بسم الله الرحمن الرحيم ابتداء من section 5-2 وحتى
هذه اللحظة واحنا بنشتغل على معادلة خطية من الرثب
النونية بمعاملات ثابتة المعاملات المتغيرة حتى الآن
ماعناش علاقة فيهاورحنا فرضنا ان الحل بيكون على
صيغة Y تساوي E اصار X ومنها جيبنا المعادلة المميزة
لهذه المعادلة فكانت على الشكل التالي قلنا هذه
المعادلة لها احدى ثلاث حالاتيمكن أن تكون الجذور
حقيقية ومختلفة ويمكن أن تكون الجذور حقيقية ومكررة
وقد تكون complex ومكررة والله أعلم كما سنراه ويمكن
أن تكون اللي هو complex يبقى يا إما حقيقية ومختلفة
يا إما حقيقية ومكررة أو complex ومكررة يا إما
complex فقطدراسة في المحاضرة الماضية والمحاضرة
السابقة الحالتين الأولين وهي لو كانت الجذور حقيقية
ومختلفة وكذلك لو كانت الجذور تخيّلية واليوم بدنا
ناخد لو كانت الجذور حقيقية ومكررة أو complex
ومكررةفبقى بقول اللى كنا اللى بدنابه الين هو اللى
بدنابه المرة اللى فاتت و اللى قبلها فقولنا افترض
ان E و Star X هو عبارة عن حل المعادلة لرقم Star
جيبنا المشتقة الأولى و التانية و التالتة و الرابعة
أنونية و عوضنا في المعادلة و اختصرناوصلنا إلى
المعادلة رقم star اللى سميتها ال auxiliary
equation المعادلة المساعدة او ال characteristic
equation المعادلة المميزة للمعادلة star تمام؟ if
the roots of this equation are repeated then we
have two cases يبقى إذا الجذور مكررة في عندي
حالتين الحالة الأولى حالة ال real repeated والحالة
الثانية حالة ال complex repeatedإذا لو كانت الجذور
حقيقية ومكررة الحالة الأولى يبقى r1 هيسوي r2 هيسوي
r3 هيسوي rn ويساوي rz يبقى الحل الأول E أُس R X
الحل الثاني E أُس R Xيبقى أنا بكرر يبقى بضربه بس
في X X E أُصار X الحل التالت X تربيه E أُصار X
الحل الرابع X تكعيب E أُصار X لو جبت ده جيب الحل
طبعا هدول لو روحت حسبهم بلاقيهم كلهم linearly
independentيبقى شكل الحل العام في هذه الحالة بيكون
على صورة C1 زي C2X زي C3X تربية زي CNX أُس الناقص
واحد E أُس R اللي طلعت عند هنا اللي تبعت تقرار
يبقى هذا شكل الحل العام لو كانت الجذور حقيقية
ومكررةطب لو كانت complex نجي للحالات التانية if
the roots are repeated complex conjugate يبقى هي
مكررة وفي نفس الوقت complex وقلنا إذا في عندي جذر
complex يبقى الجذر المرافق له برضه موجوديبقى حيكون
عندي فيه تكرار لكمبليكس والكونجوجت تبعه تمام؟ يبقى
ما هو شكل الحل في هذه الحلقة بقول E أُس X في حتة
الكمبليكس المرة اللي فاتت قولنا E أُس X C1 Cos X
وC2 Sin X مش شكل ال section الماضي طب الأول لما
كان عندي تكرار بدي أعمله بمعاملة التكرار اللي
أخدناه وياه ال repeatedبعد كتابة الكمبيوتر
الاصلية EOSEXEOSEX
CS X أُس S ماينس الواحد
بقول لك أه ما هم النص هم النص التالي المرافق تمام؟
إذا راحت قلت هنا CSX أُس S minus ال one في cosine
ال BX زائد برضه polynomial تانية B1 B2 X B3 X
تربية لغاية BSX أُس S minus one في sine ال BXيبقى
إذا عندي تكرار في ال complex هي الصيغة إذا في عندي
تكرار في ال real يبقى الصيغة اللي فوق خلاصنا هيك
بيكون غطينا ال section إذا ال rules كانت real and
repeated أو complex and repeated كما سنرى الآن من
خلال الأمثلة حد فيكم تحب تسأل أسئلة قبل أن ندخل
إلى الأمثلة؟
طيب نجي للمثال الأول اللي هو السؤال 9 من الكتاب
بقول هات لل general solution لل differential
equation اللي عندنا هذه بروح تسميتها star يبقى
