بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى محاضرة الصباح
بدأنا في محاضرة الصباح ب Koshi Euler equation
حطينا الصيغة العامة لها و بعدين خدنا حالة منها
خاصة اللي هو كانت من
المعادلة الأصلية تبعت كوشي ولا ريكوشي ان هناك
طريقان للحلالطريق الأول اللي هو بالتعويض قلنا لو
حطينا التعويضة X يساوي E قص T خدنا لن للطرفين فصار
T تساوي لنا X اشتقنا DT على DX يساوي 1 على X ثم
بعد ذلك روحنا جيبنا Y' وYW' بدل ما الاشتقاق
بالنسبة لX حولنا الاشتقاق بالنسبة إلى T وبالتالي
عوضنا طارمينالـ Variables وسمينا هذه هي الطريقة
الأولى يعني الطريقة الأولى بوسط تعويضة بتبعدنا
حولنا المعادلة من معادلة بمعاملات متغيرة إلى
معادلة بمعاملات ثابتة وبالتالي بنروح نحل هذه كما
كنا بنحل في ال sections الماضيةانتقلنا الان الى
الطريقة الاولى اللى كتبناها قبل ساعتين من الان
طريقة يفترض ان Y يسوى X أس R عبارة عن solution و
رحنا اشتغلنا مرة مرتين تلاتة N من المرات و عوضنا
في المعادلةحصلنا على المعادلة المساعدة
أو المعادلة المميزة للمعادلة الأصلية و رحلنا هذه
المعادلة لما جينا نحل هذه المعادلة صار عندي أحد
ثلاثة احتمالاتالاحتمال الأول الاحتمال التاني
الاحتمال التالت سميتها ثلاث حالات نجي للحالة
الأولى لو question double star هذه المعادلة
المميزة has indifferent roots يبقى صار عندي R واحد
لا يسوى R اتنين لا يسوى R ثلاثة لا يسوى لا يسوى RN
ولا واحد زي التاني ما هو الشكل العام للحل يبقى
الشكل العام للحل C1 في X وسط R1
الحلوق يبقى كونصا في الأول و كونصا في التاريب و
يمثل ال general solution إذا الحلوق كانوا real and
differentبنجي للحالة التانية لو equation star has
complex roots المعادلة طالعة عندما فيها جذور
تخيلية فعلى سبيل المثال لو أخد جذرين منهم ماذا
يكون شكل الحل يبقى باجي بقول الحل بيكون x to the
power إيه؟ ليش؟لأنه بدي يطلع اللي هو ال R يسوي A
زائد IB تمام؟ A زائد و ال conduct تبعه A ناقص IB
الحل الأول R واحد A زائد IB و الحل التاني R اتنين
بديه يسوي A ناقص IB يبقى ال E ال X قص A في مين؟ في
C واحد cosine B لن ال X زائد C اتنين sine B لن ال
X يعني يا بناتهنا كنا نقول هناك في الحقيقي في
التخيلة لما كانوا المعاملات حقيقية بقى نقول C1 Cos
Bx ماعنديش Lin لكن هنا جانبين Lin X زي C2 Sin B
Lin X الحالة التالتةالحالة التالتة لحالة الـ real
قد يكون real و repeated و قد يكون complex و
repeated فكيف بنسوي في هذه الحالة يبقى باجي للحالة
الأولى ال equation اتنين has real repeated rows of
multiplicity S عدد مرات التكرار S والباقي يمكن
يكون real يا اما S ممكن يكون كله complex وتساوي N
بس بشرط ان ال N عدد زوجييبقى بيصير R واحد يساوي R
التاني يساوي RS يساوي R يبقى في هذه الحالة شكل ال
general solution زي شكله with constant
coefficients ما عدل X بشيله و بحط بدالهالن ال X
والباقي كل شيء زي ما هو تطلع C1 C2 لن X C3 لن X
نرويها C4 لن X تكريم لغاية ما وصل ل CS لن X أُس S
-1 في X أُس R لأن الأُس هذا صار مكرر تمام؟طيب لو
كانوا ال roots are repeated complex conjugate لو
كانوا هذا real لو كانوا complex يبقى بدي يصير الحل
X أس A زي ما هي تبعتي تبعت ال complex بس ايش بدي
يصير A واحد زي دي اتنية لن ال X زي دي A أس لن
الثوابت المتغيرات C1 وC2 لغاية CS كلها في SIN BLN
Xيبقى هذه بدي أفهمها إنها عبارة عن مين عبارة عن
الحل X أس A في الجوس الكبير هذا polynomial من
