موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نواصل سيكشن تسعة تلاتة وهي
Properties of Laplace Transforms المرة اللي فاتت
ذكرنا خواص Laplace Transform وشرحنا هذه الخواص وهي
الخواص كتبتها قدامكوا على اللوح بالإضافة للخاصية
الأولى هي خاصية ال linearity والخاصية السادسة وهي
خاصية Laplace of Differentiation هذه المقالات
ذكرتها في قسم قبله يبقى لا داعي لإعادة كتابتها
الآن سأحاول كيف أستخدم هذه الخواص سأخد أمثلة على
كيفية استخدام هذه الخواص بيقول المثال هو find the
Laplace Transform لكل من الدوال التالي واحنا الآن
سناخد بدل دل عشر دوال والله تسعة نوجد لبلاس
ترانسفورم لهم بس كل دالة مختلفة عن مين عن الدالة الأولى
الثانية إذا بدي أخد لبلاس ترانسفورم لدالة F of T
أول خاصية خاصية ال linear تبقى linear للابلاس الأول
زي دابلاس الأول ثاني زي دابلاس الثاني مضروبة في
كونستانت تبقى كونستانت بتطلعها برا تبقى للخاصية الأولى
يبقى هذا بتساوى تلاتة Laplace transform لل E-2T ناقص
اتنين لبلاس ترانسفورم لإيه-T زائد اربعة لبلاس
ترانسفورم لـ Sin 3T هذه لبلاس ال F of T قولنا
بنعطيها رمز capital F of S هذه تساوي تلاتة فيه ال
exponential ET لبلاس ترانسفورم واحد على S ناقص
المعامل تبعتي اللي هو جداشواحد صحيح هنا ناقص اتنين
وهنا واحد على اس ناقص ناقص واحد يبقى بيصير جداش
زائد واحد وهنا زائد اربعة فيه ال Laplace لـ Sin تلاتة
تين وقولنا هو عبارة عن تلاتة على اس تربيع زائد
مربع التلاتة اليومين اللي هو تسعة يبقى يجب ان انا
اخد عوامل مشتركة و اجمع بهمنيتش هذا كل شغل تحصيل
حاصل شغل رابع ابتدائي يبقى جمع زي ما بدك ماعندكش
مشكلة ابنجي الان للمثال الذي يليه المثال الذي
يليه نمرة اتنين بيقول ال H(T) بدها تساوي ال E2T أس
اتنين T في Sin 3T بدي احسب لبلاس ال transform
لها فبجي بقول لبلاس لل H(T) أو بقول capital H(
T) يبقى هو عبارة عن capital H(T) H(S) capital H
of S بال D7 بدأت أطلع على الدالة اللي عندناها دي
بدلا plus inها exponential في sign بقى دي بطلع في
هدول كلهم فش exponential في sign لكن في عندي
exponential فى الـ function مين ما يكون شكلها يكون
تمام؟ يبقى الـ function عندي مهم اللى هى الـ sine
ايش بيقولى؟ بيقولى بدك اللى هى ال F(S) ناقص الـC
يعني بدي اجيب لل F(T) اجيب لها plus ال transform
لها و بعدها اعمل لها shift بمقدار من؟ بمقدار الـC
إذا أنا هذه بدي أجيب لابلاس ترانسفورم لها على شجة
لو جيت قولت هذا لابلاس ترانسفورم أو هذا capital F
of S و الله بدي أخد مين؟ بدي اخد ال F(T) اللي
عندى ال F(T) اللي هي من Sin 3T يبجى capital
F(S) اللي هو من تلاتة على اس تربيه زائد تسعة
مظبوط الان هذه
هههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه
يبقى هذا الكلام بده يساوي تلاتة على S ناقص اتنين
الكل تربيع زي التسعة انت هنا من المثلة يبقى أنا