الخطوة الأولى بدي أبدأ زي ما بدأت هنا بدي أقوله
let Y تساوي E أُص RX be a solution of the
differential equation star then
يبقى ثم المعادلة
المميزة L هي R تكييب ناقص ستة R تربيع زائد اتناشر
R ناقص تمانية يسوى كم؟ يسوى Zeroنحلل هذه المعادلة
من الدرجة الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة
الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة
لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة لما نحلل
هذه المعادلة
من الدرجة الثالثةوإذا وصلت للثانية بكل أمر إيه سهل
جدا في هذه الحالة يبقى في الحالة اللي عندها دي لو
جيت أخد مثلا R تكيب ناقص تمانية مع بعض في جزء
الباقي هذا أخد منه مثلا ناقص ستة R عامل مشترك بضل
قداش عندي R ناقص اتنين كله بده يساوي Zeroأخذت ال
term الأول والأخر مع بعضهما في قوس و الباقي أخذتهم
في قوس ثاني و من القوس التاني أخذت سالب ستة أر
عامل مشترك هذا القوس الأول عبارة عن ايه؟فرق بين
المكعبين يبقى
هاي R ناقص اتنين في R ترابيع زائد اتنين R زائد
اربعة ناقص ستة R في R ناقص اتنين كله يساوي Zero
ممكن اخد الار ناقص اتنين عامل ومشترك من الكل يبقى
ار ناقص اتنين عامل مشترك بيظل ار تربيع زائد اتنين
ار زائد اربعة ناقص ستة ار هذا كله يساوي زيرو اذا
هذه ار ناقص اتنين في ار تربيع ناقص اربعة ار زائد
اربعة كله يساوي زيروهذا معناه ان ر ناقص اتنين وهذه
معناته ر ناقص اتنين الكل تربيع يسوى من؟ Zero يبقى
معناته ر ناقص اتنين الكل تكييب يسوى قداش؟ Zero إذا
صار الجدر اللي عندي حقيقي و الله تخيلي حقيقي مكرر
كم مرة؟يبقى بروح بقوله ان هذا بده يعطينا ان ال R
تساوي 2 of multiplicity
3
أو تلاتة مكرر ايه تلات مرات يبقى كويس يبقى انا
طالع عندي حقيقي و مكرر اي صيغة الحقيقي و مكرر بروح
بقوله the general solution
مثال رقم 2 هو
سؤال 17 من الكتابيقول لي y to the derivative of IV
زائد اتنين y double prime زائد ال y كل هذا بده
يساوي كده؟ بده يساوي زيو يبقى solution let
y تساوي e قص rx be a solution of theDifferential
equation star مين هي ال star اللي هي المعادلة
الأصلية اللي عندنا معناته بدي أجيب المعادلة
المساعدة the characteristic equation of the
equation star is يبقى R أس كذا شبنات هذهIV كده
يعني؟ 4 زائد 2 R تربية زائد 1 يساوي 0 اظن هذه
عبارة عن مين؟ عبارة عن R تربية زائد 1 لكل تربية
يساوي مين؟ يساوي 0 يبقى الجزر الحياة طلع عندي مكرر
كم مرة؟ كده؟كم مرة الجدر مكرر؟ مرتين وبتطلع لل أُس
اللي عندي قداش عندي أُس قداش عندي عدد مراتي
التكرار تمام يبقى بناء عليه بس تعالى نشوف الجدر
هذا قداش يبقى هذا ال R تربية زائد واحد يساوي Zero
يبقى ال R تربية يساوي سالب واحد يبقى ال R تساوي
زائد او ناقص I تمامwith repeated
والله that repeated that repeated
two times
يبقى يا بقول العبارة هذه مكرر مرتين يا بقول
العبارة اللي عندنا هذه with multiplicity 3 يبقى
صيغة هذه او صيغة هذه لاتنين are the same نفس
الصيغة اللي عندنا هذه تمام؟ طيب، الآن يبقى بناء
عليه بيصير ال general solution على الشكل التالف
يبقى the general solution
يبقى بطير الأولى بظل بس ما يأتي هنا مكرر كم مرة
يبقى c1 زائد c2x في cosine ال x لأن b عندنا يعني a
تساوي zero و b تساوي واحد زائد b1 زايد b2x في sin
x بالشكل اللي عندنا هذا example
3
Y to the derivative of V زائد اربعة Y تكعيب او Y
to the derivative of V3 بده يساوي زيلة نفس التكتيك
اللي عملته فوق حتى تبقى هنا بالضبط تماما يبقى حاجة