الدرجة لأن S ناقص واحد في ال cosine P لن X زي ال
polynomial من نفس الدرجة sin P لن X في حتة ال
complex لكن في حالتها ال real لا عندي cosine ولا
عندي sin polynomial فقط لغير في X أس Aهل بتحب تسأل
اي سؤال هنا قبل ان ندخل الامثلة؟
ماشي المثال الأول طبعا احنا حققنا معانا طريقتين يا
بنات ان قيدني بطريقة بدي التزم في انجل يوز the
substitution X يساوي E يساوي T يعني بده مين؟ بده
يحول المعلق يمكن يقول لي كمان اجيبلي السؤال بطريقة
ثانية يعطي المعلق ويقول لي change او use the
substitution X يساوي E يساوي T to changeهذه هي
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار اليبقى اول
مثال يقول find the general solution of the
differential equation ولم يقيدني ما قيدنيش لكن انا
كونه اول مثال بدي احله بالطريقتين و بدي ابين ان
الطريقتين ما لها نفس الشيء مابتغيرش فيها ايه ولا
حاجة يبقى بدي اجي للحل الأول اللي عندنا هذا
يبقى بداجة اقول استخدم التعويضة put X يساوي E أُس
T هذا بتعطيك T يساوي لن X هذا بتعطيك الـDT على DX
يساوي 1 على X and الـY' يا بنات كده اش طلعت؟ مش 1
على X في الـDY على DT صح؟ طب والـY W'
دي سكوير واي على دي تي سكوير ايوة ناقص دي واي على
دي تيطب الحمد لله بس انت بتفرض التعويضة و تقول اذا
كذا ماعنديش مشكلة ماعنديك تروح تستنتجيها من أول و
جديد لكن اذا كنت نسيها بديك تروح تستنتجيها من أول
و جديد طيب يبقى الان بدي امسك المعلومات هذه و اعوض
وين في المعادلة اللي هي أصلي اللي هي star يبقى
باجي بقول المعادلة star بصير x تربية في ال y w
prime هيهي 1 على X تربيع في D²Y على DT² ناقص DY
على DT بالشكل اللي عندنا هنا اللي بعدها ناقص 3X
فيه بدي أشيل ال Y' و أحط قيمة تالية 1 على X في DY
على DT خلصنا منها زائد 4Y مش غيرهاتمام كل هذا
الكلام يساوي كده؟ Zero اظن X تربيه مع X تربيه راحت
مع السلامة يبقى D Square Y على DT Square ناقص DY
على DT ناقص تلاتة DY على DT زائد أربع Y بدأت ساوي
Zeroلو روحت جماعة تمهدول بصير D2Y على DT2 ناقص 4DY
على DT زائد 4Y بده يسوي قداش Zeroأطلع في المعادلة
star واطلع في المعادلة بعد التعويض كيف صارت
المعادلة star المعاملات عندي متغيرات بدلالة ال X
لكن لما حطيت التعويض هذه حولت إلى معادلة بمعاملات
ثابتة إذا بتروح أحلي المعادلة هذه بمين؟ بالمعاملات
الثابتة كيف بنين الحل؟ let Y تساوي E أسار Tماعنديش
X هنا بطل يصير عندي X الشغل نتهوّل من دلالة X إلى
دلالة T يبقى بداجي أقول له let وسمّيلي هذه
المعادلة رقم Star let Y تساوي E أُس RT ب A
solution ofإذا كانت المقارنة مربوطة ثم المقارنة
الخاصة هي
R تربيع نقص اربعة R زائد اربعة يساوي Zero يعني هذه
مالها R نقص اتنين لكل تربيع يساوي Zero يبقى الجذور
حقيقية ومكررة كم مرة مرتين يبقى هذا معناه ان R
تساوي اتنين of multiبالإضافة لـ ECT2 كرّرة مرتين
إذا بدأت أقول له the general solution of equation
double star is Y to sevenمش طبعا انا كنت ملعب
دلالة text احنا راهيب نشغل على T يبقى شو بدي يصير
تكرار مرتين يبقى C1 زي C2T في قداش في E أس اتنين T
طب
الجواب ايش طلعناه؟دلالة ايش؟ T و الاصل بدرجة او
بدلالة X بكون جيب تحليل المعادلة الأصلية اللي هو
Star يبقى باجي بقوله The general solution of
equation A star is ال Y يساوي C1 زائد C2 مقداش ال
T حطناها مقداش؟لأن الـ X في E أُس 2 لأن الـ Xمظبوط
يبقى ايه صارت بدلة لثمين ال X هذهها يا بنات هي C1