بمسك القاعدة و بطبق القاعدة حرفيا
السؤال الرقم تلاتة بيقول ال H(T) بيساوي E-3T أص
ناقص تلاتة T في من في T4 بدي لبلاس
ترانسفورم لهذه الدالة باجي بتطلع exponential
بالسالب ماعنديش ماني ماشترطش ل C تكون هادي موجبة
يعني ممكن تكون موجبة و ممكن تكون سالبة يبقى هاي ال
exponential موجود غطيت ال exponential مين بيظل ال
F(T)؟ T4 يبقى انا عند ال F(T) بده ساوي T
أس أربعة لو جبتلها Laplace transform اللي هو
capital F(S) اللي هبدي Laplace transform ل T أس
أربعة اعطيتها لك المرة اللي فاتت في الجدول، مظبوط؟
اتطلع عندك في الجدول اللي هو أبو التسع نقاط باجي
باطل على الجدول أبو تسعة نقاط، بلاقي عند النقطة
الأولى اللي T to the power N مكتوب عندك عنوان some
basic Laplace transform اللي همين عندك T to the
power N طبعا احنا في الامتحان هتجيك الورقة هذه
مصورة تمن عشر دالة و Laplace transform لمين لهذه
الدولة يبقى بتوجب الدولة زي ما احنا بندور هيك الآن
أنا عندي T to the power N مش بتروح أحسبها من أول و
جديد لأ بروح على الجدول بلاقي ال Laplace transform
اللي مكتوب معاكي المرة اللي فاتت أول واحدة فيهم
اللي هو N factorial على S أس N زائد واحد يبقى هنا
جديش ال N عندي يا بنات يبقى هاي أربعة factorial على
S أس أربعة زائد واحد يعني أربعة factorial على S أس
خمسة تمام؟ الحين نيجي هادي لل exponential في ال F
of T بيقول ال F(S) ناقص ال C هادي ال F(S) إذا
بدي أشيل كل S و أكتب مدالها مين S ناقص الـC S ناقص
ناقص ثلاثة يعني S زائد تلاتة يبقى هذا الكلام بده
يساوي أربعة factorial على S زائد تلاتة كله to the
power five بالشكل اللي عندنا هذا
الان بدنا نيجي ل ال exercises رقم اللي هو تلاتة
أربعة بدنا لو كانت ال H(T) هي عبارة عن T في E3T أس
ثلاثة T في Cos2 T هذا السؤال أجي في امتحان
2005
طبعا سؤال مش بسيط و بدنا لبلاس ترانسفورم لانه تمسك
ال list من أولها لأخرها بتلاقيش اللي هو الشكل اللي
عندي انا لكن دبر حالك باجي بقولك و Cos2 انا
بدي حاول اتخلص منها ماذا يعني كوصين تربيه؟ هي عبارة
عن T في E3T في نص في واحد زائد كوصين
اتنين T الشكل اللي عندنا هذا أو ان شئتم فقولوا هي
نص في T في E3T زائد كمان نص T E3T
في Cos 2T طب إن Laplace transform
لهذه الدالة يبقى هذه H(S) بده يساوي نص في
Laplace transform ل T في E3T زائد كمان نص
في Laplace transform ل T في E3T في Cos 2T بهذا
الشكليبقى انا بدي لبلاس ال transfer لمجموع دالتين
و ليس لدلة واحدة، اذا اول خاصية خاصية linearity ال
main يبقى all constant في لبلاس الأول زي ال
constant في لبلاس الثاني، اذا هي نص في لبلاس
الأولى زي نص في لبلاس الثانية بالدالي هذه التي في
ال exponential لازلت مع مين؟ مع الأولى هذا ال
exponential في مين؟ في ال F(T) يبقى F(T) هنا
بمين يا بنات؟ الـ T وهي الـ exponential يبقى هنا ال
F(T) اللي هي الدالة اللي عندنا هذه يبقى للجزء