اقوله solution بعد ما سمي هذا المعادلة رقم star
Assume that the solution of
The equation star is y تساوي u star x بناء عليه
The characteristic equation is أرقص خمسة زائد
أربعة R تكيب زائد أربعة
زاد اربعة ار تكييب بده يساوي مين بده يساوي زيرو
يبقى
بناء عليه لو أخدت ار تكييب عامل مشترك بيظل ار
تربيع زاد جداش زاد اربعة بده يساوي زيرو يبقى
الأولى مكررة كام مرة وجداش حقيقية ولا complex
يبقى هنا R واحد تساوي R اتنين تساوي R تلاتة والله
R واحد تساوي
Zero of Multiplicity
of three and
And الـ R تساوي التانية اللي هو زائد او ناقص 2I
لما اخد الجدر التربيعي لأ باطلع زائد او ناقص 2I
يبقى بناء عليه بده اكتب ال general solution لمن
لهذه المعادلة
يبقى باجي بقوله the general solution of the
differential equation star is y to the seventh
الأولى real و مكرر تلت مرات يبقى اش بقوله C1 C2 X
C3 X تربية في E أس Zero نفجر دايش بواحد انسى
الباقى من Complex يبقى زائد C4
المثال الرابع عبارة عن سؤال أتينا به في إحدى
الامتحانات بيقول suppose that افترض
انه suppose that
الـ L of Y بدو يساوي 0 is a homogeneous linear
differential
equation with
constant coefficients with constant
بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة of
order 11 which has a
characteristic equation
الـ P of R بدي ساوي R زائد اتنين و R ناقص تلاتة أس
أربعة و R ترابيع زائد اتنين R زائد خمسة لكل تكيب
هذا الكلام بدي ساوي قداش Zero Find the
General solution of the given differential
equation
السؤال مرتين بقول كل اللي قعدت كتبة تسميهم هنا؟
قول كيف اللي جامد كتب و أنت لأ يعني؟ يلا كل أحد
اسمه رقم اليامي، اللي ماكتبش تكتب، علي بالك هنا
سؤال جلبناه في إحدى الامتحانات يقول ما يأتي طبعا
هذا بنشوف هل الطالب أنا بهمنش يجيب المعادلة أنا
أعطيته المعادلة بس بده يشوفه بيعرف يجيب الحل ولا
لا كاللي أنا عندي معادلة تفاضلية على الشكل L of Y
الساوية Zero هذه homogeneously in differential
equationو بحيث ال order ايه اللي هيسوي 11 يعني هذه
معادلة من الرتبة الحادية عشرة تمام حسبنا ال
characteristic equation اللي هي فلجيناها على الشكل
R زائد اتنين R نقص تلتة كل قصر اربعة R تربية زائد
اتنين R زائد خمسة لكل تكييب يساوي Zero قال لي هتلي
حل المعادلة الأصلية ايه ال characteristic equation
هذههي تبعدت اللي قدامك. قبل المبدأ حل هل المعادلة
هذه من الرتبة الحادية عشرة؟ من الدرجة الحادية
عشرة؟ طب كيف؟ هي واحد واربعة وخمسة وثلاثة تمانية
هذه complex و ال complex بيكون تلاتة إذا عندي هي
من الدرجة التانية يبقى واحد complex والتاني
complex conjugate تمام الكلتة كاي بيبقى هذا مكرر
تلات مرات و هذا تلات مرات يبقى المجموع ستة وأربعة
عشرة واحد احداشر يبقى هيك شغل سليم مئة بالمئةيبقى
باجي بقوله الحل انا عند ال R زائدي اتنين في ال R
ناقص تلاتة لكل قص اربعة في R تربية زائدي اتنين R
زائد خمسة لكل تكريم بيساوي جداش يساوي Zero يبقى
بناء عليه ال R الأولى بيبقى تساوي جداش سالي باتنين
وال R التانى بيبقى تساوي جداش بس مكررة جداشيبقى
هذا of multiplicity
four مكره رابع مرات andالاخيرة R تساوي هذا مالناش
نحلها بالقانون لإنه لا يمكن تحليلها يبقى ناقص باء
زائدة وناقص الجذر التربيعي لباء تربيع ناقص أربعة
ألف بواحد جيمب خمسة كله على اتنين في واحديبقى R
الأخيرة هذه بدها تساوي سالي باتنين زاد او ناقص