زائد C2 لن X نجي هذه مش هذه E لن X تربيع اتنين
بدخلها جوا اللم ال E و ال L عكس بعض يبقى صار جداش
X تربيع يبقى هذا الحل بالطريقة الأولى بدنا نروح
نحل بالطريقةبالطريقة الثانية نجربها لأنه ماقاليش
احنا اتنين في الامتحان انا اجيب بالي الطريقة
الأولى و روحت حل التباهي انت اجيب بالي الطريقة
الثانية بنشوف هل الطريقتين بيعطوني نفس الحل ولا كل
واحد بتعطيني حل شكل الله أعلم تعالي نشوف ايوة مين
اللي بتسأل احنا؟ طيب بنفعل الحل اللي هي ال
differential equation
بإيش؟ كيف كنا بنحلها في الشفتر الأول؟ مش هاي احنا
قولنا little y ساوي E أقصر R T هي طريقة .. لأ لأ
هي ال equation star two stars هذي بنحلها زي ما كنا
نحلها سابقا star ولا double star? double star و
double star ما احنا بنحلها زي قبل لأ زي اي هم شفتر
واحد second order differential equation أخدنا two
cases special cases T missing و X missingفيش مشكلة
أحديها بأي طريقة، لكن مين اللي أسأله؟ هذي والله
الـx مسجد و الـt مسجد، هذي بيخلّجي بلها الدورة،
وانت حر بقى، تروح و ترجع، تتعقز في الكلام اللي
عطيك، انت حر، هذا شأنك، أنا بدي شغل، بس الشغل يكون
صحيح، بأي طريقة تشتي، ما لم أقيدكي، فيش تقييد،
خلاص، شغل اللي بديكي يعني، ماشي؟ طب لو صار
الـthird orderيبقى نفعش الكلام اللي اتيه يبقى
يخليه يتعود كل طريقة بناخدها نتعودها مش نهملها و
نسيبها طيب بنيجي نكمل يبقى هذا بالشكل اللي عندنا
هذا و خلي كيس تلاتة يمكن تلزم يبقى بالدهجة اللي
اقول الان a second solution
بعد ذلك اقول لت Y تسوى X أُس R بيه solution of the
equation star
بدا اجيب Y' اللي هو مين؟ R X أُس R ماينوس الوان
بعدين بدي اجيب ال Y W' R في R ماينوس الوان في X
أُس R ماينوس الاتونبتاخد المعلومات وروح اعوض وين
في هذه المعادلة يبقى يا بنات ايش بيصير؟ XYW'-3XY
'زائد 4Y يساوي
يبقى X تربية في الـ YW' هي R في R-1 في X أُس R-2
ناقص ثلاثة X في الـ Y' هيها اللي هي R في X أُس R
minus ال 1 زائد أربعة ال Y أنا فرضها بقداش ب X أُس
R X أُس R كله بده يساوي Zero تعالى نشوف في هذه كيف
صارت هل هي X ترميل لما تدخل جيوب الصين هذي X أُس
قداشأس ار ار نقص اتنين و عندك كده اتنين بيصير أس
ار يبقى هذه بيصير الار في الار minus ال one في ال
X أس ار ناقص تلاتة تلاتة
X أس واحد مع X أس R يبقى تلاتة R X أس R زائد أربعة
X أس R يسوى كده؟ Zeroأحنا فرضنا هذا الـ solution
علما بأن الـ X هنا بنات جداش قلنا من Zero إلى
Infinity في الجزء النظري يعني دائما وابدا أكبر من
مين أكبر من الـ Zero إذا ممكن قسمت هذه الطرفين كله
على مين؟ على X أُس R يبقى بصير عنا R في R ناقص
واحد زائد تلاتة R زائد أربع يساوي ZeroR في R ناقص
واحد عندك هنا ناقص اهينا ناقص اهي ناقص R وهذه ايه
اللي هي ناقص بالشكل اللي عندنا هنا يبقى بناء صلة
المعادلة على الشكل R تربية ناقص R ناقص 3R زائد 4
بده يساوي 0 يبقى R تربية ناقص 4R زائد 4 تساوي 0
مين هي هذه؟characteristic equation يبقى هذا معناه
ان الار ناقص اتنين لكل تربية يساوي zero هذا معناته
ان الار بدي ساوي اتنين و مكررة كده مرتين اذا بدي
اطبق عليها اتكرار فبجي بقوله the general solution
is
Y تساوي C1 زي C2 من X، هل في أكتر من ذلك؟ هؤلاء
المقارنة مرتين حطيت حالين، في من؟ في X أُس R، R
بقدرش؟ ب2، طلع إلى الحل هذا و الحل هناك هو
الاختلافيبقى لي اتنين ار داسيم سواء كان الحل اللى
عندي هذا او الحل اللى عندي هذا، مادام ما قيدنيش