الأول هدهها لبلاس ترانسفورم اللي همين؟ واحد
factorial على S تربيع طالع عندك برضه من أول خاصية
من الخواص T to the power N هنا ال N بجداش واحد
يبقى بطبق اللي هو التسعة بعد الست خواص اللي هو some
basic ل Laplace transform أول واحدة فيهم يبقى ال N
بواحد يبقى واحد factorial على مين على S تربيع
مضروبة في ال exponential يبقى بدي اكتف هاي لـ Laplace
للدالة ال F(T) جبته بدي اشيل كل S و اكتف مكانها
ال S ناقص ال C ال C عندي قداش؟ بتلاتة يبقى هذا
الكلام بده يساوي نص في مين؟ في واحد factorial اللي
هو بواحد على S ناقص تلاتة لكل تربيع خلصنا منه زاد
نص واستنى شوية هذه ليست دلتين، هي تلت دوال لكن واضح
خد ال exponential على الشجة اللي بيظل هو من؟ هو ال
F(T) يبقى ال F(T) عندي في ال H مش هيك F(T)
اللي هي T في Cosine 2T بظبط؟ T في Cosine
2T نعود للجدول لانه يوجد هنا T to the power of
N في Exponential ولا لا
T في ال Cosine يبقى T في ال Cosine بتطلع في الجدول
اللي احنا كتبنا فيها ان ال Cosine صحيح بس مافيش
فيها T ولا Exponential ولا غيره لكن لو روحت
للخاصية رقم 4 سابت التسعة نقاط و راحت للخاصية الرقم
أربعة الخاصية الرقم أربعة اللي بتقول لي T to the
power N في ال F(T) مش ينطبق عليها هذه ولا لا؟ T
to the power of N في F(
T)
يبقى ما تصير هذه هي ال F(T) مظبوط؟ يبقى لما أجي
أقول هذه هي ال F(T) بدي ال F(S) يبقى ال F(S)
في هذه الحالة ال F(S) يساوي ال Cosine اللي عبارة
عن S على S تربيع زائد 4 مظبوط؟ طب هذا إيش بيقوللي؟
بيقول إن سالب واحد to the power n في مشتقة ال F(
S) يبقى أنا لما نبدي ال G(S) بده يساوي بدي اجعل
هذه و اقول سالب واحد to the power n يبقى هذا سالب
واحد أس كده واحد في مشتقة مين هذه؟ في d/dS
لمن؟ لل S على S تربيع زائد أربعة هذه بدأت تساوي هي
السالب برا وهذه المقام في مشتقة البسط ناقص البسط
في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي الشكل اللي
عندنا هنا
طيب نيجي نكمل، خلي بالكوا هنا هذه يا بنات ناقص
اتنين تربيع و تربيع بيظل كده؟ ناقص تربيع،
وعندي ناقص برا، بيظل تربيع بالموجب هذه الأربعة
في الشغل، لو في ناقص برا، بيصير ناقص أربعة المقام
اللي هو التربيع زائد أربعة لكل تربيع يبقى هذا G
of S يبقى Laplace transform لهذه الدالة طيب نرجع
لمين لمسألتنا مسألتنا قلنا ال G(T) اللي هي T في
Cos T يعني كأن المسألة هذه زائد نص Laplace
transform لل E3T في T في Cosine 2T
كاينة هذه كلها اللي هي main الـ G(T) يبقى صارت
هذه كلها G(T) وهذه E3T برجع للخاصية
اللي exponential فى function يبقى اللي اللي بده
يجيب Laplace transform لهذه ال function وقد اتيته
بيه يبقى ده اللي عمله بس ايش بكون حصلت على المطلوب
يبقى هذا بدي أعمله shift بمقدار كده؟ بمقدار تلاتة
يبقى هذا الكلام زائد نص في ال S ناقص تلاتة لكل
تربيع ناقص أربعة على S ناقص تلاتة لكل تربيع زائد