اربعة في الخمسة عشرين بالسالب شيل منهم اربعة
بالسلب ستاشت تحت الجدر اربعة I يبقى زاد او ناقص
اربعة I كله على اتنين يعني ناقص واحد زاد او ناقص
اتنين I هذا مكرر كم مرةتلات مرات تمام يبقى الجدر
الأول مكرر تلات مرات و ال conjugate تبعه مكرر تلات
مرات يبقى هذا is of multiplicity
three مدام هيك إذا بقدر أجيب من ال general
solution يبقى بروح بقوله the general solution
of the equation L of Y بده يستوي Zero as Y تسوى
الحل الأول يبقى C1E-2X مالوش داعو هذا بيختلف عن
اللي بعده اللي بعده مكرر أربع مرات يبقى زائد C2
زائد C3X زائد C4X تربية زائد C5X تكعيدكل هذا مضروف
في كده؟ في EOS 3X يبقى هذا ريال مرات أربع مرات
خلصنا منه يبقى خلصنا من الريال ضايل عليه لمين؟
ضايل علينا ال complex يبقى زائد الآن ال A عندى
كده؟مثال بواحد يبقى E أُس ناقص X أفتح يقوس الآن
هذا مكرر كده؟ تلات مرات خلصنا السيهات يبقى بقدر
أقولهم إيه؟ E واحد زائد E اتنين X زائد E تلاتة X
تربيع هي التلاتة في Cos PX كده ال P؟بتنين يبقى
اتنين اكس زائد بواحد زائد باتنين اكس زائد بتلاتة
اكس تربيع كله هدمين في sign اتنين اكسالشكل اللي
عندنا يبقى هذا شكل ال general solution يبقى هذا ما
شاء الله جيبليه تلت حالات كلهم بسؤال واحد ليش؟ لأن
الأول مختلف عن الجذور المختلفة التاني rear وانقرر
أربع مراتهذا الكمبليكس مكرر تلات مرات يبقى هذا
السؤال جاب لهذا ال section و ال two sections
الماضية كلها بسؤال واحد و لذلك بنيجي نقول انتهى
هذا ال section و إلي كنا أرقام المسائل ل exercises
5-4 المسائل التالية اللي هو من 1 إلى 25
ننتقل الان الى ال section اللى يليه section خمسة
خمسة اللى همين كوشي كوشي اويلر equations معدلات
كوشي اويلر definition a
linear differential
الشكل التالي بي نود x to the power n y to the
derivative n زاد بيون x أُس n مينوس الوان y to the
derivative n مينوس الوانزائد افضل مستمرين لغاية ما
نصل الى B N minus one X Y prime زائد B N Y كله بده
يساوي Zero هذه المعادلة اللي هي رقم ستة where حيث
ال B nodeو ال b1 و لغاية ال bn minus ال one و ال
bn هدول كلهم are constants are constants هذه is
called بنسميها المعادلة Cauchy-Euler equation يبقى
هذه Cauchy-Euler equation
معادلة Koshi Euler طب لو حبينا نشوف شكلها في
second order كأنه بداخل حلقة خاصة منها in second
order in second order the general form الشكل العام
of theكوشي اويلر الواقع
هو اكس تربيع واي دابل اي برايم زائد الفا اكس واي
برايم زائد بيتا واي اكس تربيع اكس تربيع is equal
to zero to
solve
The differential equation is star there are two
methods في
عندنا طريقتين الطريقة الأولى يبقى first method
Change The Differential Equation Into Differential
Equation Star Into A
Differential Equation With
constant coefficients coefficients
as follow فالتالي
let
الـ X بدي يساوي E أُس T هذا بدي لك أنه T تساوي لنا
ال X هذا بدي أديلك أنه DT على DX يساوي 1 على X
حكينا في ال section اللي فات و اللي جابله و اللي
جابله كان في three sections الماضية كله عن مين؟ عن
المعادلات اللي المعاملات تبعتها ثوابت بنتقل الآن
لو كانت المعادلات المعاملات تبعتها متغيرات و إلها
شكل محدد بدنا نعرف مين هو هذا الشكل المحدد و ما هو
اسمهفبقول إيش الـ Linear differential equation of
the form طلعيلي كويس يبقى هذا ال Xn و Xn-1 و X ..