اللى بتحل بالحل الثاني ماشي، بتحل بالحل الأول،
ماشي طبعا الحل الثاني أسهل، خلاص انت حرة، بس إذا
قيدتك بدك تلتجي مين، أحيانا بنقيد و أحيانا لا، انت
و بختك عندك
هذا اول مثال له سؤال 6 من الكتاب المثال الثاني له
سؤال 10 من الكتاب مثال 2 هذا سؤال 10 من الكتاب
يقول السؤالThe differential equation of x تربيع و
y double prime ناقص خمسة x y prime زائد تلتاشر y
بده يساوي zero وهذا اللي بدي أسميها main و اللي
بدي أسميها ال start يبقى
بدي أبدأ solution
أظن أنه لا يوجد دا على الطريقين بيكفيني واحدة لكن
التان تان اتعلمناهم تاني أسهلي خلاص بالتاني يبقى
باجي بيقول في الطريق ان ال Y يسوى X أُس A ب
solution of equation A star with X greater than 0
يبقى thenالـ Y' بدي يسوى R X أُس R مينوس الـ 1
وYW' R في R مينوس الـ 1 في X أُس R مينوس الـ 2
الآن بدي بقوله Substitute in equation star we get
نحصل على ما يدى هى ال X تربيه برا وهى هدى R W
Prime R في R minus ال one في X أُس R minus ال two
اللى بعدها ناقص خمسة X في ال Y Prime R X أُس R
minus ال one اللى بعدها زائد تلتاشر X أُس R كله
بده يساوي Zeroهذه لو فكتها R في R minus ال one في
X أُس R ناقص خمسة R X أُس R زائد تلتاشر X أُس R
بده يساوي Zeroأظن لو جسمنا على الـ X أُس R بنحصل
على الـ characteristic equation على الصيغة التالية
ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zeroأو بمعنى آخر R
تربيع ناقص R ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zero أو
R تربيع ناقص ستة R زائد تلتاشر بده يساوي Zero وهذه
اللي بنسميها ال characteristic
بعد إكسار الشغل الروتيني بدي أحلل المعادلة هذه هل
يمكن تحليل هذه المعادلة؟في إمكانية لكن كلها من
الدرجة الثانية مش قادرة أحللها بروح بحل بالقانون
واللي الله سبحانه وتعالى يفرجها تمام؟ يبقى باجي
بيقول هذا R وانا متأكد انه سيفرج سيفرجها إذا الله
مافرجهاش مين بده يفرجها؟ يبقى هاي ناقص بقى بيصير
ستة زايدة أو ناقص الجدرى التربية ستة في ستة
أربعة في تلاتاش باتنين وخمسين52 مضال
قداش سالب 16 على 2 يعني 6 زائد او ناقص اللي هو 4I
كله مقسم على قداش 2 يبقى بده يساوي 3 زائد او ناقص
2Iيبقى عنا ال a هنا بقدش يا بنات و ال b تساوي كده
اذا بقدر اجيب ال general solution يبقى بروح بقوله
the general solution of the differential equation
star is y تساوي x أُس rيبقى X أُس كده؟ أُس تلاتة،
X أُس إيه؟ فيه عندنا جذرين، اتنين are conjugate
ومافيش غيرهم، يبقاش باجي بقول C واحد كوصين، كده يا
بنات؟ اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين،
كف الله المؤمنين والقتال هذا كان المثال رقم اتنين
بدنا نروح للمثال رقم تلاتة مثال رقم تلاتة بيقول ما
يأتي solve ذاDifferential Equation مثل المعادلة
التفاضلية X تكيب Y triple A prime Y triple A prime
ناقص X تربيع و Y double A prime زائد X في Y prime
بده يساوي كم؟ بده يساوي Zero وهذه هي المعادلة رقم
start خليني
أسأل السؤال التاليهل هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل
هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل
هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي
اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي اويلر اكويشن؟أنا كنت
بسألها سؤال مش شايفة، كنت شايفة المكتوب على
الدافع، بس أنا .. ايه مكتوب؟ هي فوق و قدامك أنا
بسأل فيه هذا، هذي كوشويلة equation؟ طلع