أربعة لكل تربيع بالشكل اللي عندنا هنا
يبقى هذا الـ Laplace transform لهذه الدالة، اه دي
لبالك يعني، هذا مش سؤال أجيب، بس مش أنا اللي جبته،
حط السؤال لدكتور هشام مدي، قال ليه؟ أما كنتش أنا
شريك كل حاله في المساق، فقام حط السؤال هذا في
الامتحان النهائي
ننتقل للنقطة الرقم 4 والنقطة الرقم 5 يبقى النقطة
رقم خمسة أو السؤال المثال رقم خمسة بيقول لمين؟
بيقول الدالة K(T) بدها تساوي تكامل من Zero إلى T
لـ Sin 2U دي U علي
بالك هنا الآن انا لدي K(T) بدي أسوي تكامل من 0
إلى T لـ Sin 2U dU بدي
طب بصبوط؟ طلع هنا بيقول بتاخدي الدالة هذه و
بتجيبليها لبلاس ترانسفورم تضربها في واحد على اس
يبقى هاي ضربت في واحد على اس وهي لبلاس ترانسفورم
لهذه الدالة الشكل الآن أنا بتضربه و حاح اسمه يبقى
هذا T to the power N في الـ exponential باجي بطلع
عندي T to the power في الـ exponential ما عنديش T to
the power N في الـ exponential لكن لو روحنا على
الجدول اللي أعطاناكوا ياه المرة اللي فاتت T to the
power N في الـ exponential رقم 9 مظبوط يبقى T to the
power N في الـ exponential اللي هي main N factorial
على S ناقص A to the power N plus one والـ N قولنا
is a positive integer طبعا هذه رقمها T to the power
inflex هو رقمها في الجدولة رقم 11 في الجدولة هيوزع
عليكم هذه لكن احنا في الخاصية رقم 9 بهمني ان
الرقم بهمني الدالة وين ألاقي الدالة وكيف أطبقها
يبقى باجي هذه هه هذا الكلام بده يساوي واحد على اس
لبلاس ترانسفورم من T to the power يبقى N factorial
جدش الـ N عندنا منها يبقى اتنين factorial على مين
على S ناقص الـ A يبقى الـ S ناقص الـ A اللي هو
المعامل تبع الـ T يبقى اللي هو واحد وهنا بقول اس
كده اس تلاتة بالشكل اللي عندنا هذا أو أن شئتوا
فبقولوا مضروب اتنين اللي هو اتنين في واحد باتنين
على S في S ناقص واحد لكل
النقطة السابعة
النقطة السابعة بدنا الـ F of T بدنا نغيرلكوا الشكل
شوية بدو يعطيني يا إما Zero لما T أكبر من Zero أقل
من Pi يا إما الـ Sin T ناقص الـ Pi لما الـ T greater
than Pi بدي لبلاس ترانسفورم لهذه الدالة المجزئة إلى
جزءين بدي بطلع فيه عندي، اه فيه هي موجودة معمول لها
shift يبقى
هذه الصورة طبق الأصل من المثلة اللي عندنا هذه يبقى
باجي على الخاصية اللي عندنا هذه يبقى باجي على
الخاصية اللي عندنا هذه و بدي أخد لبلاس ترانسفورم
لها يبقى لبلاس ترانسفورم للـ F of T F of S بالشكل
اللي عندنا هذا نيجي لبلاس لهذه الـ exponential
quiet يبقى ايش بيقولي بتقولي الـ exponential في الـ
F of S يعني بتيجي على الدالة هذه و بتجردها من الـ C
و بضرب اسمين F of T يبقى بالداجي اقوله هذه تساوي
أقص ناقص الـ C عندي بقدراش بي باي و هاد الـ S و بدي ل
place transform لـ sign الـ T أنا أطبق الخاصية رقم
خمسة دالة مجزاة بالشكل هذا يبقى exponential
المعامل تبع الـ S اللي هو مقدار الـ shift اللي عندنا