ماكانش موجود في المعادلة السابقة كانوا ال B0 و ال
B1 و ال Bn كل هدول ثوابة تمام؟ إذا المعادلة اللي
عندي بالشكل هذا X مرفوعة للأس N Y2 نفسي derivative
Nوبنبدأ أنزل بي وان X أس وان minus one Y to the
derivative of N minus one اللي بعده بي وان X أس
وان minus two Y to the derivative of N minus two
ضلينا ماشي لغاية ما أوصلنا بي وان minus ال one X
أس وان Y prime زائد بي وان ال X صارت أز Zero يعني
بواحد بالطير Y تساوي Zero البيهات هدول كلهم ثوابت
يبقى اي معادلة على هذا الشكل اللي بسميها Cauchy
-Euler equation طب ال Cauchy-Euler equation هذه
بدنا نحاول انحلها مش انحلها بدي اقول لو عندي شكل
خاص منها لو بدي مثل معادلة من الرتبة الثانيةيبقى
باجي يقول المعادلة من الرتبة الثانية شكلها X تربيع
و Y W prime المعامل هنا طلع مقداش بواحظ أو كان فيه
معامل و جسمنا عليه يبقى صارت X تربيع و Y W prime
الدرجة التانية الرتبة الثانية زائد constant اللي
هو جسمناه هنا بي وان او بي وان مقسوما على بي نوت
سميته Alpha X
يبقى كمان هذه المعادلة كوشي اويلر بس من الرتبة ا
ثاني تمام الان كيف بنحل المعادلة الأصلية هذه هي
starفي اندي هناك طريقتان للحل وحدة الحل بطريقة
التعويض التعويض له فائدة ينقل المعادلة من معادلة
بمعاملات متغيرة إلى معادلة بمعاملات ثابتةوإذا
وصلنا إلى معادلة بمعاملة ثابتة بروح بنحلها بمين؟
بالطرق التلاتة اللي فتك complex roots real
repeated real and different roots يبقى بأي طريقة
من الطرق تلاتة الطريقة الثانية بس نخلص الأولى بصير
خير بنروح على تانية طب الطريقة الأولى هذه بقول في
أن تعويضة هذه التعويضة بواسطتهابقدر اشيل كل
المتغيرات اللى موجودة وين في المعادلة هذه طب ماهي
التعويضة هذه؟ مجلبك تحط X يساوي E أس T فقط ده يعني
ماذا يترتب على ذلك؟ بقدر أخد لن للطرفين فبصير T
تساوي من؟ لن ال X لو جبت DT على DX بصير قداش
قيمتها واحدة على X خلّي المعلومة هذه عندك وتعالى
لمن؟ للمسألة تبعتناأنا بدي أجيب دي وايعلى DX مش
هذه Y' اللي عندنا و بعدين بدي أجيب YW' طبقا لمن؟
طبقا للتعويض هذه يعني بدل ما المعادلة كانت بدللة X
و Y بدي أخليها بدللة T و Y و أشوف إيش بدي أصير
شكلها يبقى هذا الكلام بقدر أقول DY على DT في DT
على DXطب ال دي تي على دي إكس بقداش؟ واحد على إكس،
يبقى هذا الكلام بده يساوي واحد على إكس في دي واي
على دي تيتمام بدنا نجيب المشتقة الثانية يبقى لو
جيت أخدت ال D أو ال YW prime هذه اللي هي ال Y
prime وهذه ال YW prime يبقى ال YW prime على الشكل
التالي اللي هي D square Y على DX square يعني D على
DX لDY على DXمش هيك المشتقة التانية خدتها في
calculus ايه؟ هذا الكلام بده يساوي دي على دي إكس
لمين؟ دي واي على دي إكس هيها جبت من الحالة الأولى
ليه جداش؟ واحد على إكس في دي واي على دي تين يبقى
واحد على إكس في دي واي على دي تينهذه الأقنعة عبارة
عن مشتقة من حاصل ضرب دالتين يبقى مشتقة الأولى في
الثانية زايد الأولى في مشتقة الثانية يبقى مشتقة
الأولى في جداش سالب واحد على اكس تربيع يبقى هاي
سالب واحد على اكس تربيع ليش؟ لأنه بفضلها بالنسبة
إلى اكسأنا قاعد أفضلها بالنسبة لـ X في مين؟ في
الدالة التانية الـ dy على dt زاد 1 على x كما هي
بدي أشتق الدالة التانية اللي هو d على dx اللي
عندنا لdy على dtيبقى بناء عليه أصبح عند ال y
double prime تساوي اللي هو السالم 1 على x تربيع في