في القصة تبع ال X و طلع في المشتقة، زي بعض و الله
بختلفواكلهم زي بعض حتى وان غاب term حتى وان غاب
two terms يعني احنا لو شيلنا كمان هذا بتظهر كوشي
او ايلار اكويشين حتى لو شيلنا اتنين هذول بتظهر
كوشي او ايلار اكويشين بهمن الأس تبع ال X يكون جد
المشتقة بالضمن تكييب يجب علي المشتقة التالتة تربية
يجب علي المشتقة التانية يجب علي الصحة صوتنتين
غاليكم معايا كويس دينا بالكميبقى بدنا نجي لمن؟ ل
الحل يبقى بدي افترض بنفس الطريقة التكتيكي اللي
اتبعته هنا بداشي اقوله افترض ان ال Y تساوي X أُس R
ب solution of
equation star with X greater than 0يبقى بدنا اكتب
ال characteristic equation دغري يا بنات و الله ايش
رايكوا يبقى the characteristic equation is طب يالا
مدام دغري ينجلوني كدهش ال characteristic equation
اللي هي دي R في كدهش في R ناقص واحد في R ناقص
اتنين مظبوط و هنا ناقصهذه قدرات R في R ناقص واحد
وهذه زائد R كله بده يساوي قدر زيب يعني كأنه عوّط
واشتقت وقسمت على X plus R وصلت زي ما كنا بنعمل في
حالة ال equations with constant coefficients
بالضبط تماما طيب ضايق افكك هذه المعادلة اظن ان
عندي هنا Rوعندي هنا R وعندي هنا R بقدر أخدها برا
عامل مشترك إذا لو أخدت ال R برا عامل مشترك كده
بيظل عندي؟ حصل ضرب الأثنين هذول اللي هو R تربية
ناقص ثلاثة R زائد اتنين صح؟ وهنا هذي بيصير ناقص R
زائد واحد وهذه بيظل عندي كدهش لما أخدت منها R بظل
واحد مظبوط هيك؟ أه
هذه R في R تربية عندك ناقص 3R و ناقص 4R ناقص 4R دل
عندك اتنين و اتنين كمان كده اربعة كله بده يساوي 0
اذا شكل ال characteristic equation صارت R في R
ناقص اتنين لكل تربيةيبقى الـ roots واحد
منهم مكرر مرتين ممتاز جدا
Y ثم Y ساعةيبقى C1 في X أُس 0 C2
زائد C3 لأن X في X أُس 2 يبقى هذا شكل ال general
solution اللي عندكحد فيكم لأي استفسار قبل أن أذهب
إلى المثال الذي يليه في أي تساؤل؟ هاي، أروح الآن
للمثال اللي بعده
يبقى
بداجي لـExample 4
Solve the equation
Equation المعادلة X ناقص تلاتة لكل ترابية في ال Y
double prime زائد تلاتة في X ناقص تلاتة في ال Y
prime زائد Y بده يساوي Zero وال X greater than
تلاتة
السؤال الذي سألناه قبل قليل قائماً ولكما Is it a
Cauchy-Euler equation؟
هو مضمون ان X أكبر من 3 لان X أكبر من 0 لان X أكبر
من 3 لان X أكبر من 100 لان X أكبر من 3 لان X أكبر
من 100 لان
X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 100 لان
X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X
يبقى افترض الحل على الشكل طبعا اتطلعي الأس اللي
هنا هو نفس المشتقة الأس اللي هنا هو نفس المشتقة و
هكذا تمام اذا هذه كوشي أولى equation يبقى بدأ
اقوله little y تساوي x ناقص تلاتة أس Rبا solution
of the above differential equation طب
لو جيت بدي أجيب ال Y' يبقى R في ال X ناقص تلاتة و
ر ناقص واحد في مشتقة مداخل القوس
عن طريق الـ YW' يبقى R في R-1 في X ناقص 3 أُس R-2
في مشتقة مداخل القصر اللي هو الجداجعوض في المعادل
اللي فوق لو جيت عوض في المعادل اللي فوق بصير X
ناقص تلاتة لكل تربيع في ال YW prime اللي هو R في R
minus ال one في X ناقص تلاتة to the power R minus
twoزائد تلاتة X ناقص تلاتة في ال Y prime اللي هي R
X ناقص تلاتة to the power R minus one زائد Y اللي
هي X ناقص تلاتة to the power R كله بده يساوي Zero
بتعيد كتابتها يبقى R في R ناقص واحد في X ناقص
تلاتة أس R زائد تلاتة R زائد تلاتة R فاهمين في ال