مقدار الـ C يبقى هذا E أوس ناقص by S في الـ F of S
بتجيب Laplace لدالة هذه بدون C يبقى هي Laplace هذه
لدالة بدون Shift تمام؟ إذن النتيجة تساوي EOS ناقص
by S لبلاسترانسفورم للصين اللي هو واحد على S تربيع
زائد واحد لأن المعامل تبع الـ T هنا واحد يبقى
انتهينا منها أو إن حبيت تقولي EOS ناقص by S على S
تربيع زائد واحد ما في مشكلة دي والله دي نفس الشيء
لكن يا بنات أحيانا في المسألة بيجي الـ shift زيك
انت بدك تخلق shift في المسألة انت لوحدك مش هنقدر
نطبق منهم هذه الخاصية زي ايش مثلا خديلك السؤال رقم
8 يبقى تمانية بيقول الـ F of T بدي اسوي أحد أمرين، يا
إما Zero لما T أكبر من Zero أقل من واحد، يا إما T
تربيع لما T greater than one
مشكلة ان دالة مجزئة لجزئين مثل ما هي عندنا بس هذه
معمولة لها shift وهذه مش معمولة لها shift عند
الواحد يبقى مشان أقدر أطبق هذه القصة يبقى أنا بدي
أعمل الها شفت عند الواحد هقول كويس هدي مشان أعمل
الها شفت بدها تبقى T ناقص واحد لكل تربيع طب T ناقص
واحد لكل تربيع ليه T تربيع ناقص اتنين T زائد واحد
يعني بقدر أقول هذه على صيغة zero لما T أكبر من
zero أقل من واحد T تربيع ناقص اتنين T زائد واحد
هذه الدالة هي هذه الدالة؟ لأ اللي روح أضفته بدك
تروح تطرحه يبقى باجي بقوله زائد اتنين T ناقص واحد
و T اكبر من الواحد عملت حاجة؟ لأ يبقى ناقص اتنين T
هي زائد اتنين T زائد واحد هي ناقص واحد يبقى أضفت
Zero يبقى أنا مغيرتش ولا حاجة من هنا فضلي
عن الـ shift عندي شايف الواحد هذا مظبوط سألت قولتلك
هذه مشان يكون لها shift عند الواحد بتبقى T ناقص
واحد لكل تربيع تي ناقص واحد لكل تربيع مين هي اللي
تي تربيع ناقص اتنين T زائد واحد يبقى بالزمن ناقص
اتنين T زائد الواحد يبقى روحت أضافت ناقص اتنين T
زائد واحد اللي أضافته بدي أروح أطرحه يبقى بصير زائد
اتنين T ناقص الواحد، واضحة؟ طيب، حد بتسأل تاني؟
لسه ما كملناش، لسه فيكمال لعبة تاني، مش على جد هيك
T تربيع
لحال ناقص واحد بتكون جبتي صيغة الـ shift اللي عندك
هذا؟ أنا بدي T تربيع ناقص اتنين T زي واحد لأن هذي
عبارة عن T ناقص واحد لكل تربيع مش T تربيع ناقص
واحد بدي T ناقص واحد لكل تربيع تصير كلام صحيح بكون
فعلا عملنا shift لمين لدالة اللي عندنا هذا مش T
تربيع ناقص واحد هذا هو الـ shift لأ مش هيك هذي
بتكون T ناقص واحد لكل تربيع تمام؟ طيب يبقى المثال
هذه صارت على الشكل التالي الـ F of T لازالت تساوي
يا اما Zero لما T اكبر من Zero اقل من واحد هذه يا
بنات اللي هي مين اللي هي T ناقص واحد لكل تربيع
بيظلوا هدول هل هدول جابولي shift؟
هذه شفت تماما وهذه لا تزال فيها مشكلة اه لكن لو
كانت هذه اتنين لصرت قصتي محلولة يبقى معناته بدي
أطرح واحد وأضيف واحد انتبه ان حلت المشكلة صحيح ولا
لا يبقى هذه ايش بيصير يبقى زائد اتنين T ناقص اتنين
زائد واحد يبقى شامل أضفت واحد سالب واحد موجب