dy على dt زائد 1 على x هذي أمانات بقدر أكتبها على
الشكل التالي d على dt
مظبوط؟الـ D على DX اللي عندنا كتب D على DT في DT
على DX D على DT لمين؟ للمقدار اللي عندنا هنا تمام
تمام يعني هذه صارت قداش ناقص واحد على X تربيه DY
على DT زاد هذه بقداش DT على DX واحد على X إذا بدي
أشيل هذه هنا و أحط بدل واحد على X وعندي واحد على X
بصير واحد على X تربيع وهذه عبارة عن D²Y على DT²
مظبوط يعني كأن المثل واحد على X تربيع خليكي برا
وD²Y على DT² ناقص DY على DT مظبوط بنفس الطريقة لو
بد المشتاق قد تالتة similarly
لو رحت جبت المشتقة التالتة هتساوي اللي هو مين؟
واحد على X تكييب فيه اللي هو D تكييب Y على DT
تكييب ناقص تلاتة D تربيع Y على DT تربيع زائد اتنين
DY على DT
طيب استنى شوية لو بدى أجيبه مش هتقرب على بنفس
الطريقة أو الخامسة أو السالسة وهلومة جرّع طيب إيش
استفدت من هذه؟ انت بتقول هنا هذه التعويضة بدها ضيع
لل variable اللي عندنا هذا اللي هو ال X تربيع وال
X أو كل ال Xات اللي هنا بتروح لو أعطيكي مثال بسيط
خليني مع المعادلة اللي عندنا هذه X تربيع في مين؟
في YW prime وين YW prime؟هذا هو الوايضة
بالإبراهيم، صح؟ لو كان طلبها فيك السربية، بتروح مع
اللي برا، بيظل هذا، يبقى صارة المعادلة with
بتحل بيولي المعادلة بمعاملات متغيرة إلى معادلة
بمعاملات ثابتة وروح بحل هبمين بالطرق السابقة التي
كنت بحل قبها هذه الطريقة الأولىطريقة ثانية برضه
بدي اعمل نفس فكرة المعادلة المميزة بس احنا كنا لما
كان فش عند X بقولت افترض الحل على صيغة Y تساوي E
أُس RX هنا لأ بدي افترض الحل هو Y تساوي X أُس R و
بدي اروح اجيب المعادلة المميزة لمين لهذه المعادلة
يبقى الحل التاني second solution يبقى second
طريقة الثانية بتقول let ال y يساوي x plus r be a
solution of the differential equation star on
على الفترة من zero لغاية infinity يبقى على x
الموجبة فقط then لو بدي y prime يا بنات قدش تزاوي
r x أُص r minus ال one لو بدي ال y w primeيبقى R
في R-1 في X أُص R-2 لو بدي المشتقة التالتة
يجب ان تقوم باستخدام R-1-2-X-R-3 وهلما تجرب اذا
جيت للمشتقة النونية او المشتقة رقم M مثلا يجب ان
تقوم باستخدامفى R ناقص واحد فى R ناقص اتنين وظل
مستمر لوين يا بنات ل R ناقص M زائد واحد اصلا M
ناقص واحد وسبقتها اشارة سالف بصير ناقص ال M زائد
واحد فى ال X أس R ناقص Mبعد ذلك المعلومات اللي
عندي بدي أخدهم و أحوظهم في المعادلة star نحصل على
مين؟ على المعادلة المميزة لإيش؟ لأن X أكبر من Zero
إذا ما بقدر أقسم ليش كله فيه بيطلع XR و هكذا تمام
فبجي بقول من هنا F و سبس تتيود إذا عوضناIn the
differential equation A star we get B
node Rفى ال R ناقص واحد فى ال R ناقص اتنين ونظل
ماشيين لغاية R ناقص ال N زائد ال واحد زائد ضلك
ماشي لما توصل لحد قبل الأخير P N ناقص واحد R زائد
P N تساوي Zero وهذه المعادلة رقم Star
Equation double star is called the
characteristic equation of the differential
equation star to
solve
to solve the equation double star we have three
cases يبقى هذا يعني الحالة اللي قبل real or
different, real repeated او complex بدنا نشوف في
كل حالة ما هو شكل الحال اللي عندناCase 1 الحالة
الأولى مش
هنلعق فبلاش حاضر الجامعه نكمل بس احفظوا المعلومات
هذه احصل عليها لإنه بدنا نبني كل شغل عليها تمام
يبقى احنا لازلنا في نفس ال section و لنا عودة ان
شاء الله