grado $d_1$ e $d_2$, quindi $d_1>0$ per $x>-\frac 1 2$ e $d_2>0$ per $x>\frac 1 2$;
 \end{itemize*}
\pagebreak
\item costruiamo la tabella dei segni:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig023_seg.pgf}
\end{center}
\item dalla tabella dei segni possiamo ottenere la risposta al problema posto:
\begin{itemize*}
\item l'espressione $E$ si annulla per $x=-1\vee x=\frac 3 2$;
\item l'espressione $E$ è positiva per $x\in A=\left\{x\in \insR \mid -1<x<-\frac 1 2\vee \frac 1 2<x<\frac 3 2\right\}$;
\item l'espressione $E$ è negativa per $x\in B=\left\{x\in \insR \mid x<-1\vee -\frac 1 2<x<\frac 1 2\vee x>\frac 3 2\right\}$.
\end{itemize*}
\end{enumeratea}
\end{esempio}

\begin{esempio}
Determiniamo l'insieme soluzione della disequazione: $3-\dfrac 1{2x+1}\ge \dfrac 1{1-x}$.
\begin{enumeratea}
\item Trasportiamo al primo membro la frazione del secondo membro $E=3-\frac 1{2x+1}-\frac 1{1-x}$ ed eseguiamo i calcoli ottenendo: $E=\frac{-6x^2+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}$;
\item determiniamo il dominio: $\CE\; 2x+1\neq 0\;\wedge\; 1-x\neq 0 \:\Rightarrow\: \Dom=\insR-\left\{-\frac 1 2\text{, }1\right\}$;
\item impostiamo la disequazione: $\frac{-6x^2+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}\ge 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;
\item studiamo il segno del numeratore e del denominatore:
\begin{itemize*}
\item segno di $N$: $-6x^2+2x+1\ge 0$ disequazione di secondo grado, quindi scritta l'equazione associata $-6x^2+2x+1=0$, calcoliamone il discriminante: $\frac{\Delta } 4=7$, positivo per cui si hanno due soluzioni $x_{1\text{,}2}=\frac{1\pm \sqrt 7} 6$; essendo il primo coefficiente negativo si ha $N\ge 0$ per $\frac{1-\sqrt 7} 6\le x\le \frac{1+\sqrt 7} 6$;
\item segno di $D$: $-2x^2+x+1>0$ disequazione di secondo grado; il denominatore ha due zeri reali $x=-\frac 1 2$ e $x_2=1$, il primo coefficiente è negativo, pertanto $D>0$ per $-\frac 1 2<x<1$ che rispetta le $\CE$: $x_1\neq -\frac 1 2\;\wedge\; x_2\neq 1$;
\end{itemize*}
\item compiliamo la tabella dei segni:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig024_seg.pgf}
\end{center}
\item determiniamo $\IS=\left\{x\in \insR \mid x<-\frac 1 2\vee \frac{1-\sqrt 7} 6\le x\le \frac{1+\sqrt 7} 6\vee x>1\right\}$.
\end{enumeratea}
\end{esempio}
\end{exrig}

\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.51}, \ref{ese:4.52}, \ref{ese:4.53}, \ref{ese:4.54}, \ref{ese:4.55}, \ref{ese:4.56}, \ref{ese:4.57}, \ref{ese:4.58}, \ref{ese:4.59}, \ref{ese:4.60}, \ref{ese:4.61}, \ref{ese:4.62}, \ref {ese:4.63},}

\vspazio\ovalbox{\ref{ese:4.64}, \ref{ese:4.65}, \ref{ese:4.66}, \ref{ese:4.67}, \ref{ese:4.68}, \ref{ese:4.69}, \ref{ese:4.70}}

\section{Sistemi di disequazioni}

Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l'insieme dei numeri reali che sono le soluzioni comuni alle disequazioni che lo compongono. Indicate con $d_{1}$, $d_{2}$, \ldots, $d_n$ le disequazioni che formano il sistema e $\IS_{1}$, $\IS_{2}$, \ldots, $\IS_n$ i rispettivi insieme soluzione, la soluzione del sistema, indicata con $\IS$, è data da $\IS=\IS_1\cap \IS_{2}\cap \ldots \cap \IS_n$.

\begin{problema}
Nell'equazione $x^2-(k-3)x+k^2-3k+1=0$, determinare per quali valori del parametro $k$ si ottengono soluzioni reali e concordi.
\end{problema}
Abbiamo già affrontato un problema di questo tipo discutendo le equazioni parametriche di secondo grado e dunque sappiamo che la richiesta del problema esige che il discriminante ($\Delta$) sia non negativo affinché le soluzioni siano reali e che il prodotto delle stesse sia positivo. Pertanto il problema è formalizzato con un sistema di disequazioni: $\left\{\begin{array}{l}{\Delta \ge 0}\\{\frac c a>0}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{k^2-6k+9-4k^2+12k-4\ge 0}\\{k^2-3k+1>0}\end{array}\right.$.

Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema; indicati con $\IS_1$ e $\IS_2$ rispettivamente gli insiemi soluzione della prima e della seconda disequazione, l'insieme soluzione del sistema è dato da $\IS=\IS_1\cap \IS_2$ (insieme intersezione degli insiemi soluzione delle due disequazioni).
\begin{itemize*}
\item $d_1$: $-3k^2+6k+5\ge 0$ disequazione di secondo grado avente primo coefficiente negativo e $\frac{\Delta} 4=24>0$; la parabola $y=-3k^2+6k+5\ge 0$ ha concavità verso il basso e discriminante positivo, per cui essendo $x_1=\frac{3-2\sqrt 6} 3\vee x_2=\frac{3+2\sqrt 6} 3$ si ottiene $\IS_1=\left\{x\in \insR \mid \frac{3-2\sqrt 6} 3\le x\le \frac{3+2\sqrt 6} 3\right\}$.
\item $d_2$: $k^2-3k+1>0$ disequazione di secondo grado avente il primo coefficiente positivo e $\Delta =5>0$; la parabola $y=k^2-3k+1>0$ ha concavità verso l'alto e discriminante positivo, quindi $x_1=\frac{3-\sqrt 5} 2\vee x_2=\frac{3+\sqrt 5} 2 \:\Rightarrow\: \IS_2=\left\{x\in \insR \mid x<\frac{3-\sqrt 5} 2\vee x>\frac{3+\sqrt 5} 2\right\}$.
\end{itemize*}
Per determinare l'insieme soluzione del sistema rappresentiamo in un grafico gli insiemi soluzioni delle disequazioni risolte e visualizziamo l'insieme formato dai valori che appartengono contemporaneamente ai due: sull'asse reale depositiamo i valori numerici trovati e rappresentiamo su righe distinte i due insiemi soluzione: gli intervalli in cui cadono soluzioni della prima e della seconda disequazione rappresentano l'insieme soluzione del sistema.
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig025_seg.pgf}
\end{center}
 $\IS=\left\{x\in \insR\mid\frac{3-2\sqrt 6} 3\le x<\frac{3-\sqrt 5} 2\vee \frac{3+\sqrt 5} 2<x\le \frac{3+2\sqrt 6} 3\right\}$. % o, scritto utilizzando gli intervalli, $\left[\frac{3-2\sqrt 6} 3\text{, }\frac{3-\sqrt 5} 2\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt 5} 2\text{, }\frac{3+2\sqrt 6} 3\right]$.

\pagebreak
\begin{problema}
Risolvere il seguente sistema di disequazioni: $\left\{\begin{array}{l}2x^3-9x^2+10x-3\le 0\\ \frac{x^2+x+1}{\ x^3-x}\ge 0 \\3-4x<0 \end{array}\right.$.
\end{problema}

Il sistema è formato da tre disequazioni; risolviamo separatamente ciascuna disequazione:

\begin{itemize*}
\item $d_1$: $2x^3-9x^2+10x-3\le 0$ di terzo grado, scomponiamo in fattori. $x=1$ è uno zero del polinomio quindi con la regola di Ruffini otteniamo $d_1$: $(x-1)(2x^2-7x+3)\le 0$. L'equazione di secondo grado $2x^2-7x+3=0$ ha soluzioni reali $x_1=\frac 1 2\;\vee\; x=3$. Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig026_seg.pgf}
\end{center}
L'insieme soluzione, tenendo conto che cerchiamo i valori per i quali $d_1$ risulta minore o uguale a $0$ è $\IS_1=\left\{x\in \insR \mid x\le\frac 1 2\vee 1\le x\le 3\right\}$.

\item $d_2$: $\frac{x^2+x+1}{x^3-x}\ge 0$ è una disequazione fratta, per prima cosa scomponiamo in fattori il denominatore: $\frac{x^2+x+1}{x(x^2-1)}\ge 0$.
Studiamo poi il segno dei singoli fattori o divisori, tenendo conto che $x^2+x+1=0$ ha $\Delta <0$, per cui $x^2+x+1$ è sempre positivo.
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig027_seg.pgf}
\end{center}
L'insieme soluzione, per $d_2\ge 0$ è $\IS_2=\left\{x\in \insR \mid -1<x<0\vee x>1\right\}$.
\item $d_3$: $3-4x<0$ è di primo grado per cui l'insieme soluzione è $\IS_3=\left\{x\in \insR \mid x>\frac 3 4\right\}$.
\end{itemize*}
Ricordiamo che la ricerca dell'insieme soluzione del sistema si effettua determinando l'insieme $\IS_1\cap \IS_2\cap \IS_3$ individuabile attraverso il grafico:
\begin{center}
 \input{./lbr/chap04/fig028_seg.pgf}
\end{center}
Il sistema è quindi verificato per $1<x\le 3$.

\vspazio\ovalbox{\risolvii \ref{ese:4.71}, \ref{ese:4.72}, \ref{ese:4.73}, \ref{ese:4.74}, \ref{ese:4.75}, \ref{ese:4.76}, \ref{ese:4.77}, \ref{ese:4.78}, \ref{ese:4.79}, \ref{ese:4.80}, \ref{ese:4.81}}
\newpage
\input{./chap/04_esercizi}
\cleardoublepage