وبالتالي مشكلة انحلت وبالتالي هذا الكلام لم تي
أكبر من الواحد يبقى الشكل الجديد للدالة هو zero
وهنا لما T أكبر من Zero أقل من واحد هذا T ناقص
واحد لكل تربيع هنا لو أخدت اتنين عامل مشترك بيظل
عندي T ناقص واحد وهنا زائد واحد وهنا T أكبر من
الواحد يبقى هذه الدالة معمول لها shift الآن،
مظبوط، يبقى صار الدالة هذه تكافئ الدالة الأصلية،
بس معمول لها الـ shift تماما و بدون أي مشكلة، كلام
سليم مئة بالمئة يبقى الدالة مش معمول لها shift انت
بدك تعمليها shift طب shift علي أعمل بمزاجي؟ لأ انت
مقيد بالرقم اللي عندك يعني أنا بدي أطلع الرقم اللي
عندي يكون وين في المثلة أو الـ shift بمقدار هذا
الرقم يبقى عملنا هذا shift إذن برجع بقول هاي الدالة
ومعمل لها shift يبقى الـ exponential في Laplace
الـ transform للدالة إذا بدي أجي للدالة الأصلية اللي
عندنا مين تقدر تقولي مين هي الدالة الأصلية اللي
عندنا هنا يا بنات G of T تساوي ايش الدالة هذه قبل
الـ shift مين الدالة هذه قبل الـ shift T تربيع أي
واحد زائد اتنين T زائد واحد يعني الـ shift اللي
عندي يبقى هذه تضالة بدي لبلاس ترانسفورم لها بروح
بقوله يبقى الـ G of S يساوي T تربيع اللي هي اتنين
factorial على S تكعيب مظبوط؟ وهنا زائد اتنين في
واحد factorial على كده اش؟ على T على S تربيع على S
تربيع وهذه واحد الواحد على S طبعا 1 على S بالشكل
اللي قلنا عنه يبقى هاي جيب G of S ايش بيقولي هاي
الدالة exponential في الـ F of S يبقى هذه بتضروفها
بس في الـ exponential الـ exponential قداش مقدار الـ
C في مسألة هذه 1 يبقى بصير ان هنا capital F of S
بده يساوي اللي هو مين؟ اللي هو E أس سالب S لإن الـ
C عندي بده يشبه 1 في مين؟ في 2 على S تكعيب زائد 2
على S تربيع زائد 1 على S
اه يعني القضية مش سهلة مش تطلع بس قرص مرسم لكن
شغلي مخك حتى توصل لنصيغة ومن ثم ترسم رسم
عشان هذا هو السؤال الثامن بدنا نروح لسؤال التاسع
سؤال التاسع بيقول ما يأتي find Laplace
غالبهم أسئلة في الكتاب دي ريبالك هدول يعني ما جيبش
انهم غالبهم أسئلة من أسئلة التمرين يبقى find Laplace
transform
four المشتق الرابع لـ F إذا
كان الـ
F of zero بدي اساوي اتنين الـ F of 0 بده يساوي 2
والـ F prime of 0 بده يساوي الـ F double prime of
0 بده يساوي الـ F triple prime of 0 بده يساوي قداش
بده يساوي 0 طيب
خدي بالك هنا الآن أنا بدي solution بدي لبلاس
transform لمن؟ للمشتقة الرابعة as a function of T
بدالي
لخاصية السادسة اللي عندنا لبعد هذه يبقى باجي بقول
هذه تساوي S اس كدهش؟ S و اس اربع طلع عندك خاصية
السادسة طبعا هذه في الملزمة مناطق الصورة موجودة آخر
واحدة رقم 18 تعال يعني هتجيك في الامتحان جاهزة
معاكي يبقى هذه S أُس أربعة في مين؟ في capital F of
S ناقص استكيب في الـ F of Zero ناقص استربيع في الـ F
prime of Zero ناقص S في الـ F double prime of Zero
ناقص الـ F triple prime