X ناقص تلاتة أس R زائد X ناقص تلاتة أس R كله بده
يساوي Zeroالـ X ناقص تلاتة هذا مقدار أكبر من الـ
Zero إذا موجب بقدر أقسم عليه بدون مشاكل يبقى لو
قسمت كله على X ناقص تلاتة أس R بحصل على ال
characteristic equationبالشكل التالي اله دي mean R
في R minus ال one زائد تلاتة R زائد واحد بده يساوي
Zero او ان شئتم فقولوا R تربيع و عندك ناقص R زائد
تلاتة R بيظل زائد اتنين R زائد واحد يساوي Zero
يبقى هدى R زائد واحد لكل تربيعيساوي Zero يبقى ال R
تساوي سالف واحد of Multiplicity
كدهش؟ اتنين اتنين مكررة مرتين يبقى أصبح The
General Solution Of The Equation Is Y تساويX وC
ايه يا بنات هنا؟ والله مش بنكتب كرر مرتين يبقى إيش
بدي أقوله؟ C1 زائد C2 لإن كده؟X ناقص ثلاثة يبقى X
ناقص ثلاثة تمين في ال X ناقص ثلاثة أس اللي هو
قداشر اتنين هك ماشي للحل صحيح بالمية ال X أس مش
اتنين سالب واحد احنا طلعناها ال R أس سالب واحدلحد
هنا stop in the intersection ولا يكون أرقام
المسائل يبقى أرقام المسائل exercises خمسة خمسة
بدنا المسائل من واحد إلى خمستاشر وكذلك سؤال واحد
وعشرين
في كلمتين حابين نقولهم في ال section اللي بعده
بدون ما نعطي ولا مثال ولا نطلب منكوا تحلوا مثالين
مقدمة اشي احنا بجينا نشتغل يا بنات على ال
homogeneous differential equation بدنا نبدأ الآن
الشغل على ال homogeneous differential equation
فاكتبلي ال section خمسة ستةخمسة ستة الهي non
homogeneous differential equations definition
they none
Homogenous differential equation is
an equation in the form طبعا كل شغل non
homogeneous linear differential equation على الشكل
التالي A0
Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y10Y11Y12Y11Y12Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11
Where حيث capital F of X لا يمكن أن تساوي zero عند
ال a naught وال a one و لغاية ال a n may or may
not or may not
بـColostans يعني ممكن يكونوا ثوابت وممكن يكونوش
ثوابت يبقى باجي بقوله F YC يساوي واحد Y واحد C
اتنين Y اتنين CNYN is the
complimentary solution of
the
homogenous
Differential Equation لـ a0 y to the derivative n
زائد a1 y to the derivative n minus one زائد زائد
a n minus one y prime زائد a ny بدو يساوي zero and
ifYP هو مصطلح مصطلح
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح
مصطلح مصطلح
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح م
The general solution
of the differential
Equation star is y يساوي yc زائد yp ولو بدي ساوي
c1 y1 c2 y2 زائد cn yn زائد yp
فيرم F U P F U P SA particle is a particular
solution
of the differential equation
L of Y
الـ F of X and if ال V P is a particular solution
of the differential equation L of Y يساوي G of X
ثم مفهوم YP
يساوي UP زائد في P هو مفهوم محدد مفهوم
محدد من
Differential Equation L of Y بده ساوي ال F of X
زاد ال G of X يا
حد هنا ماتكتبش اسمها باللجاعدات؟ خلاص؟
بيعطيكوا العافية لحد هنا انتهى هذا ال section
المرة القادمة ان شاء الله اللي هو بعد العيد بعد
الإجازة يعني بقى لإن بقينا طيبين بناخد من؟ بناخد
ال two sections اللي ضالات في هذا ال chapter ومحل
لل non homogeneous differential equationبإحدى
طريقتين الأولى ال undetermined coefficients و
الطريقة الثانية ال variation of parameters ان شاء
الله