of 0 هيك مكتوب معاكي؟ أصبح رقم ستة مظبوط يبقى احنا
طبقنا حرفيا النتيجة تساوي S أس أربعة زي ما هي في
capital F of S ناقص استكيب الـ F of Zero مطاب قداش
باتنين أظن الباقي ناقص Zero ناقص Zero ناقص Zero
كله مرة واحدة يبقى النتيجة تساوي S أُس أربعة في F
of S ناقص اتنين S تكعيب بالشكل اللي عندنا هذا
طبعا لو كنت بعرف ما هو شكل الـ F كان حسبت تاني ما
بعرفش خلاص خليها زي ما هي هكذا على هيك انتهى هذا
الـ section اللي هيكون أرقام المسائل يبقى هيها بدي
اكتبها لك فوق يبقى بالدالي لـ exercises تسعة تلاتة
المسائل اللي هو اتنين وتلاتة تلاتة تلاتة
تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
بدنا ننتقل الآن إلى section 9-4 اللي هو معكوس لـ
place transform اللي هو الـ inverse transforms
بقدر 3
لهذه الدالة كذلك exist وشكله بيعطيني يعني الدالة
الأصلية قبل ما ناخد لها Laplace transform هذا اللي
هو بيسميه الـ inverse Laplace transform بصيغ السطرين
مرة تانية بقول لبلاس inverse للـ F of S بدي ساوي F
of T إذا كان لبلاس للـ F of T عبارة عن F of S
بهمنا التطبيق اللي عمله كيف بدي أحسب اللي هو معكوس
لبلاس الـ transform لدا اللي تمها يعني لو ماعطيني
الدالة بدلالة F of S يعني ماعطيني لبلاس ترانسفورم
لدالة ما هل بنقدر نجيب الأصل ولا لأ هو هذا الموضوع
تبع هذا الـ section بقول مش هنجيب الأصل بدك تتبع
ثلاث خطوات، الخطوة الأولى بيجي تعمل partial fractions
ممكن ما تقدرش تعمل partial fractions أحيانا، يبقى
تدبر حالك من خلال المثال اللي قدامك وسأعطيك بدل
المثال اثنين على ذلك بعد قليل إن شاء الله، الثاني
بيستخدم اسم الـ table of values إذا كنت ما بدي
أرجع للجدول اللي قلنا بيجيك في الامتحان، النمرة
الثالثة بدي استخدم الخاصية أو الخاصية الخطية لـ
Laplace transform ومعكوس Laplace transform أول
مثال، قال لي هاتلي الدالة F of D لـ Laplace
transform اللي هي مواطعة، بقولكوا يا أسباجي بتطلع لو
روحت على الجدول ما لاقيتش ولا واحدة بالشكل هذا، يبقى
أول خطوة بدي إيه؟ بدي أفصلهم عن بعض، مشان أفصلهم عن
بعض، بدي أجي أقول هذا الكلام يساوي، بدي أعمله
Laplace Transform تبع Calculus بيه، يبقى باجي
بقوله هذا جوس اللي هو S وهذا مين؟ جوس ثاني، آه هذا
الجوس مكرر قد ايه؟ مرتين، إذا بدي أقول S زائد اثنين و
بدي أعمل كمان جوة S، S زائد اثنين الكل تربيع، هذا من
الدرجة الأولى، بقول A، هذا من الدرجة الأولى بقول B،
هذا من الدرجة الأولى ومكرر بقول C، طيب إذا بروح
أوجد الـ a والـ b والـ c، مش هان أوجد الـ a والـ b والـ
c، باجي على الـ term اللي عندنا هذا، هك كله من
الأول للآخر بضربه في هذا الرقم، مش هان أتخلص من
مين؟ من الكسور، يبقى لو ضربت في هذا الرقم بضلي
الشمال كده؟ واليمين AS زائد اثنين لكل تربيع وهنا
زائد BS في S زائد اثنين وهنا زائد C في S، مظبوط؟
يبقى هذه لو جيت فكيتها بدها تصير على الشكل التالي،
واحد تساوي اللي قول A S تربيع زائد أربعة A S زائد
أربعة A، فكيت الجثه وضربت في A، زائد B S تربيع
بستريبة زائد اثنين BS واخد
term زائد CS يبقى هذا الكلام بده يساوي هذا عندك
تربيع وهنا تربيع يبقى A زائد B في الـ S تربيع هو
عندك هنا زائد 4A في الـ S وهذا كله في S وهذا كله في
S يبقى 4A زائد 2B زائد C كله في الـ S ولم يقطع عندك
إلا من 4A، كله يبدو يساوي واحد، بنقعد مقارنة ما بين
الطرفين، يبقى الـ A زائد الـ B يساوي جداش Zero لإن
ماعنديش على الشمال تربيع، كذلك عندي أربعة A زائد
اثنين B زائد C يساوي Zero، ماعنديش S، الـ constant
هذا هو الـ constant هذا يبقى أربعة A يساوي واحد،
يبقى الـ A تساوي ربع، لما الـ A تساوي ربع يبقى B
تساوي سالب ربع، ناخد المعلومات هذه ونعوض بها في
المعادلة هذه، يبقى لما أضرب أربعة في ربع يبقى هنا
كده؟ واحد وهنا ناقص اثنين في ربع اللي هو بنص وزائد
C، يبقى هذا بده يعطيك إنه C يساوي واحد ناقص نص بيظل
زائد نص واديه على الجهة الثانية بصير سالب نص، يبقى
أصبح شكل الـ F of S على الشكل التالي، الـ A بربع على S
تمام والـ B بسالب ربع يبقى سالب وهذا الربع على S
زائد 2 والـ C اللي هو بالنص يبقى ناقص نص على S
زائد 2 لكل تربيع، تعال نشوف هذه، بقدر أقول ربع في
واحد على S ناقص ربع في واحد على S زائد اثنين وهنا
هنا ناقص نص في واحد على S زائد اثنين لكل تربيع
الواحد هذه يا بنات بقدر أقول هي واحد factorial في
مشكلة واحد، واحد factorial ما هي واحد، يبقى هذه واحد
factorial بالشكل اللي عندنا الآن، أنا بدي الدالة
الأصلية، يبقى F of T، الدالة اللي بدي إياها هي ل plus
inverse لمين؟ لـ capital F of S، الـ F of T هي Laplace
inverse للـ F of S، يعني معناته ياخد Laplace
inverse لكل طرف من هذه الأطراف الثلاثة، يبقى هذا
الربع في Laplace inverse للواحد على S ناقص ربع
في Laplace inverse للواحد على S زائد اثنين، ناقص نص
في Laplace inverse للواحد factorial على S زائد
اثنين لكل تربيع، يبقى الـ F of T اللي أنا بدي إياها بدي
أساوي ربع بيداجي لواحد عليه الـ s للـ Laplace تبعت
مين؟ إذا Laplace inverse اللي واحدة لسه بدي أرجعها
لأصلها، اصلها مين؟ واحد صحيح، يبقى هذه في واحد صحيح
وهنا ناقص ربع، واحد علاش زي اثنين، هذه plus تبعت
اثنين
طلع في الجدول اللي عندك، يبقى ناقص اثنين T، يبقى هذه
الـ A أس ناقص اثنين T وهنا ناقص نص، نجي للي عندنا
هذه، اطلعيلي في الجدول اللي عندك، أنا في الجدول اللي
عندي هذه، في الجدول اللي عندي اللي هي من factorial
اللي هي رقم 11 أعتقد، عندك رقم 9
أخر واحدة، التاسعة اللي هو عندك N factorial على S
ناقص A to the power M زائد واحد، نميه T أس N E أس
AT، يبقى T أس N، بقوله هاي T، الـ N عندي بقد ايه؟ واحد،
يبقى T فقط لغيره، والـ exponential E والـ E هنا بقد ايه؟
بناقص اثنين T، يبقى هذا شكل الدالة اللي همين اللي هو
بده يعني، تمام؟